\documentclass[20pt]{extbook}
\usepackage[cp1251]{inputenc} %ргсский
%\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{color}
\usepackage[dvips,a4paper,landscape,verbose,margin=1.8cm]{geometry} 
%\usepackage[a4paper,landscape,verbose,margin=1.8cm]{geometry} 
\usepackage[display]{texpower}

\usepackage[rm,bf,small,raggedright]{titlesec} 
\titlelabel{\thetitle. } 


\usepackage{graphicx}
\usepackage{makeidx}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsthm}
% \usepackage{amsmath}
%\usepackage{emlines}
%\usepackage{emlines2}

\usepackage{pstricks}
\usepackage{pst-node}           % PSTricks package for nodes
\usepackage{pst-tree}           % PSTricks package for trees
%\usepackage{pst-3dplot}
%\usepackage{amsmath} % ¤<п cfrac
\psset{linewidth=0.5pt,arrowlength=2.8}

\raggedbottom


%\usepackage{answers}

\newenvironment{sol}{}{}

%\Newassociation{sol}{Solution}{ans}

%\renewenvironment{Solution}[2]{\smallskip\par\hangindent=1\parindent\noindent\makebox[\parindent][r]{\bf #1.~}{}#2}{}

\newcommand{\hint}{{\it Hint:{} }}
\newcommand{\skipped}{{$\langle$\it Skipped\,$\rangle$}}





\definecolor{gold}{rgb}{.75,0.63,0.}
\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,.33,0.}
\definecolor{darkmagenta}{rgb}{.75,0,.75}
\definecolor{paleyellow}{rgb}{1., .945, .812}
\pagecolor{paleyellow}\color{black}%



\pagestyle{empty}



%\textwidth=11cm
%\oddsidemargin=2.5cm
%\evensidemargin=2.5cm
%\topmargin=2cm
%\textheight=16cm




\makeindex




%\newfont{\bfit}{cmbxi10}
\newcommand{\bfit}{\sc}

\newcommand{\NN}{\mathbb{N}}
\newcommand{\ZZ}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\QQ}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\RR}{\mathbb{R}}
\newcommand{\CC}{\mathbb{C}}
\newcommand{\VV}{{\rm\bf V}}
\renewcommand{\AA}{{\rm\bf A}}
\newcommand{\MM}{\mathsf{M}}
\newcommand{\CCC}{\mathsf{C}}
\newcommand{\Acal}{{\cal A}}
\newcommand{\Ocal}{{\cal O}}
\newcommand{\ee}{{\rm\bf e}}
\newcommand{\ff}{{\rm\bf f}}
\newcommand{\FF}{{\cal F}}
\renewcommand{\Re}{\mathop{\rm Re}\nolimits}
\renewcommand{\Im}{\mathop{\rm Im}\nolimits}
\newcommand{\Ker}{\mathop{\rm Ker}\nolimits}
\newcommand{\rank}{\mathop{\rm rank}\nolimits}
\newcommand{\defect}{\mathop{\rm def}\nolimits}
\newcommand{\pr}{\mathop{\rm pr}\nolimits}
\newcommand{\ort}{\mathop{\rm ort}\nolimits}
\newcommand{\set}[1]{\left\{ #1\right\}}
\newcommand{\transpose}{^{\top}}
\newcommand{\GCD}{\mathop{\mbox{\rm GCD}}\nolimits}
\newcommand{\LCM}{\mathop{\mbox{\rm LCM}}\nolimits}
\newcommand{\Lin}{\mathop{\mbox{\rm Lin}}\nolimits}
\newcommand{\suc}{\mathop{\rm suc}}
\newcommand{\diag}{\mathop{\rm diag}}
\newcommand{\degree}{\mathop{\rm deg}\nolimits}
\newcommand{\pp}{\stackrel{.}{+}}
\newcommand{\Sum}{\sum\limits}
\newcommand{\tr}{\mathop{\rm tr}\nolimits}
\newcommand{\termin}[2]{{\em #1}\index{#2}}
\newcommand{\comments}[1]{}
\newcommand{\divv}{\mathop{\,\mbox{\raisebox{-.45ex}[0pt]{$\vdots$}}\,}}
\newcommand{\notdivv}{\mathop{\!\not\mbox{\raisebox{-.45ex}[0pt]{$\vdots$}}\,}}
\newcommand{\minor}[2]{\left({{\displaystyle #1}\atop{\displaystyle #2}}\right)}
\newcommand{\MA}{\mathop{\mbox{\sf M}}}
\newcommand{\AM}{\mathop{\mbox{$\cal A$}}}
\newcommand{\adj}{\mathop{\rm adj}}
\newcommand{\oset}[1]{\left\langle #1\right\rangle}
\newcommand{\Ax}[1]{$\mbox{\sf A}_{#1}$}
\newcommand{\tg}{\mathop{\rm tg}}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{#1\strut}}

\newcommand{\Ref}[1]{{\rm(\ref{#1})}}
\newenvironment{narrowarray}[1]{\arraycolsep=0.15em\begin{array}{#1}}{\end{array}}

\newcommand{\indexentry}[2]{\item #1 #2}

\newcommand{\binom}[2]{\left(\kern-.5em\begin{array}{c}#1\\#2\end{array}\kern-.5em\right)}




\newcommand{\chapterend}
{
  \nopagebreak
  \begin{center}
    \bigskip
    \rule{2cm}{0.3pt}
  \end{center}
}

\theoremstyle{plain}
\newtheorem{theorem}{Theorem}[chapter]
\newtheorem{proposition}[theorem]{Proposition}
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
\newtheorem{corollary}[theorem]{Corollary}
\newtheorem{property}[theorem]{Property}
\theoremstyle{remark}
\newtheorem{note}[theorem]{Note}
\theoremstyle{plain}
\newtheorem{aexample}[theorem]{Example}
\newtheorem{aexercize}[theorem]{Exercize}

% \newenvironment{example}{\footnotesize\begin{aexample}\rm}{\end{aexample}}
% \newenvironment{exercize}{\footnotesize\begin{aexercize}\rm}{\end{aexercize}}
% \newenvironment{remark}{\footnotesize\begin{note}}{\end{note}}

\newenvironment{example}{\begin{aexample}\rm}{\end{aexample}}
\newenvironment{exercize}{\begin{aexercize}\rm}{\end{aexercize}}
\newenvironment{remark}{\begin{note}}{\end{note}}

\newenvironment{stretcharray}[1]{\arraycolsep=0.15em\begin{array}{#1}}{\end{array}}


%\newenvironment{note}[1]{\par\smallskip\noindent{\sc #1.} }{\smallskip}

%\newcommand{\qedsymbol}{$\square$}
% \renewcommand{\qedsymbol}{\rule{0.2em}{0.5em}}
%\newcommand{\qedsymbol}{\vbox to 0.5em {\hrule \hbox to 0.5em{\vrule x \hfill \vrule} \hrule}}
%\newcommand{\qedsymbol}{\vbox to 0.5em {\hrule \hbox to 0.5em {\vrule \kern 0.5em \vrule} \hrule}}

% \newenvironment{proof}{\par\smallskip\noindent{\sc Доказательство. }}{
%   \hfill
%   \qedsymbol
%   \par\smallskip}

\newcommand{\titlebf}[1]{\par\noindent{\bf #1}}

\newcommand{\titlesc}[1]{\par\noindent{\it #1}}

\newcommand{\answer}[1]
  {
%    \addcontents{toc}
%    {
%    #1
%    }
  }

\newcounter{formula}[chapter]
\renewcommand{\theformula}{\thechapter.\arabic{formula}}
\newcommand{\tag}[1]{\refstepcounter{formula}\label{#1}
  \eqno{(\theformula)}}

% \newcounter{exercizecount}
% \newenvironment{exercize}{\par\refstepcounter{exercizecount}
% \smallskip\noindent\footnotesize{\bf Упражнение~\arabic{exercizecount}.
% }}{\par\smallskip}
% 
% \newcounter{examplecount}
% \newenvironment{example}{\par\refstepcounter{examplecount}
% \smallskip \noindent\footnotesize{\bf Пример
% \arabic{examplecount}.\nopagebreak}}
% {\par\smallskip}

%\newenvironment{example}{
%\smallskip \footnotesize{П\,р\,и\,м\,е\,р. {}\nopagebreak}}
%{\par\smallskip}

\newcommand{\fracc}[2]{\frac{\textstyle \strut #1 \strut}{\textstyle \strut #2 \strut}}
\newcommand{\fraccc}[2]{\leavevmode\kern.1em\raise.5ex\hbox{\scriptsize $#1$}
  \kern-.1em / \kern-.15em \lower.25ex\hbox{\scriptsize $#2$}\,}

\newenvironment{dopiare}{\footnotesize}{\par}

\newenvironment{system}
{
  \left\{
  \begin{array}{l}
}
{
  \end{array}
  \right.
}

\newcounter{itemscount}
\newenvironment{items}
{
  \begin{list}{\alph{itemscount})}%
          {
            \usecounter{itemscount}
            %\leftmargin=\parindent
            %\rightmargin=0pt
            \topsep=3pt
            \partopsep=0pt
            \parsep=0pt
            \itemsep=0pt
            %\labelwidth=1em
          }
}
{\end{list}}

\newcommand{\solve}{\noindent}



\newcommand{\Begin}{{\bf begin{}}}
\newcommand{\End}{{\bf end{}}}
\newcommand{\Function}{{\bf function{}}}
\newcommand{\While}{{\bf while{}}}
\newcommand{\Repeat}{{\bf repeat{}}}
\newcommand{\If}{{\bf if{}}}
\newcommand{\Else}{{\bf else{}}}
\newcommand{\Return}{{\bf return{}}}
\newcommand{\Procedure}{{\bf procedure{}}}
\newcommand{\For}{{\bf for{}}}
\newcommand{\Do}{{\bf do{}}}
\newcommand{\Continue}{{\bf continue{}}}
\newcommand{\Break}{{\bf break{}}}

\newenvironment{Code}{\frenchspacing\medskip\obeylines\obeyspaces}{\medskip}{\obeyspaces\global\let =\ \global\everymath{\let =\space}}


\parskip=.3cm
\raggedright
\parindent=0pt
\renewcommand{\baselinestretch}{1.2}


\newcommand{\newslide}{\newpage}


\begin{document}

\thispagestyle{empty}
\ 
\vfill

\begin{center}

{\color{blue}
\Large
{\sf ALGEBRA and GEOMETRY}
}
\bigskip

{\large 
  \color{gold} Nikolai Yu. Zolotykh}
\bigskip

{Faculty of Computing Math. and Cybernatics,\\
Faculty of Foreign Students,\\
Nizhni Novgorod State University}

\smallskip

{2006, Fall; 2007, Spring}

\end{center}

\vfill
\
\thispagestyle{empty}

 \newpage
 
 \tableofcontents
 

\newpage




% *********************************************************************
% *********************************************************************
% *********************************************************************
% *********************************************************************


