Чтобы представить себе, чем занимется теория вероятностей, надо узнать, прежде всего, что долгое время она причислялась к разряду наук физических. Таким образом, всё в ней начинается с эксперимента, опыта (оба слова означают одно и то же и взаимнозаменяемы). Скорее всего, вы слышали о том, что вероятность выпадения герба при подбрасывании монетки равна одной второй. Так вот, здесь проводится эксперимент: подбрасывается симметричная монета, ждём, пока она упадёт на поверхность стола и остановится во вращении и смотрим, какая грань монеты обращена вверх. Это описание эксперимента, указывающее как можно более точно условия его проведения. Однако замечаем ли мы ориентацию монеты по частям света? Это тоже надо оговорить заранее. Посе того, как условия описаны, можно определить, какие исходы эксперимента можно наблюдать, какие события могут произойти. Например, при подбрасывании одной монеты так, как это описано выше, возможно выпадение одной из двух сторон. Гипотетически, шутки ради, можно казать, что возможно падение на ребро монеты. Ещё один классический пример. Пусть опыт заключается в том, что однократно подбрасывается симметричный игральный кубик. Очевидно, что выпадет одна из шести граней кубика: \epsdice1, \epsdice2, \epsdice3, \epsdice4, \epsdice5, \epsdice6. Однако возможны и другие события: число выпавших очков чётно, число выпавших очков меньше трёх, и т. д. Оба приведённых примера экспериментов обладают важным свойством: знание условий проведения эксперимента не позволяет однозначно предсказать, какой исход мы пронаблюдаем. Такие эксперименты называются случайными. Исходы этих экспериментов, события также называются случайными. События традиционно обозначаются заглавными буквами из начала латинского алфавита: $A$, $B$, ... часто снабжёнными верхними и нижними индексами. В примере с кубиком можно обозначить выпадение \epsdice1 символом $A_1$, выпадение \epsdice2 символом $A_2$, выпадение чётного числа очков символом $B$ и т. д. Специальными символами традиционно обозначаются два события. Первое из них объединяет в себе всё, что не может произойти в эксперменте, как то: падение кубика на ребро, на вершинку, "кубик закатился под стол", и т.д. Это событие называется невозможным и обозначается $\varnothing$. Второе особое событие то, что наступает всегда: выпадение какого-нибудь (любого) числа очков на кубику, выпадение любой стороны монеты. Такое событие называется достверным и обозначается заглавной буквой греческого алфавита $\Omega$ (читается "омега большое"; "О-Мега" — "О большое" (греч). Есть ещё и "О-микрон" — "О-маленькое". Так, $\omega$ обначает "маленькое о-большое" :-)).
Свойство статистической устойчивости продемонстрируем на следующем примере. Подбрасывание симметричной монеты можно производить много раз. Повторим этот опыт наперёд занятое число $n$ раз и обозначим через $\mu(\Gamma, n)$ число выпадений герба в этих $n$ испытаниях. Были в прошлом неутомимые люди, которые специально многократно подбрасывали монетку. Ж. Бюффон бросал монету $n=4040$ раз, у него герб появлялся $\mu(\Gamma, 4040)=2048$. К. Пирсон бросал монету $n=24000$ раз, и при этом герб выпал $\mu(\mbox{Г}, 24000)=12012$ раз. Сами по себе эти числа трудно сравнивать. Однако рассмотрим отношение $\mu(\mbox{Г},n)/n$ и мы увидим удивительную закономерность: у Бюффона $\mu(\mbox{Г}, 4040)/4040\approx0{,}5080$, у Пирсона $\mu(\mbox{Г}, 24000)/24000\approx0{,}5005$. То есть, относительная доля экспериментов, в которых появился герб, колеблется около половины. И вот что существенно: если сделать опыт всего один, два раза, то такой закономерности не усмотришь! Доля $\mu(A, n)/n$ экспериментов, в которых появлялось событие $A$, называется {\em (относительной) частотой} события $A$. Эксперимент, в котором частота любого события $A$ колеблется около некоторого числа $\Pr^*(A)$, называется {\em статистически устойчивым}. Итак, в дальнейшем мы будем изучать только только статистически устойчивые случайные эксперименты.
Между событиями существуют вполне определённые связи. Нам потребуются следующие определения.
Определение. Событие $\bar A$ называется противоположным к событию $A$, если $\bar A$ происходит тогда и только тогда, когда не происходит $A$.
Здесь черта сверху как раз обозначает "противоположное". Очевидно, что $\bar{\bar A}=A$, $\bar\varnothing=\Omega$, $\bar\Omega=\varnothing$.
Определение. Объединением событий $A$ и $B$ называется такое событие $C$, которое происходит тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий $A$, $B$. Обозначается это $A\cup B$.
Объединение событий обладает следующими свойствами: $A\cup B=B\cup A$, $\Omega\cup A=\Omega$, $\varnothing\cup A=A$, $(A_1\cup A_2)\cup A_3=A_1\cup(A_2\cup A_3)$. Из-за последнего свойства можно не писать скобок: $A_1\cup A_2=\cup A_3$.
Определение. Пересечением событий $A$ и $B$ называется такое событие $D$, которое наступает тогда и только тогда, когда одновременно происходят и $A$, и $B$. Обозначается это $A\cap B$.
Пересечение событий обладает следующими свойствами: $A\cap B=B\cap A$, $\Omega\cap A=A$, $\varnothing\cap A=\varnothing$, $(A_1\cap A_2)\cap A_3=A_1\cap(A_2\cap A_3)$, поэтому скобок можно не ставить: $A_1\cap A_2 \cap A_3$.
Справедливы также соотношения, связывающие все три операции: $A\cup \bar A=\Omega$, $A\cap\bar A=\varnothing$, так называемые формулы де Моргана: $\overline{A\cup B}=\bar A\cap \bar B$, $\overline{A\cap B}=\bar A\cup \bar B$, распределительные законы: $A_1\cup(A_2\cap A_3)=(A_1\cup A_2)\cap(A_1\cup A_3)$, $A_1\cap(A_2\cup A_3)=(A_1\cap A_2)\cup(A_1\cap A_3)$.
Определение События $A$ и $B$ называются несовместными, если они одновременно не наступают, т. е. $A\cap B=\varnothing$.
Определение Говорят, что событие $A$ влечёт событие $B$ ($A$ является частным случаем события $B$, благоприятствует событию $B$), если всякий раз, когда наблюдается и $B$.
Например, каждое из событий $A$, $B$ влечёт их объединение $A\cup B$. Пересечение $A\cap B$ событий влечёт каждое из событий $A$, $B$. Среди всех возможных событий в данном эксперименте выделяют набор в некотором смысле простейших событий, исходя из следующих соображений.
Среди всех событий выбирают в некотором смысле простейшие события, называемые традиционно элементарными, с помощью которых можно представить все остальные события. Набор элементарных событий, элементарных исходов должен удовлетворять следующим аксиомам:
Каждому элементарному событию дают описание на заранее выбранном языке (в примере с кубиком мы выбрали язык картинок) и связывают каждый элементарные исход $A$ с одноточечным множеством $\{\omega\}$, содержащим описание этого исхода.