%\chapter{...}

% \section{The natural numbers}
% 
% 
% The {\em natural numbers} $1,2,3,\dots$ arise when counting elements in 
% finite sets. We denote the set of all natural numbers by
% $$
%     \NN = \set{1,2,3,\dots}.
% $$
% The set $\NN$ is infinite.
% Let $a\in \NN$.
% Denote by $\suc(a)$ the (unique) element in $\NN$ that follows $a$.
% For example, $\suc(1)=2$, $\suc(4)=5$.
% 
% \newslide
% 
% 
% We note the following properties of natural numbers.
% \begin{property}
% \begin{enumerate}
%   \item[(i)] $1$ is the only natural number that follows no elemet in $\NN$;
%   \item[(ii)] if $a\ne 1$ then there exists the unique $b$ such that $a = \suc(b)$;
%   \item[(iii)] if $A \subseteq \NN$, $1 \in A$, and for all $a\in A$
%                $$a \in A \quad\Rightarrow\quad \suc(a) \in A$$
%                then $A=\NN$.
% \end{enumerate}
% \end{property}
% 
% The property (iii) is called 
% the {\em principle of mathematical induction}.
% 
% \newslide
% 
% A {\em least} or {\em minimal element} of a subset $A \subseteq \NN$
% is an element $a_0 \in A$ such that $a_0 \le a$ for all $a\in A$.
% Similarly, a {\em greatest} or {\em maximal element} of $A$
% is one for which $a_0 \ge a$ for all $a \in A$. 
% Notice that $\NN$ has a least element $1$,
% but has no greatest element since for each $n \in \NN$ there exists
% $n+1 \in \NN$ and $n < n + 1$. 
% It is easy to see that least and greatest elements (if they exist) are
% always unique.
% 
% The principle of mathematical induction allows to prove the following
% propositions.
% 
% \begin{property}[The Well Ordering Principle]
%   Every non-emty subset of $\NN$ contains a minimal element.
% \end{property}
% 
% \begin{property}[The Maximal Principle]
% Let $T \subseteq \NN$ be a non-empty finite subset of $\NN$.
% Then $T$ contains the greatest element.
% \end{property}
% 
% \begin{property}[The Principle of Mathematical Induction]
%   Suppose that for all $n$ the statement $P(n)$ is defined
%   and the following conditions hold:
% \begin{enumerate}
%   \item[1)] $P(1)$ is true;
%   \item[2)] for all $n\in \NN$ if $P(n)$ is true then $P(n+1)$ is true.
% \end{enumerate}
% Then $P(n)$ is true for all $n\in \NN$.
% \end{property}
% 
% The principle of mathematical induction also allows 
% to introduce and investigate operations over natural numbers.
% 
% For example, the operation $+$ can be defined by the following statements:
% \begin{enumerate}
%   \item[(i)] $a+1 = \suc(a)$;
%   \item[(ii)] $\suc(a+b) = a + \suc(b)$.
% \end{enumerate} 
% 
% Now it is not hard to prove the following properties:
% \begin{proposition}
% \begin{enumerate}
%   \item[(i)]  if $a\in \NN$ and $b\in \NN$ then $a+b\in \NN$;
%   \item[(ii)] $a+b=b+a$;
%   \item[(ii)] $a+(b+c)=(a+b)+c$;
%   \item[(ii)] if $a+b=a+c$ then $b=c$;
%   \item[(ii)] if $a+b=c+b$ then $a=c$.
% \end{enumerate}
% \end{proposition}
% 
% Analogous statements hold for operation $\times$.
% 
% 
% \section{The natural numbers. Another variant}
% 
% The {\em natural numbers} $1,2,3,\dots$ arise when counting elements in 
% finite sets. We denote the set of all natural numbers by
% $$
%     \NN = \set{1,2,3,\dots}.
% $$
% The set $\NN$ is infinite.
% 
% We can add and multiply natural numbers.
% If $a\in \NN$ and $b\in \NN$ then $a+b\in \NN$ and $ab \in \NN$.
% 
% Also we can compare natural numbers. Given $a,b \in \NN$
% exacxtly one of the following holds:
% $$
%     a < b \quad \mbox{or} \quad a = b \quad \mbox{or} \quad a > b.
% $$
% As usual, if $a<b$ or $a=b$ then we write $a\le b$.
% If $a>b$ or $a=b$ then we write $a\ge b$.
% 
% The relations $=$, $\le$, $\ge$ are {\em reflexive}.
% This means, for instance, for the relation $=$, that
% for each natural number $a$
% $$
%     a = a.
% $$
% 
% The relation $=$ is {\em symmetric}.
% This means, that
% $$
%     a = b  \quad\Rightarrow\quad b = a.
% $$
% 
% \begin{exercize}
%   Show that the relations $\le$, $\ge$, $<$ and $>$ are {\em not} reflexive and symmetric.
% \end{exercize}
% 
% The relations $=$, $<$, $>$, $\le$, $\ge$ are {\em transitive}.
% This means, for instance, for the relation $<$, that
% $$
%     a < b  \mbox{ and } b < c \quad\Rightarrow\quad a < c.
% $$
% 
% A {\em least} or {\em minimal element} of a subset $S \subseteq \NN$
% is an element $s_0 \in S$ such that $s_0 \le s$ for all $s\in S$.
% Similarly, a {\em greatest} or {\em maximal element} of $S$
% is one for which $s_0 \ge s$ for all $s \in S$. 
% Notice that $\NN$ has a least element $1$,
% but has no greatest element since for each $n \in \NN$ there exists
% $n+1 \in \NN$ and $n < n + 1$. 
% It is easy to see that least and greatest elements (if they exist) are
% always unique.
% 
% One of the most important property of $\NN$ is
% 
% \begin{property}[The Well Ordering Principle]
%   Every non-emty subset of $\NN$ contains a minimal element.
% \end{property}
% 
% Indeed WOP is logically equivalent to each of the two
% following statements.
% 
% \begin{property}[The Principle of Mathematical Induction]
%   Suppose that for all $n$ the statement $P(n)$ is defined
%   and the following conditions hold:
% \begin{enumerate}
%   \item[1)] $P(1)$ is true;
%   \item[2)] for all $n\in \NN$ if $P(n)$ is true then $P(n+1)$ is true.
% \end{enumerate}
% Then $P(n)$ is true for all $n\in \NN$.
% \end{property}
% 
% \begin{property}[The Maximal Principle]
% Let $T \subseteq \NN$ be a non-empty finite subset of $\NN$.
% Then $T$ contains the greatest element.
% \end{property}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\chapter{Vector Geometry} \label{chVectorGeometry}

\newslide%1

A {\em vector} is a pair (ordered) of two points (in a plane or in space).

\pause
A vector $v$ is denoted as follows:
$v = \vect{AB}$, where
\begin{itemize}
  \item the point $A$ is the {\em start}, or {\em initial point}, of the vector $v$, and
  \item the point $B$ is the {\em end}, or {\em final point}, of the vector $v$.
\end{itemize}

\pause
It is represented as an arrow with the {\em tail} $A$
and  the {\em head} $B$.

\begin{center}
\psset{xunit=.7cm,yunit=.7cm}
  \begin{pspicture}(0,0)(5,3)
    \psdots(0,0)
    \psdots(5,3)
    \rput[rb](0,0){$A~$}
    \rput[lb](5,3){$~B$}
  \end{pspicture}
\end{center}


\newslide%1

A {\em vector} is a pair (ordered) of two points (in a plane or in the space).

A vector $v$ is denoted as follows:
$v = \vect{AB}$, where
\begin{itemize}
  \item the point $A$ is the {\em start}, or {\em initial point}, of the vector $v$, and
  \item the point $B$ is the {\em end}, or {\em final point}, of the vector $v$.
\end{itemize}

It is represented as an arrow with the {\em tail} $A$
and  the {\em head} $B$.

\begin{center}
\psset{xunit=.7cm,yunit=.7cm}
  \begin{pspicture}(0,0)(5,3)
    \psdots(0,0)
    \psdots(5,3)
    \rput[rb](0,0){$A~$}
    \rput[lb](5,3){$~B$}
    \psline[arrows=->](0,0)(5,3)
    \rput[lt](2.5,1.5){$~u=\vect{AB}$}
  \end{pspicture}
\end{center}


\pause
A vector has a {\em direction} and a {\em magnitude} ({\em length} or {\em modulus}).

\pause
The magnitude of the vector $v=\vect{AB}$ is the distance between $A$ and $B$.
It is denoted as $|v|=|\vect{AB}|$ or, simply, $|AB|$.

\pause
A {\em zero} vector, denoted $o$, is a vector of length $0$.
Its direction is undefined.

\newslide
Two vectors $u$ and $v$ are called {\em equal}
if they have the same direction and the same magnitude
(regardless of whether they have the same initial points).
\pause

\begin{center}
\psset{xunit=.5cm,yunit=.5cm}
  \begin{pspicture}(0,-4)(8,3)
    \psline[arrows=->](0,0)(5,3)
    \rput[rt](0,0){$A~$}
    \rput[lb](5,3){$~B$}

    \psline[arrows=->](3,-1)(8,2)
    \rput[rt](3,-1){$C~$}
    \rput[lb](8,2){$~D$}

    \rput(4,-3){$\vect{AB}=\vect{CD}$}
  \end{pspicture}
\end{center}

\pause

\begin{center}
\psset{xunit=.5cm,yunit=.5cm}
  \begin{pspicture}(-4,-1)(8,2)
    \psline[arrows=->](0,0)(-4,1)
    \rput[lt](0,0){$A~$}
    \rput[rb](-4,1){$~B$}

    \psline[arrows=->](3,-1)(8,2)
    \rput[rt](3,-1){$C~$}
    \rput[lb](8,2){$~D$}

    \rput(2,-3){$\vect{AB}\ne\vect{CD}$}
  \end{pspicture}
\end{center}

\newslide

Vectors can have the same magnitude but different direction.
They are not equal.

\pause

\begin{center}
\psset{xunit=.5cm,yunit=.5cm}
  \begin{pspicture}(0,-1)(13,4)
    \psline[arrows=->](0,-1)(0,4)
    \rput[tr](0,-1){$A~$}
    \rput[bl](0,4){$~B$}

    \psline[arrows=->](3,-1)(7,2)
    \rput[rt](3,-1){$C~$}
    \rput[lb](7,2){$~D$}

    \rput[c](12,2.5){$|\vect{AB}|=|\vect{CD}|$}
    \rput[c](12,0.5){$\vect{AB}\ne\vect{CD}$}
  \end{pspicture}
\end{center}

\newslide
\pause
Parrallel vectors are also called {\em collinear}

\pause
Zero vector $o$ is the unique vector which is collinear to any vector.

\pause
Two vectors $u$ and $v$ are called {\em opposite}
if they are collinear, have opposite direction and have the same magnitude.
\pause

If $v$ is opposite to $u$ then we'll write $v = -u$ (and $u = -v$)

\pause

\begin{center}
\psset{xunit=.5cm,yunit=.5cm}
  \begin{pspicture}(0,-1)(10,3)
    \psline[arrows=->](0,0)(5,3)
    \rput[rb](2.5,1.5){$u~$}

    \psline[arrows=->](10,2)(5,-1)
    \rput[lt](7.5,0.5){$~v=-u$}
  \end{pspicture}
\end{center}

\pause
In particular, $\vect{AB}=-\vect{BA}$

\pause
The opposite to zero vector is zero vector itself, i.e. $-o=o$.




\newslide

\newslide %1
\paragraph*{Vector addition.}

The {\em sum} of two vectors $u$ and $v$ is a vector $w$,
which can be obtained by placing the initial point of $v$ on
the final point of $u$ and then drawing an arrow from the initial point of
$u$ to the final point of $v$ ({\em ``tip-to-tail'' method}, or {\em triangle rule}).

\pause

\begin{center}
\psset{xunit=.5cm,yunit=.5cm}
  \begin{pspicture}(0,0)(8,6)

    \psline[arrows=->](0,0)(3,4)
    \rput[rb](1.5,2){$u~$}


    \psline[arrows=->](4,6)(8,6)
    \rput[b](6,6.4){$v$}

  \end{pspicture}
\end{center}

\newslide %2
\paragraph*{Vector addition.}

The {\em sum} of two vectors $u$ and $v$ is a vector $w$,
which can be obtained by placing the initial point of $v$ on
the final point of $u$ and then drawing an arrow from the initial point of
$u$ to the final point of $v$ ({\em ``tip-to-tail'' method}, or {\em triangle rule}).

\begin{center}
\psset{xunit=.5cm,yunit=.5cm}
  \begin{pspicture}(0,0)(8,6)

    \psline[arrows=->](0,0)(3,4)
    \rput[rb](1.5,2){$u~$}


    \psline[arrows=->](4,6)(8,6)
    \rput[b](6,6.4){$v$}

    \psline[arrows=->](3,4)(7,4)
    \rput[b](5,4.4){$v$}

    \psline[linestyle=dashed](3,4)(4,6)
    \psline[linestyle=dashed](7,4)(8,6)

  \end{pspicture}
\end{center}


\newslide %3
\paragraph*{Vector addition.}

The {\em sum} of two vectors $u$ and $v$ is a vector $w$,
which can be obtained by placing the initial point of $v$ on
the final point of $u$ and then drawing an arrow from the initial point of
$u$ to the final point of $v$ ({\em ``tip-to-tail'' method}, or {\em triangle rule}).

\begin{center}
\psset{xunit=.5cm,yunit=.5cm}
  \begin{pspicture}(0,0)(8,6)

    \psline[arrows=->](0,0)(3,4)
    \rput[rb](1.5,2){$u~$}


    \psline[arrows=->](4,6)(8,6)
    \rput[b](6,6.4){$v$}

    \psline[arrows=->](3,4)(7,4)
    \rput[b](5,4.4){$v$}

    \psline[linestyle=dashed](3,4)(4,6)
    \psline[linestyle=dashed](7,4)(8,6)

    \psline[arrows=->](0,0)(7,4)
    \rput[lt](3.5,2){$~w=u+v$}

  \end{pspicture}
\end{center}


\pause
The operation of vector addition is written as $w=u+v$.

\newslide
Another way to find the sum of two vectors is to use a {\em parallelogram rule}:
One can place the initial point of $v$ on the initial point $u$ and construct
the parallelogram whose two sides are $u$ and $v$. The diagonal of the parallelogram
beginning from the initial points of $u$ and $v$ is obviously the sum $w$ of $u$ and $v$.

\pause

\begin{center}
\psset{xunit=.5cm,yunit=.5cm}
  \begin{pspicture}(-3,-2)(4,4)

    \psline[arrows=->](0,0)(-3,4)
    \rput[rt](-1.5,2){$u~$}

    \psline[arrows=->](0,0)(4,0)
    \rput[t](2,-.4){$v$}

    \psline[arrows=->](-1,-2)(3,-2)
    \rput[t](1,-2.4){$v$}

    \psline[arrows=->](0,0)(1,4)
    \rput[lt](0.5,2){$~w$}

    \psline[linestyle=dashed](-3,4)(1,4)
    \psline[linestyle=dashed](4,0)(1,4)

  \end{pspicture}
\end{center}

\newslide %1

If vectors are collinear...

\pause

\begin{center}
\psset{xunit=.5cm,yunit=.5cm}
  \begin{pspicture}(0,0)(8,9)

    \psline[arrows=->](0,0)(1,3)
    \rput[rb](1.5,1.5){$u~$}

    \psline[arrows=->](6,2)(8,8)
    \rput[lt](7,5){$~v$}

  \end{pspicture}
\quad\qquad
  \begin{pspicture}(0,0)(10,9)
  \end{pspicture}
\end{center}


\newslide %2

If vectors are collinear...

\begin{center}
\psset{xunit=.5cm,yunit=.5cm}
  \begin{pspicture}(0,0)(8,9)

    \psline[arrows=->](0,0)(1,3)
    \rput[rb](1.5,1.5){$u~$}

    \psline[arrows=->](1,3)(3,9)
    \rput[lt](2,6){$~v$}

    \psline[arrows=->](6,2)(8,8)
    \rput[lt](7,5){$~v$}

    \psline[linestyle=dashed](1,3)(6,2)
    \psline[linestyle=dashed](3,9)(8,8)

  \end{pspicture}
\quad\qquad
  \begin{pspicture}(0,0)(10,9)
  \end{pspicture}
\end{center}


\newslide %3

If vectors are collinear...

\begin{center}
\psset{xunit=.5cm,yunit=.5cm}
  \begin{pspicture}(0,0)(8,9)

    \psline[arrows=->](0,0)(1,3)
    \rput[rb](1.5,1.5){$u~$}

    \psline[arrows=->](1,3)(3,9)
    \rput[lt](2,6){$~v$}

    \psline[arrows=->](6,2)(8,8)
    \rput[lt](7,5){$~v$}

    \rput[rb](1.5,4.5){$u+v~$}

    \psline[linestyle=dashed](1,3)(6,2)
    \psline[linestyle=dashed](3,9)(8,8)

  \end{pspicture}
\quad\qquad
  \begin{pspicture}(0,0)(10,9)
  \end{pspicture}
\end{center}


\newslide %4

If vectors are collinear...

\begin{center}
\psset{xunit=.5cm,yunit=.5cm}
  \begin{pspicture}(0,0)(8,9)

    \psline[arrows=->](0,0)(1,3)
    \rput[rb](1.5,1.5){$u~$}

    \psline[arrows=->](1,3)(3,9)
    \rput[lt](2,6){$~v$}

    \psline[arrows=->](6,2)(8,8)
    \rput[lt](7,5){$~v$}

    \rput[rb](1.5,4.5){$u+v~$}

    \psline[linestyle=dashed](1,3)(6,2)
    \psline[linestyle=dashed](3,9)(8,8)

  \end{pspicture}
\quad\qquad
  \begin{pspicture}(0,0)(10,9)

    \psline[arrows=->](3,0)(0,9)
    \rput[rb](1.5,4.5){$u~$}

    \psline[arrows=->](5,8)(7,2)
    \rput[lt](6,5){$~v$}

  \end{pspicture}
\end{center}


\newslide %5

If vectors are collinear...

\begin{center}
\psset{xunit=.5cm,yunit=.5cm}
  \begin{pspicture}(0,0)(8,9)

    \psline[arrows=->](0,0)(1,3)
    \rput[rb](1.5,1.5){$u~$}

    \psline[arrows=->](1,3)(3,9)
    \rput[lt](2,6){$~v$}

    \psline[arrows=->](6,2)(8,8)
    \rput[lt](7,5){$~v$}

    \rput[rb](1.5,4.5){$u+v~$}

    \psline[linestyle=dashed](1,3)(6,2)
    \psline[linestyle=dashed](3,9)(8,8)

  \end{pspicture}
\quad\qquad
  \begin{pspicture}(0,0)(10,9)

    \psline[arrows=->](3,0)(0,9)
    \rput[rb](1.5,4.5){$u~$}

    \psline[arrows=->](0,9)(2,3)

    \psline[arrows=->](5,8)(7,2)
    \rput[lt](6,5){$~v$}


    \psline[linestyle=dashed](0,9)(5,8)
    \psline[linestyle=dashed](2,3)(7,2)

  \end{pspicture}
\end{center}


\newslide %6

If vectors are collinear...

\begin{center}
\psset{xunit=.5cm,yunit=.5cm}
  \begin{pspicture}(0,0)(8,9)

    \psline[arrows=->](0,0)(1,3)
    \rput[rb](1.5,1.5){$u~$}

    \psline[arrows=->](1,3)(3,9)
    \rput[lt](2,6){$~v$}

    \psline[arrows=->](6,2)(8,8)
    \rput[lt](7,5){$~v$}

    \rput[rb](1.5,4.5){$u+v~$}

    \psline[linestyle=dashed](1,3)(6,2)
    \psline[linestyle=dashed](3,9)(8,8)

  \end{pspicture}
\quad\qquad
  \begin{pspicture}(0,0)(10,9)

    \psline[arrows=->](3,0)(0,9)
    \rput[rb](1.5,4.5){$u~$}

    \psline[arrows=->](3,0)(2,3)
    \rput[rb](2.5,1.5){$u+v~$}

    \psline[arrows=->](0,9)(2,3)

    \psline[arrows=->](5,8)(7,2)
    \rput[lt](6,5){$~v$}


    \psline[linestyle=dashed](0,9)(5,8)
    \psline[linestyle=dashed](2,3)(7,2)

  \end{pspicture}
\end{center}


\newslide

\paragraph{Multiplication of a vector by a scalar.}

Let $v$ be a vector and $\alpha$ be a real number (scalar).

\pause

The product of $v$ by $\alpha$ is a vector whose length is $|\alpha||v|$ 
and the direction is the same as the direction of $v$ if $\alpha > 0$,
and the direction is opposite if $\alpha < 0$.

\pause

\begin{center}
\psset{xunit=.5cm,yunit=.5cm}
  \begin{pspicture}(0,-1)(9,7)

    \psline[arrows=->](0,0)(3,4)
    \rput[rb](1.5,2){$v~$}

    \psline[arrows=->](3,-1)(9,7)
    \rput[rb](6,3){$2v~$}

  \end{pspicture}
\qquad\qquad\qquad
  \begin{pspicture}(0,-1)(9,7)

    \psline[arrows=->](3,0)(0,4)
    \rput[lb](1.5,2){$~u$}

    \psline[arrows=->](3,7)(9,-1)
    \rput[lb](6,3){~$-2u$}

  \end{pspicture}
\end{center}



\pause

If $v = o$ or $\alpha = 0$ then $\alpha v = o$.

\newslide

\paragraph{Properties of operations}

\begin{enumerate}
  \item[1.] For all vectors $u$, $v$ \quad $u+v = v+u$ ({\em commutativity})
  \item[2.] For all vectors $u$, $v$, $w$ \quad $(u+v)+w) = u+(v+w)$ ({\em associativity})
  \item[3.] For any vector $v$ \quad $v + o = v$
  \item[4.] For any vector $v$ \quad $v + (-v) = o$

  \item[5.] For any vector $v$ \quad $1v = v$
  \item[6.] For all scalars $\alpha$ and $\beta$ and all vectors $v$ \quad
            $\alpha(\beta v) = (\alpha\beta)v$
  \item[7.] For all scalars $\alpha$ and $\beta$ and all vectors $v$ \quad
            $(\alpha+\beta) v = \alpha v + \beta v$
  \item[8.] For all scalars $\alpha$ and all vectors $u$ and $v$ \quad
            $\alpha (u+v) = \alpha u + \alpha v$
\end{enumerate}

\newslide

\paragraph{Proofs}

\begin{enumerate}
  \item[1.] For all vectors $u$, $v$ \quad $u+v = v+u$ ({\em commutativity})
\end{enumerate}

\pause
\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
  \begin{pspicture}(-3,-2)(4,4)

    \psline[arrows=->](0,0)(-3,4)
    \rput[rt](-1.5,2){$u~$}

    \psline[arrows=->](0,0)(4,0)
    \rput[t](2,-.3){$v$}

    \psline[arrows=->](0,0)(1,4)
    \rput[rb](0.5,2){$u+v~$}

    \psline[arrows=->](0,0)(1,4)
    \rput[lt](0.5,2){$~v+u$}

    \psline[arrows=->](-3,4)(1,4)
    \rput[b](-1,4.3){$v$}

    \psline[arrows=->](4,0)(1,4)
    \rput[lb](2.5,2){$~u$}

  \end{pspicture}
\end{center}


\newslide %0
\begin{enumerate}
  \item[2.] For all vectors $u$, $v$, $w$ \quad $(u+v)+w = u+(v+w)$ ({\em associativity})
\end{enumerate}

\pause
\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
  \begin{pspicture}(0,0)(10,7)

    \psline[arrows=->](0,0)(0,4)
    \rput[r](0,2){$u~$}

    \psline[arrows=->](0,4)(4,7)
    \rput[rb](2,5.5){$v~$}

    \psline[arrows=->](4,7)(11,5)
    \rput[lb](7.5,6){$~w$}

  \end{pspicture}
\end{center}

\newslide %1
\begin{enumerate}
  \item[2.] For all vectors $u$, $v$, $w$ \quad $(u+v)+w = u+(v+w)$ ({\em associativity})
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
  \begin{pspicture}(0,0)(10,7)

    \psline[arrows=->](0,0)(0,4)
    \rput[r](0,2){$u~$}

    \psline[arrows=->](0,4)(4,7)
    \rput[rb](2,5.5){$v~$}

    \psline[arrows=->](4,7)(11,5)
    \rput[lb](7.5,6){$~w$}

    \psline[arrows=->](0,0)(4,7)
    \rput[lt](2,3.5){$~u+v$}

  \end{pspicture}
\end{center}

\newslide %2
\begin{enumerate}
  \item[2.] For all vectors $u$, $v$, $w$ \quad $(u+v)+w = u+(v+w)$ ({\em associativity})
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
  \begin{pspicture}(0,0)(10,7)

    \psline[arrows=->](0,0)(0,4)
    \rput[r](0,2){$u~$}

    \psline[arrows=->](0,4)(4,7)
    \rput[rb](2,5.5){$v~$}

    \psline[arrows=->](4,7)(11,5)
    \rput[lb](7.5,6){$~w$}

    \psline[arrows=->](0,0)(11,5)
    \rput[lt](5.5,2.5){$~(u+v)+w$}

    \psline[arrows=->](0,0)(4,7)
    \rput[lt](2,3.5){$~u+v$}

  \end{pspicture}
\end{center}

\newslide %3
\begin{enumerate}
  \item[2.] For all vectors $u$, $v$, $w$ \quad $(u+v)+w = u+(v+w)$ ({\em associativity})
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
  \begin{pspicture}(0,0)(10,7)

    \psline[arrows=->](0,0)(0,4)
    \rput[r](0,2){$u~$}

    \psline[arrows=->](0,4)(4,7)
    \rput[rb](2,5.5){$v~$}

    \psline[arrows=->](4,7)(11,5)
    \rput[lb](7.5,6){$~w$}

    \psline[arrows=->](0,4)(11,5)
    \rput[b](5.5,4.8){$v+w~$}

  \end{pspicture}
\end{center}

\newslide %4
\begin{enumerate}
  \item[2.] For all vectors $u$, $v$, $w$ \quad $(u+v)+w = u+(v+w)$ ({\em associativity})
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
  \begin{pspicture}(0,0)(10,7)

    \psline[arrows=->](0,0)(0,4)
    \rput[r](0,2){$u~$}

    \psline[arrows=->](0,4)(4,7)
    \rput[rb](2,5.5){$v~$}

    \psline[arrows=->](4,7)(11,5)
    \rput[lb](7.5,6){$~w$}

    \psline[arrows=->](0,0)(11,5)
    \rput[lt](5.5,2.5){$~u+(v+w)$}

    \psline[arrows=->](0,4)(11,5)
    \rput[b](5.5,4.8){$v+w~$}

  \end{pspicture}
\end{center}

\newslide %1

\paragraph{Subtraction}

$$
u - v = u + (-v)
$$

\pause
\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
  \begin{pspicture}(-2,0)(5,4)

    \psline[arrows=->](0,0)(3,4)
    \rput[rb](1.5,2){$u~$}

    \psline[arrows=->](0,0)(5,0)
    \rput[r](2.5,-0.4){$v$}


  \end{pspicture}
\end{center}

\newslide %2

\paragraph{Subtraction}

$$
u - v = u + (-v)
$$

\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
  \begin{pspicture}(-2,0)(5,4)

    \psline[arrows=->](0,0)(3,4)
    \rput[rb](1.5,2){$u~$}

    \psline[arrows=->](0,0)(5,0)
    \rput[r](2.5,-0.4){$v$}

    \psline[arrows=->](3,4)(-2,4)
    \rput[r](1.5,4.4){$-v$}


  \end{pspicture}
\end{center}

\newslide %3

\paragraph{Subtraction}

$$
u - v = u + (-v)
$$

\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
  \begin{pspicture}(-2,0)(5,4)

    \psline[arrows=->](0,0)(3,4)
    \rput[rb](1.5,2){$u~$}

    \psline[arrows=->](0,0)(5,0)
    \rput[r](2.5,-0.4){$v$}

    \psline[arrows=->](3,4)(-2,4)
    \rput[r](1.5,4.4){$-v$}

    \psline[arrows=->](0,0)(-2,4)
    \rput[rt](-1,2){$u+(-v)=u-v$}


  \end{pspicture}
\end{center}

\newslide %4

\paragraph{Subtraction}

$$
u - v = u + (-v)
$$

\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
  \begin{pspicture}(-2,0)(5,4)

    \psline[arrows=->](0,0)(3,4)
    \rput[rb](1.5,2){$u~$}

    \psline[arrows=->](0,0)(5,0)
    \rput[r](2.5,-0.4){$v$}

    \psline[arrows=->](3,4)(-2,4)
    \rput[r](1.5,4.4){$-v$}

    \psline[arrows=->](0,0)(-2,4)
    \rput[rt](-1,2){$u+(-v)=u-v$}

    \psline[arrows=->](5,0)(3,4)
    \rput[lb](4,2){$u+(-v)=u-v$}


  \end{pspicture}
\end{center}

\pause

If $u$ and $v$ is placed such that
they have the same initial point then
$u-v$ connects the end of $v$ with the end of $u$.


\newslide

\paragraph{New Properties}

\begin{enumerate}
  \item For all vectors $u$ and $v$ the equation $u+x = v$ has the unique solution $x=v-u$
  \item For all vectors $u$ \quad $0u = o$
  \item For all scalars $\alpha$ and vectors $v$ \quad
        $(-\alpha v) = (-\alpha) v$; \\ in particular, $(-1)v = -v$
  \item For all vectors $u$ and $v$ and all scalars $\alpha$\quad $\alpha(u - v) = \alpha u -\alpha v$
  \item For all vectors $u$ and all scalars $\alpha$ and $\beta$\quad $(\alpha-\beta)u = \alpha u - \beta u$
  \item If $\alpha v = o$ then $\alpha = 0$ or $v = 0$
  \item For all vectors $u$ and $v$ \quad 
        $|u|-|v|\le \Bigl| |u|-|v|\Bigr| \le |u+v|\le |u|+|v|$ ({\em triangle inequality})
\end{enumerate}

\newslide

\paragraph{Radius Vectors.}

Take in the plane a fixed origin $O$.
\pause
As a rule, we will draw vectors as arrows beginning at the origin.
\pause
\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
  \begin{pspicture}(-3,-5)(7,4)

    \psdots(0,0)
    \rput[lt](0,-0.4){$O$}

    \psline[arrows=->](0,0)(3,4)
    \rput[lb](3,4){$~u$}

    \psline[arrows=->](0,0)(7,0)
    \rput[lb](7,0){$~v$}

    \psline[arrows=->](0,0)(-3,2)
    \rput[b](-3,2.4){$w$}

    \psline[arrows=->](0,0)(-3,-5)
    \rput[r](-3,-5){$y~$}

  \end{pspicture}
\end{center}

\pause
Such vectors are called {\em radius vectors}.
\pause
A vector $\vect{OA}$ is called the {\em radius vector of the point} $A$.

\newslide
\paragraph{Basis in a Plane.}

Consider two non-collinear vectors in a plane.
\pause
We will say that they form a {\em basis} in the plane.

\pause
\begin{theorem}
Let $e_1$, $e_2$ form a basis in a plane.
Then for any vector $u$ in the plane there exist scalars $\alpha_1$ and $\alpha_2$
such that 
$$
u = \alpha_1 e_1 + \alpha_2 e_2.  \tag{fbasisdec}
$$
\end{theorem}

\pause
The equality \Ref{fbasisdec} is called a {\em decomposition of a vector
$u$ by the basis} $e_1$, $e_2$.

\newslide %1

\begin{proof}\ 
\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
  \begin{pspicture}(0,0)(9,9)

    \psdots(0,0)
    \rput[rt](0,0){$O~$}

    \psline[arrows=->](0,0)(3,0)
    \rput[tr](3,-0.4){$e_1$}

    \psline[arrows=->](0,0)(1,4)
    \rput[rt](1,4){$e_2~$}

    \psline[arrows=->](0,0)(11,8)
    \rput[lb](11,8){$~u$}

  \end{pspicture}

\end{center}
\end{proof}

\newslide %2

\begin{proof}\ 

\begin{center}

\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
  \begin{pspicture}(0,0)(9,9)

    \psdots(0,0)
    \rput[rt](0,0){$O~$}

    \psline[arrows=->](0,0)(3,0)
    \rput[tr](3,-0.4){$e_1$}

    \psline[arrows=->](0,0)(1,4)
    \rput[rt](1,4){$e_2~$}

    \psline[arrows=->](0,0)(11,8)
    \rput[lb](11,8){$~u$}

    \psline[linestyle=dashed](3,0)(12,0)
    \psline[linestyle=dashed](1,4)(2.5,10)

  \end{pspicture}

\end{center}
\end{proof}

\newslide %3

\begin{proof}\ 

\begin{center}

\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
  \begin{pspicture}(0,0)(9,9)

    \psdots(0,0)
    \rput[rt](0,0){$O~$}

    \psline[arrows=->](0,0)(3,0)
    \rput[tr](3,-0.4){$e_1$}

    \psline[arrows=->](0,0)(1,4)
    \rput[rt](1,4){$e_2~$}

    \psline[arrows=->](0,0)(11,8)
    \rput[lb](11,8){$~u$}

    \psline[linestyle=dashed](3,0)(12,0)
    \psline[linestyle=dashed](1,4)(2.5,10)

    \psline[linestyle=dashed](9,0)(11,8)
    \psline[linestyle=dashed](2,8)(11,8)

  \end{pspicture}

\end{center}
\end{proof}

\newslide %4
\begin{proof}\ 

\begin{center}

\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
  \begin{pspicture}(0,0)(9,9)

    \psdots(0,0)
    \rput[rt](0,0){$O~$}

    \psline[arrows=->](0,0)(3,0)
    \rput[tr](3,-0.4){$e_1$}

    \psline[arrows=->](0,0)(1,4)
    \rput[rt](1,4){$e_2~$}

    \psline[arrows=->](0,0)(11,8)
    \rput[lb](11,8){$~u$}

    \psline[linestyle=dashed](9,0)(12,0)
    \psline[linestyle=dashed](2,8)(2.5,10)

    \psline[linestyle=dashed](9,0)(11,8)
    \psline[linestyle=dashed](2,8)(11,8)

    \psline[arrows=->](0,0)(9,0)
    \rput[tr](9,-0.4){$\alpha_1 e_1$}

    \psline[arrows=->](0,0)(2,8)
    \rput[rt](2,8){$\alpha_2 e_2~$}

  \end{pspicture}

\end{center}

\pause

$$
u = \alpha_1 e_1 + \alpha_2 e_2.
$$

\end{proof}

\newslide

Scalars $\alpha_1$ and $\alpha_2$ in the equality
$u=\alpha_1 e_1 + \alpha_2 e_2$ are called
{\em coordinates of a vector $u$ in the basis} $e_1$, $e_2$.

\pause
For coordinates of a vector $u$ in the basis $e_1$, $e_2$
we will use the following notation:
$$
u(\alpha_1, \alpha_2)  \quad \mbox{or} \quad [u] = (\alpha_1, \alpha_2)
$$
or (in the case of uncertainty)
$$
[u]_{e_1,e_2} = (\alpha_1, \alpha_2).
$$




\newslide

\begin{center}

\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
  \begin{pspicture}(-6,-4)(11,8)

    \psdots(0,0)
    \rput[rt](0,-0.4){$O~~$}

    \psline[arrows=->](0,0)(3,0)
    \rput[tr](3,-0.4){$e_1$}

    \psline[arrows=->](0,0)(1,4)
    \rput[l](1,4){$~e_2$}

    \psline[arrows=->](0,0)(11,8)
    \rput[lb](11,8){$~u$}

    % \psline[linestyle=dashed](9,0)(12,0)
    % \psline[linestyle=dashed](2,8)(2.5,10)

    \psline[linestyle=dashed](9,0)(11,8)
    \psline[linestyle=dashed](2,8)(11,8)

    \psline[arrows=->](0,0)(9,0)
    \rput[tr](9,-0.4){$3 e_1$}

    \psline[arrows=->](0,0)(2,8)
    \rput[rt](2,8){$2 e_2~$}

    \psline[arrows=->](0,0)(-5,4)
    \rput[rb](-5,4){$v~$}
    \psline[linestyle=dashed](-5,4)(1,4)

    \psline[arrows=->](0,0)(-6,0)
    \rput[tl](-6,-0.4){$-2e_1$}
    \psline[linestyle=dashed](-5,4)(-6,0)

    \psline[arrows=->](0,0)(5,-4)
    \rput[lt](5,-4){$~w$}

    \psline[arrows=->](0,0)(6,0)
    \rput[rb](6,0.4){$2e_1~$}
    \psline[linestyle=dashed](5,-4)(6,0)

    \psline[arrows=->](0,0)(-1,-4)
    \rput[r](-1,-4){$-e_2~$}
    \psline[linestyle=dashed](5,-4)(-1,-4)

  \end{pspicture}

\end{center}
\pause
$$
u=3e_1+2e_2,\quad
v=-2e_1+e_2,\quad
w=2e_1-e_2
$$
$$
[u] = (3, 2),\quad
[v] = (-2, 1),\quad
[w] = (2, -1)
$$

\newslide

\begin{theorem}
For any basis $e_1$, $e_2$ and any vector $u$ 
the coordinates of $u$ in the basis $e_1$, $e_2$ are unique.
\end{theorem}

\pause
\begin{proof} By contradiction.
Suppose that we have two different decompositions of $u$:
$$
u = \alpha_1 e_1 + \alpha_2 e_2 = \beta_1 e_1 + \beta_2 e_2. 
$$

\pause
Hence,
$
(\alpha_1 - \beta_1) e_1 + (\alpha_2 - \beta_2) e_2 = o
$


\pause
Without loss of generality (w.l.g.) we can suppose that
$
\alpha_1 \ne \beta_1
$

\pause
Hence
$$
e_1 = -\frac{\alpha_2 - \beta_2}{\alpha_1 - \beta_1} e_2
$$

\pause
This means that $e_1$ and $e_2$ are collinear. Contradiction!
\end{proof}

\newslide

\begin{theorem}
The coordinates of the sum of two vectors are equal to the sum of
their corresponding coordinates:

if $[u]=(\alpha_1, \alpha_2)$, $[v]=(\beta_1, \beta_2)$ then
$[u+v] = (\alpha_1 + \beta_1, ~\alpha_2 + \beta_2)$.

\pause

The coordinates of the product of a vector by a scalar are
equal to the product of its coordinates by the scalar.

if $[u]=(\alpha_1, \alpha_2)$ then
$[\beta u] = (\beta\alpha_1, ~\beta \alpha_2)$.
\end{theorem}
\pause
\begin{proof}
Add vectors $u=\alpha_1 e_1 + \alpha_2$ and $v=\beta_1 e_1 + \beta_2 e_2$.
We obtain $u+v = (\alpha_1+\beta_1) e_1 + (\alpha_2+\beta_2) e_2$.
Hence $[u+v] = (\alpha_1 + \beta_1, ~\alpha_2 + \beta_2)$.

\pause
Multiply a vector $u=\alpha_1 e_1 + \alpha_2$ by the scalar $\beta$.
We obtain $u = \beta\alpha_1 e_1 + \beta\alpha_2 e_2$.
Hence $[\beta u] = (\beta\alpha_1, ~\beta \alpha_2)$.
\end{proof}

\newslide

The aggregate of an origin $O$ and a basis $e_1$, $e_2$
is called an {\em (affine) coordinate system}.

\pause

The {\em coordinates of a point} $A$ in a coordinate system is the coordinates of its
radius vector:
$$
[A] = [OA]
$$

\pause

We have $\vect{AB}=\vect{OA}-\vect{OB}$.
Hence, {\em the coordinates of a vector are equal to the coordinates of
its head minus coordinates of its tail}.

\newslide

\begin{example}
Let $A(1, 2)$, $B(-3, 1)$, $C(7,-4)$, $D(-3, -2)$.

Find coordinates of
$\vect{OA}$, 
$\vect{OB}$, 
$\vect{OC}$, 
$\vect{OD}$, 
$\vect{AB}$, 
$\vect{CD}$, 
$2\vect{AB}-3\vect{CD}$.
\pause

$\vect{OA} (1,2)$,       \pause 
$\vect{OB} (-3,1)$,      \pause
$\vect{OC} (7,-4)$,      \pause
$\vect{OD} (-3,-2)$,     \pause
$\vect{AB} (-4,-1)$,     \pause
$\vect{CD} (-10,2)$,     \pause
$[2\vect{AB}-3\vect{CD}] = (2\cdot (-4) - 3\cdot(-10),~ 2\cdot(-1)-3\cdot 2) = (22,~ -7)$.


\end{example}




\newslide



\paragraph{Special case: orthonormal basis and Cartesian coordinate system} \ 

A vector of magnitude $1$ is called a {\em unit vector}.
\pause

$\fracc{u}{|u|}$ is a unit vector collinear with $u$ with the same direction. 

%\pause
%The angle between vectors

\pause
We say that $u$ is {\em orthogonal} (or {\em perpendicular}) with $v$
if the angle between $u$ and $v$ is $\pi/2$.
Notation: $u \bot u$.

\pause
Zero vector is orthogonal to any other vector.

\pause

\begin{center}

\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
  \begin{pspicture}(-1,0)(8,4)

    \psdots(0,0)
    \rput[rt](0,0){$O~$}

    \psline[arrows=->](0,0)(8,2)
    \rput[lt](8,2){$~u$}

    \psline[arrows=->](0,0)(-1,4)
    \rput[rb](-1,4){$v~$}

    \psline(0.5821,0.1455)(0.4366,0.7276)(-0.1455,0.5821)
    \rput[lb](0.4366,0.7276){$\pi/2$}

  \end{pspicture}

\end{center}

\newslide
Basis $e_1$, $e_2$ is called {\em orthogonal} if vectors $e_1$ and $e_2$ are orthogonal.

\pause
\begin{center}

\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
  \begin{pspicture}(0,0)(8,5)

    \psdots(0,0)
    \rput[rt](0,0){$O~$}

    \psline[arrows=->](0,0)(8,0)
    \rput[lb](8,0){$~e_1$}

    \psline[arrows=->](0,0)(0,5)
    \rput[rb](0,5){$e_2~$}

    %\psline(0.6,0)(0.6,0.6)(0,0.6)

  \end{pspicture}

\end{center}


\pause
Basis $e_1$, $e_2$ is called {\em orthonormal} 
if vectors $e_1$ and $e_2$ are orthogonal unit vectors.

\pause
\begin{center}

\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
  \begin{pspicture}(0,0)(2,2)

    \psdots(0,0)
    \rput[rt](0,0){$O~$}

    \psline[arrows=->](0,0)(1,0)
    \rput[lb](1,0){$~e_1$}

    \psline[arrows=->](0,0)(0,1)
    \rput[rb](0,1){$e_2~$}

    %\psline(0.6,0)(0.6,0.6)(0,0.6)

  \end{pspicture}

\end{center}

\pause
If the basis is orthonormal then a corresponding coordinate system
is called {\em rectangular} (or {\em Cartesian}) {\em coordinate system}.




\newslide

\begin{center}

\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
  \begin{pspicture}(-6,-3)(6,5)

    \psdots(0,0)
    \rput[rt](0,-0.4){$O~$}

    \psline[arrows=->](0,0)(1,0)
    \rput[lt](1,-0.4){$e_1$}

    \psline[arrows=->](0,0)(0,1)
    \rput[rb](0,1){$e_2~$}

    \psline[arrows=->](-6,0)(6,0)
    \rput[lb](6,0){~$x$-axis}

    \psline[arrows=->](0,-3)(0,5)
    \rput[rb](0,5){$y$-axis~}

    \psline[arrows=->](0,0)(4,3)
    \rput[lb](4,3){$u$}

  \end{pspicture}

\end{center}

$$
u = 4e_1 + 3e_2 \quad \Rightarrow \quad [u] = (4,3)
$$


\newslide

\paragraph{Vectors in the space}\ 

\pause

Consider three non-coplanar vectors in the space.
\pause
We will say that they form a {\em basis} in the space.

\pause
\begin{theorem}
Let $e_1$, $e_2$, $e_3$ form a basis in the space.
Then for any vector $u$ in the plane there exist scalars $\alpha_1$, $\alpha_2$ and $\alpha_3$
such that 
$$
u = \alpha_1 e_1 + \alpha_2 e_2 + \alpha_3 e_3.  \tag{fbasisdec3d}
$$
\end{theorem}

\pause
The equality \Ref{fbasisdec3d} is called a {\em decomposition of a vector
$u$ by the basis} $e_1$, $e_2$, $e_3$.

\newslide %1

\begin{proof}\ 
\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
  \begin{pspicture}(-3,-2)(7,6)

    \psdots(0,0)
    \rput[rb](0,0){$O~$}

    \psline[arrows=->](0,0)(-1.33333,-1)
    \rput[lt](-1.33333,-1){$~e_1$}

    \psline[arrows=->](0,0)(3,0)
    \rput[b](3,0.2){$~e_2$}

    \psline[arrows=->](0,0)(0.75,3)
    \rput[rt](0.75,3){$e_3~$}

    \psline[arrows=->](0,0)(5.5,4)
    \rput[lt](5.5,4){$~u$}
  \end{pspicture}

\end{center}
\end{proof}


\newslide %2

\begin{proof}\ 
\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
  \begin{pspicture}(-3,-2)(7,6)

    \psdots(0,0)
    \rput[rb](0,0){$O~$}

    \psline[arrows=->](0,0)(-1.33333,-1)
    \rput[lt](-1.33333,-1){$~e_1$}

    \psline[arrows=->](0,0)(3,0)
    \rput[b](3,0.2){$~e_2$}

    \psline[arrows=->](0,0)(0.75,3)
    \rput[rt](0.75,3){$e_3~$}

    \psline[arrows=->](0,0)(5.5,4)
    \rput[lt](5.5,4){$~u$}

    \psline[arrows=->](0,0)(4,-2)
    \rput[lt](4,-2){$~v$}

    \psline[linestyle=dashed](5.5,4)(4,-2)

    \psline[arrows=->](0,0)(1.5,6)
    \rput[rb](1.5,6){$\alpha_3 e_3~$}

    \psline[linestyle=dashed](5.5,4)(1.5,6)

  \end{pspicture}

\end{center}
$$
u=v+\alpha_3 e_3
$$
\end{proof}


\newslide %3

\begin{proof}\ 
\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
  \begin{pspicture}(-3,-2)(7,6)

    \psdots(0,0)
    \rput[rb](0,0){$O~$}

    \psline[arrows=->](0,0)(-1.33333,-1)
    \rput[lt](-1.33333,-1){$~e_1$}

    \psline[arrows=->](0,0)(3,0)
    \rput[b](3,0.2){$~e_2$}

    \psline[arrows=->](0,0)(0.75,3)
    \rput[rt](0.75,3){$e_3~$}

    \psline[arrows=->](0,0)(5.5,4)
    \rput[lt](5.5,4){$~u$}

    \psline[arrows=->](0,0)(4,-2)
    \rput[lt](4,-2){$~v$}

    \psline[linestyle=dashed](5.5,4)(4,-2)
    \psline[linestyle=dashed](4,-2)(6.75,0)
    \psline[linestyle=dashed](4,-2)(-2.66666,-2)

    \psline[arrows=->](0,0)(-2.66666,-2)
    \rput[rt](-2.66666,-2){$\alpha_1 e_1~$}

    \psline[arrows=->](0,0)(6.75,0)
    \rput[l](6.75,0){$~\alpha_2 e_2$}

    \psline[arrows=->](0,0)(1.5,6)
    \rput[rb](1.5,6){$\alpha_3 e_3~$}

    \psline[linestyle=dashed](5.5,4)(1.5,6)

  \end{pspicture}

\end{center}
$$
u=\alpha_1 e_1 + \alpha_2 e_2 + \alpha_3 e_3
$$
\end{proof}


\newslide %4

\begin{proof}\ 
\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
  \begin{pspicture}(-3,-2)(7,6)

    \psdots(0,0)
    \rput[rb](0,0){$O~$}

    \psline[arrows=->](0,0)(-1.33333,-1)
    \rput[lt](-1.33333,-1){$~e_1$}

    \psline[arrows=->](0,0)(3,0)
    \rput[b](3,0.2){$~e_2$}

    \psline[arrows=->](0,0)(0.75,3)
    \rput[rt](0.75,3){$e_3~$}

    \psline[arrows=->](0,0)(5.5,4)
    \rput[lt](5.5,4){$~u$}

    \psline[arrows=->](0,0)(4,-2)
    \rput[lt](4,-2){$~v$}

    \psline[linestyle=dashed](5.5,4)(4,-2)
    \psline[linestyle=dashed](4,-2)(6.75,0)
    \psline[linestyle=dashed](4,-2)(-2.66666,-2)

    \psline[arrows=->](0,0)(-2.66666,-2)
    \rput[rt](-2.66666,-2){$\alpha_1 e_1~$}

    \psline[arrows=->](0,0)(6.75,0)
    \rput[l](6.75,0){$~\alpha_2 e_2$}

    \psline[arrows=->](0,0)(1.5,6)
    \rput[rb](1.5,6){$\alpha_3 e_3~$}

    \psline[linestyle=dashed](5.5,4)(1.5,6)

    \psline[linestyle=dotted](6.75,0)(8.25,6)
    \psline[linestyle=dotted](-2.66666,-2)(-1.16666,4)
    \psline[linestyle=dotted](5.5,4)(8.25,6)
    \psline[linestyle=dotted](5.5,4)(-1.16666,4)
    \psline[linestyle=dotted](1.5,6)(8.25,6)
    \psline[linestyle=dotted](1.5,6)(-1.16666,4)

  \end{pspicture}

\end{center}
$$
u=\alpha_1 e_1 + \alpha_2 e_2 + \alpha_3 e_3
$$
\end{proof}





\newslide

Scalars $\alpha_1$, $\alpha_2$ and $\alpha_3$ in the equality
$u=\alpha_1 e_1 + \alpha_2 e_2 + \alpha_3 e_3$ are called
{\em coordinates of a vector $u$ in the basis} $e_1$, $e_2$, $e_3$.

\pause
For coordinates of a vector $u$ in the basis $e_1$, $e_2$, $e_3$
we will use the following notation:
$$
u(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)  \quad \mbox{or} \quad [u] = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)
$$
or (in the case of uncertainty)
$$
[u]_{e_1,e_2,e_3} = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3).
$$

\newslide

\begin{theorem}
For any basis $e_1$, $e_2$, $e_3$ and any vector $u$ 
the coordinates of $u$ in the basis $e_1$, $e_2$, $e_3$ are unique.
\end{theorem}

\pause

The aggregate of an origin $O$ and a basis $e_1$, $e_2$, $e_3$
is called an {\em (affine) coordinate system}.

\pause

The {\em coordinates of a point} $A$ in a coordinate system is the coordinates of its
radius vector:
$$
[A] = [OA]
$$

\pause

The coordinates of the sum of two vectors are equal to the sum of
their corresponding coordinates.

\pause

The coordinates of the product of a vector by a scalar are
equal to the product of its coordinates by the scalar.

\newslide
Basis $e_1$, $e_2$, $e_3$ is called {\em orthogonal} if 
$e_1 \bot e_2$, $e_1 \bot e_3$, $e_2 \bot e_3$.

\pause
\begin{center}

\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
  \begin{pspicture}(-2,-1.5)(4,2.5)

    \psdots(0,0)
    % \rput[lt](0,-0.4){$~O$}

    \psline[arrows=->](0,0)(-2,-1.5)
    \rput[rb](-2,-1.5){$e_1~$}

    \psline[arrows=->](0,0)(4,0)
    \rput[lb](4,0){$~e_2$}

    \psline[arrows=->](0,0)(0,2.5)
    \rput[rb](0,2.5){$e_3~$}

    \psline(0.6,0)(0.6,0.6)(0,0.6)
    \psline(0.6,0)(0.2,-0.3)(-0.4,-0.3)
    \psline(0,0.6)(-0.4,0.3)(-0.4,-0.3)

  \end{pspicture}

\end{center}


\pause
Basis $e_1$, $e_2$, $e_3$ is called {\em orthonormal} 
if vectors $e_1$, $e_2$, $e_3$ are unit vectors and
$e_1 \bot e_2$, $e_1 \bot e_3$, $e_2 \bot e_3$.

\pause
\begin{center}

\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
  \begin{pspicture}(0,0)(2,2)

    \psdots(0,0)

    \psline[arrows=->](0,0)(-0.75,-0.55)
    \rput[rt](-0.7,-0.3){$e_1~$}

    \psline[arrows=->](0,0)(1,0)
    \rput[lb](1,0){$~e_2$}

    \psline[arrows=->](0,0)(0,1)
    \rput[rb](0,1){$e_3~$}

    %\psline(0.6,0)(0.6,0.6)(0,0.6)

  \end{pspicture}

\end{center}

\pause
If the basis is orthonormal then a corresponding coordinate system
is called {\em rectangular} (or {\em Cartesian}) {\em coordinate system}.

\newslide

\paragraph{Scalar product}

{\em Scalar product} ({\em inner product} or {\em dot product}) of two vectors:
$$
(u,v) = |u| \cdot |v| \cdot \cos \vartheta,
$$ 
where $\vartheta$ is the angle between $u$ and $v$.


\pause

\begin{example}
$|u|=2$, $|v|=3$, $\vartheta = \fracc{\pi}{6}$ $\Rightarrow$ $(u,v)=2\cdot 3\cdot\cos \fracc{\pi}{6}=3\sqrt{3}$.
\pause
$|u|=1$, $|v|=3$, $\vartheta = \fracc{2\pi}{3}$ $\Rightarrow$ $(u,v)=1\cdot 3\cdot\cos \fracc{2\pi}{3}=-\fracc{3}{2}$.
\pause

$|u|=3$, $|v|=4$, $\vartheta = 0$ $\Rightarrow$ $(u,v)=3\cdot 4\cdot\cos 0=12$.
\pause

$|u|=3$, $|v|=4$, $\vartheta = \pi$ $\Rightarrow$ $(u,v)=3\cdot 4\cdot\cos \pi=-12$.
\pause

$|u|=3$, $|v|=4$, $\vartheta = \fracc{\pi}{2}$ $\Rightarrow$ $(u,v)=3\cdot 4\cdot\cos \fracc{\pi}{2}=0$.
\pause

\end{example}

\newslide

% \paragraph{Properties}
\begin{theorem}
For all vectors $u$, $v$, $w$ in a plane or in the space
and for any scalar $\alpha$
\begin{enumerate}
  \item[1.] $(u,v)=(v,u)$
  \item[2.] $(u+v,w)=(u,w)+(v,w)$
  \item[3.] $(\alpha u,v)=\alpha(u,v)$
  \item[4a.] $(u,u)\ge 0$
  \item[4b.] $(u,u)=0$ if and only if $u=0$
  \item[5a.] $(u,v) = 0$ if and only if $u$ and $v$ are orthogonal
  \item[5b.] $(u,v) > 0$ if and only if the angle between $u$ and $v$ are acute
  \item[5c.] $(u,v) < 0$ if and only if the angle between $u$ and $v$ are obtuse (blunt)
\end{enumerate}
\end{theorem}
\pause

\begin{proof}
Properties 1, 3--5 are obvious.
\pause
Let's prove the 2nd property $(u+v,w)=(u,w)+(v,w)$.
\pause
$\mbox{LHS}=(u+v,w)=|u+v| \cdot |w| \cdot \cos \vartheta$
\pause
$\mbox{RHS}=(u,w)+(v,w)=|u| \cdot |w| \cdot \cos \varphi + |v| \cdot |w| \cdot \cos \psi
    = (|u|\cos\varphi + |v|\cos\psi) |w|$
\pause
LHS and RHS have the same multiplier $|w|$.
Let's compare what remains.
\pause

\begin{center}

\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
  \begin{pspicture}(0,0)(16,12)

  % \psgrid

    \psdots(0,0)
    \rput[rt](0,-0.4){$O~$}

    \psline[arrows=->](0,0)(16,0)
    \rput[rb](16,0.4){$w$}

    \psline[arrows=->](0,0)(10,4)
    \rput[rb](10,4.2){$u~$}

    \psline[arrows=->](10,4)(14,12)
    \rput[lt](14,12){$~v$}

    \psline[arrows=->](0,0)(14,12)
    \rput[rt](14,12){$u+v~~~$}

    \psline[linestyle=dashed](10,0)(10,4)
    \psline[linewidth=0.05](0,0)(10,0)
    \rput[t](5,-0.4){$|u|\cos\varphi$}

    \psline[linestyle=dashed](14,12)(14,4)
    \psline[linewidth=0.05](10,4)(14,4)
    \rput[t](12,3.6){$|v|\cos\psi$}

    \psarc(0,0){1.6}{0}{21.801}
    \rput[l](3.2,0.6){$~\varphi$}

    \psarc(10,4){0.75}{0}{64}
    \psarc(10,4){0.8}{0}{64}
    \rput[l](11.4,5){$~\psi$}

    \psarc(0,0){0.8}{0}{40.601}
    \psarc(0,0){0.85}{0}{40.601}
    \psarc(0,0){0.9}{0}{40.601}
    \rput[lb](2.4,1.5){$\vartheta$}
    \psline[arrows=->](2.4,1.5)(1.6,0.9)


    %\psline(0.6,0)(0.6,0.6)(0,0.6)

  \end{pspicture}

\end{center}

\pause
$$
|u| \cos \varphi + |v| \cos \psi = |u+v| \cos\vartheta
$$

\pause
(We must consider also the case then angles are not acute)
\end{proof}

\newslide

Let $e_1$, $e_2$, $e_3$ be orthonormal basis then
$$
(e_1, e_1) = (e_2, e_2) = (e_3, e_3) = 1,\qquad
(e_1, e_2) = (e_1, e_3) = (e_2, e_3) = 0
$$

\pause

\begin{theorem}
Let $e_1$, $e_2$ be orthonormal basis of a plane and
$[u]=(\alpha_1, \alpha_2)$, 
$[v]=(\beta_1, \beta_2)$, 
then
$$
(u,v) = \alpha_1 \beta_1 + \alpha_2 \beta_2.
$$
\pause
Let $e_1$, $e_2$, $e_3$ be orthonormal basis of the space and
$[u]=(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)$, 
$[v]=(\beta_1, \beta_2, \beta_3)$, 
then
$$
(u,v) = \alpha_1 \beta_1 + \alpha_2 \beta_2 + \alpha_3 \beta_3.
$$
\end{theorem}
\pause
\begin{proof}
$(u,v) = (\alpha_1 e_1+\alpha_2 e_2, \beta_1 e_1 + \beta_2 e_2)$
$     = \alpha_1 \beta_1 (e_1, e_1) +
        \alpha_1 \beta_2 (e_1, e_2) +
        \alpha_2 \beta_1 (e_2, e_1) +
        \alpha_2 \beta_2 (e_2, e_2)$
$     = \alpha_1 \beta_1 + \alpha_2 \beta_2$
\pause
The proof for the space is similar.
\end{proof}

\newslide

\begin{example} (basis is orthonormal)
\pause
$u(3,-2)$, $v(2,6)$ $\Rightarrow$ $(u,v) = 3\cdot 2 + (-2)\cdot 6 = -6$
\pause
$u(1,-2)$, $v(2,1)$ $\Rightarrow$ $(u,v) = 1\cdot 2 + (-2)\cdot 1 = 0$
(vectors are orthogonal)
\pause
$u(1,-2,3)$, $v(3,5,-1)$ $\Rightarrow$ $(u,v) = 1\cdot 3 + (-2)\cdot 5 + 3 \cdot (-1) = -10$
\end{example}

\newslide

\begin{corollary}
Let $e_1$, $e_2$ be orthonormal basis of a plane and
$[u]=(\alpha_1, \alpha_2)$ 
then
$$
|u| = \sqrt{\alpha_1^2 + \alpha_2^2}.
$$
\pause
Let $e_1$, $e_2$, $e_3$ be orthonormal basis of the space and
$[u]=(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)$ 
then
$$
|u| = \sqrt{\alpha_1^2 + \alpha_2^2 + \alpha_3^2}.
$$
\end{corollary}

\pause
\begin{example} (basis is orthonormal)
\pause
$u(3,-4)$ $\Rightarrow$ $|u| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{25} = 5$
\pause
$u(-1,7)$ $\Rightarrow$  $|u| = \sqrt{(-1)^2 + 7^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$
\pause
$u(1,-2,3)$ $\Rightarrow$ $|u| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 3^2} =\sqrt{14}$
\end{example}



\newslide
\begin{corollary}
Let $e_1$, $e_2$ be orthonormal basis of a plane and
$[A]=(\alpha_1, \alpha_2)$, 
$[B]=(\beta_1, \beta_2)$, 
then 
$$
|AB| = \sqrt{(\alpha_1 - \beta_1)^2 + (\alpha_2 - \beta_2)^2}.
$$
\pause
Let $e_1$, $e_2$, $e_3$ be orthonormal basis of the space and
$[A]=(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)$, 
$[B]=(\beta_1, \beta_2, \beta_3)$, 
then
$$
(u,v) = \sqrt{(\alpha_1 - \beta_1)^2 + (\alpha_2 - \beta_2)^2 + (\alpha_3 - \beta_3)^2}.
$$
\end{corollary}

\pause
\begin{example} (basis is orthonormal)
\pause
$A(-2,6)$, $B(1,2)$ $\Rightarrow$ $|AB| = \sqrt{(-2-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{25} = 5$
\pause
$A(1,-2,6)$, $B(0,-1,1)$ $\Rightarrow$ $|AB| = \sqrt{(1-0)^2 + (-2+1)^2 + (6-1)^2} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$
\end{example}

\newslide

\paragraph{Angles.}

Since $(u,v) = |u| \cdot |v| \cdot \cos\vartheta$ then

$$
\cos\vartheta = \frac{(u,v)}{|u|\cdot|v|}
$$

\pause

\begin{example} Find $\angle ABC$, if $A(2,5)$, $B(1,2)$, $C(3,3)$
 (coordinate system is rectangular)
\pause
$$[\vect{BA}] = (1,3), \qquad [\vect{BC}] = (2,1)$$
\pause
$$\cos \angle ABC = \fracc{(\vect{BA}, \vect{BC})}{|BA| \cdot |BC|}
=\frac{1\cdot 2 + 3\cdot 1}{\sqrt{1^2 + 3^2} \cdot\sqrt{2^2 + 1^2}}
= \frac{5}{\sqrt{10}\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{2}}{2}
$$
\pause
hence $\angle ABC = \fracc{\pi}{4}$
\end{example}

\newslide

\begin{example} Find $\angle ABC$, if $A(2,5,1)$, $B(1,2,-1)$, $C(3,3,1)$
 (coordinate system is rectangular)
\pause
$$[\vect{BA}] = (1,3,2), \qquad [\vect{BC}] = (2,1,2)$$
\pause
$$\cos \angle ABC = \fracc{(\vect{BA}, \vect{BC})}{|BA| \cdot |BC|}
=\frac{1\cdot 2 + 3\cdot 1 + 2\cdot 2}{\sqrt{1^2 + 3^2 + 2^2} \cdot\sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2}}
= \frac{9}{\sqrt{14}\sqrt{9}} = \frac{3}{\sqrt{14}}
$$
\pause
hence $\angle ABC = \arccos \left(3/\sqrt{14}\right)$
\end{example}

\newslide
\paragraph{Projection}
\ 
\pause

The orthogonal projection of a vector $u$ along a line is obtained by moving
the tail of the vector onto the line and dropping a perpendicular onto the
line from the head of the vector.
\pause

\begin{center}
\psset{xunit=.5cm,yunit=.5cm}
  \begin{pspicture}(-5,-1.5)(8,6)

    \psline[arrows=->](0,0)(3,4.1667)
    \rput[rb](1.5,2.05){$u~$}

    \psline[arrows=->](-2,2)(1,6.1667)
    \rput[rb](-0.5,4.05){$u~$}

    \psline(-4,-1.5)(8,3)

    \psline[arrows=->](0,0)(4,1.5)
    \rput[tl](2,0.75){~projection}

    \psline[linestyle=dashed](4,1.5)(3,4.1667)
  \end{pspicture}
\end{center}



\pause
The resulting vector on the line is
the {\em (orthogonal) projection} of $u$ on the line.


\newslide
Suppose the line is parallel to non-zero vector $v$.

\pause

\begin{center}
\psset{xunit=.75cm,yunit=.75cm}
  \begin{pspicture}(0,0)(8,4)

    \psdots(0,0)
    \rput[rt](0,0){$O~$}

    \psline[arrows=->](0,0)(3,4.1667)
    \rput[rb](3,4.1667){$u~$}


    \psline[arrows=->](4,1.5)(8,3)
    \rput[lt](8,3){$~v$}

    \psline[arrows=->](0,0)(1.2,0.45)
    \rput[t](1.2,0.2){$~v/|v|$}

    \psline[arrows=->](1.2,0.45)(4,1.5)
    \rput[t](4,1){$~pr_v u$}

    \psline[linestyle=dashed](4,1.5)(3,4.1667)

    \psarc(0,0){1.2}{20.556}{54.246}
    \rput[t](1.7,1.4){$\vartheta$}

  \end{pspicture}
\end{center}

\pause
Then
the projection of $u$ onto the line is
$$
\pr_v u = |u| \cdot \cos \vartheta \cdot \frac{v}{|v|} 
        = |u| \cdot |v| \cdot \cos \vartheta \cdot \frac{v}{|v|^2} 
        = \frac{(u,v)}{(v,v)} v
$$

\newslide

\paragraph{Vector product}
\ 

\pause

Let $u$ and $v$ be non-collinear vectors in the space.
Let $w$ be a vector such that

\pause

\begin{enumerate}
  \item[1.] $|w| = |u| \cdot |v| \cdot \sin \vartheta$, where $\vartheta$
            is the angle between $u$ and $v$;
\pause
  \item[2.] $w \bot u$, $w \bot v$;
\pause
  \item[3.] The direction of $w$ follows the {\em right hand rule}:

\pause
            Point your thumb in the direction of $u$.
            Point your fingers in the direction of $v$. 
            Your palm will face in the direction of $w$.

\pause
            (Use the {\em right} hand! The left hand will give the wrong answer)
\end{enumerate}

\pause
If $u$ and $v$ are collinear then let $w$ be the zero vector.

\newslide

$w$ is called a {\em vector product} 
({\em outer product} or {\em cross product})
of $u$ and $v$. Notation: $w=[u,v]$.

\pause

Thus, the vector product involves two vectors and gets as a result
another vector which is perpendicular to both vectors;
its length is equal to $|u| \cdot |v| \cdot \sin \vartheta$;
and direction follows the right hand rule.

\pause
\begin{center}

\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
  \begin{pspicture}(-5,-2.5)(6,3.5)

    \psdots(0,0)
    % \rput[lt](0,-0.4){$~O$}

    \psline[arrows=->](0,0)(-2,-1.5)
    \rput[rb](-2,-1.5){$u~$}

    \psline[arrows=->](0,0)(3.5,-0.5)
    \rput[lb](3.3,-0.3){$~v$}

    \psline[arrows=->](0,0)(0,3.5)
    \rput[rb](0,3.5){$w~$}

    \psline(0.594,-0.085)(0.594,0.515)(0,0.6)
    \psline(0,0.6)(-0.4,0.3)(-0.4,-0.3)

    \psline(-5,-2.5)(4,-2.5)(6,2)(-3,2)(-5,-2.5)

  \end{pspicture}

\end{center}

\newslide

In the vector product order is important.

When we switch the position of our
thumb and fingers we have to flip our hand over and our palm then faces in
the opposite direction. Hence
$[u,v] = - [v,u]$.

\begin{center}

\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
  \begin{pspicture}(-5,-2.5)(6,3.5)

    \psdots(0,0)
    % \rput[lt](0,-0.4){$~O$}

    \psline[arrows=->](0,0)(-2,-1.5)
    \rput[rb](-2,-1.5){$u~$}

    \psline[arrows=->](0,0)(3.5,-0.5)
    \rput[lb](3.3,-0.3){$~v$}

    \psline[arrows=->](0,0)(0,3.5)
    \rput[rb](0,3.5){$[u,v]~$}

    \psline[linestyle=dashed](0,0)(0,-2.5)
    \psline[arrows=->](0,-2.5)(0,-3.5)
    \rput[lt](0,-3.5){$~[v,u]=-[u,v]$}

    \psline(0.594,-0.085)(0.594,0.515)(0,0.6)
    \psline(0,0.6)(-0.4,0.3)(-0.4,-0.3)

    \psline(-5,-2.5)(4,-2.5)(6,2)(-3,2)(-5,-2.5)

  \end{pspicture}

\end{center}

\newslide

% \paragraph{Properties}
% \ 
\begin{theorem}
For all vectors $u$, $v$, $w$ in the space
and for any scalar $\alpha$
\begin{enumerate}
  \item[1.] $[u,v]=-[v,u]$ (anticommutativity)
  \item[2.] $[u+v,w]=[u,w]+[v,w]$
  \item[3.] $[\alpha u,v]=\alpha[u,v]$
  \item[4.] $[u,v] = o$ if and only if $u$ and $v$ are collinear
  \item[5.] $|[u,v]|=|u|\cdot|v|\cdot\sin\vartheta$ 
            is the area of the parallelogram generated from $u$ and $v$
\end{enumerate}
\end{theorem}

\pause
\begin{center}

\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
  \begin{pspicture}(0,0)(8,4)

    \psdots(0,0)
    \rput[rt](0,0){$O~$}

    \psline[arrows=->](0,0)(6,0)
    \rput[tr](6,-0.4){$u$}

    \psline[arrows=->](0,0)(2,4)
    \rput[rt](2,4){$v~~$}

    \psline[linestyle=dashed](6,0)(8,4)
    \psline[linestyle=dashed](2,4)(8,4)

    \psarc(0,0){0.5}{0}{63.435}
    \rput(1.3,1){$\vartheta$}

  \end{pspicture}
$\mbox{Area} = |u| \cdot |v| \cdot \sin \vartheta$
\end{center}

\newslide

Right triplet $\langle u, v, w\rangle$

\begin{center}

\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
  \begin{pspicture}(-6.5,-2.5)(7,3)

    \psdots(0,0)
    % \rput[lt](0,-0.4){$~O$}

    \psline[arrows=->](0,0)(-1.6,-1.5)
    \rput[rb](-1.6,-1.5){$u~$}

    \psline[arrows=->](0,0)(3,0)
    \rput[lb](3,0){$~v$}

    \psline[arrows=->](0,0)(0,3)
    \rput[rb](0,3){$w~$}

   \psline(-6.5,-2.5)(3,-2.5)(7,1.25)(-2.5,1.25)(-6.5,-2.5)

  \end{pspicture}

\end{center}


Left triplet $\langle u, v, w\rangle$

\begin{center}

\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
  \begin{pspicture}(-6.5,-2.5)(7,3)

    \psdots(0,0)
    % \rput[lt](0,-0.4){$~O$}

    \psline[arrows=->](0,0)(-1.6,-1.5)
    \rput[rb](-1.6,-1.5){$v~$}

    \psline[arrows=->](0,0)(3,0)
    \rput[lb](3,0){$~u$}

    \psline[arrows=->](0,0)(0,3)
    \rput[rb](0,3){$w~$}

   \psline(-6.5,-2.5)(3,-2.5)(7,1.25)(-2.5,1.25)(-6.5,-2.5)

  \end{pspicture}

\end{center}

\newslide

Let vectors $e_1$, $e_2$, $e_3$ form an orthonormal basis of the space.
Let $\langle e_1, e_2, e_3\rangle$ be a right triplet (orthonormal {\em right} basis).
Then
$$
\begin{array}{lll}
[e_1, e_2] = e_3,  &  [e_2, e_3] = e_1,  &  [e_3, e_1] = e_2 \\{}
[e_2, e_1] =-e_3,  &  [e_3, e_2] =-e_1,  &  [e_1, e_3] =-e_2 \\{}
[e_1, e_1] = o,    &  [e_2, e_2] = o,    &  [e_3, e_3] = o   \\{}
\end{array}
$$

\pause
This can be written in a table as follows
(the rows correspond to the first operand;
the columns correspond to the second one):

$$
\begin{array}{|c|ccc|}
\hline
       &  e_1  &  e_2  &  e_3  \\        
\hline                         
e_1    &   o   &  e_3  & -e_2  \\        
e_2    & -e_3  &   o   &  e_3  \\       
e_3    &  e_2  & -e_1  &   o   \\       
\hline
\end{array}
$$

\newslide

\begin{theorem}
Let $e_1$, $e_2$, $e_3$ be orthonormal {\bfseries right} basis of the space and
$[u]=(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)$, 
$[v]=(\beta_1, \beta_2, \beta_3)$, 
then
$$
[u,v] = (\alpha_2\beta_3 - \alpha_3\beta_2) e_1
+(\alpha_3\beta_1 - \alpha_1\beta_3) e_2
+(\alpha_1\beta_2 - \alpha_2\beta_1) e_3.
$$
\end{theorem}

\newslide

\begin{proof}
Since $u=\alpha_1 e_1 + \alpha_2 e_2 + \alpha_3 e_3$ and
$v=\beta_1 e_1 + \beta_2 e_2 + \beta_3 e_3$ then
$$
[u,v]=
[\alpha_1 e_1 + \alpha_2 e_2 + \alpha_3 e_3,
 \beta_1 e_1 + \beta_2 e_2 + \beta_3 e_3]
$$
\pause
$$
\begin{narrowarray}{cccccc}
= & [\alpha_1 e_1, \beta_1 e_1] & + & [\alpha_1 e_1, \beta_2 e_2] & + & [\alpha_1 e_1, \beta_3 e_3] \\
+ & [\alpha_2 e_2, \beta_1 e_1] & + & [\alpha_2 e_2, \beta_2 e_2] & + & [\alpha_2 e_2, \beta_3 e_3] \\
+ & [\alpha_3 e_3, \beta_1 e_1] & + & [\alpha_3 e_3, \beta_2 e_2] & + & [\alpha_3 e_3, \beta_3 e_3] \\
\end{narrowarray}
$$
\pause
$$
\begin{narrowarray}{cccccc}
= &              0      & + & \alpha_1\beta_2 e_3 & - & \alpha_1\beta_3 e_2 \\
- & \alpha_2\beta_1 e_3 & + &             0       & + & \alpha_2\beta_3 e_1 \\
+ & \alpha_3\beta_1 e_2 & - & \alpha_3\beta_2 e_1 & + &         0           \\
\end{narrowarray}
$$
\pause
$$
=(\alpha_2\beta_3 - \alpha_3\beta_2) e_1
+(\alpha_3\beta_1 - \alpha_1\beta_3) e_2
+(\alpha_1\beta_2 - \alpha_2\beta_1) e_3.
$$
\end{proof}

\newslide

$$
[u,v] = (\alpha_2\beta_3 - \alpha_3\beta_2) e_1
+(\alpha_3\beta_1 - \alpha_1\beta_3) e_2
+(\alpha_1\beta_2 - \alpha_2\beta_1) e_3.
$$


\pause

\begin{example}
Let's find the vector product $w=[u,v]$ if
$u(1,2,3)$, $v(3,4,2)$ (in right orthonormal basis)
\pause

$w = [u,v] = (2\cdot 2 - 3 \cdot 4) e_1 + (3 \cdot 3 - 1 \cdot 2) e_2 + (1\cdot 4 - 3\cdot 2) e_3
           = -8 e_1 + 7e_2 -2e_3$

Thus the coordinates of $w=[u,v]$ are $(-8, 7, -2)$.
\end{example}


\newslide

\begin{example}
Let's find the area $S$ of a triangle $ABC$ if
$A(0,1,2)$, $B(2,4,3)$, $C(-1,3,0)$ (basis is orthonormal)
\pause

\begin{center}

\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
  \begin{pspicture}(0,0)(8,4)

    \psdots(0,0)(6,0)(2,4)(8,4)
    \rput[rt](0,0){$A~$}
    \rput[tl](6,0){$~B$}
    \rput[rb](2,4){$C~$}
    \rput[lb](8,4){$~A'$}

    \psline(0,0)(6,0)(2,4)(0,0)

    \psline[linestyle=dashed](6,0)(8,4)(2,4)

    \psarc(0,0){0.5}{0}{63.435}
    \rput(1.3,1){$\vartheta$}

  \end{pspicture}
\end{center}

\pause

Triangles $ABC$ and $A'BC$ are equal.
Hence the area of the trangle $ABC$ is the half of the area of the parallelogram $ABA'C$:

\pause

$S = \fracc{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin \vartheta 
   = \fracc{1}{2} \Bigl|[\vect{AB}, \vect{AC}]\Bigr|$

$[\vect{AB}] = (2,3,1)$,
$[\vect{AC}] = (-1,2,-2)$

$[\vect{AB}, \vect{AC}] = (3\cdot (-2) - 1 \cdot 2) e_1 + (1 \cdot (-1) - 2 \cdot (-2)) e_2 + (2\cdot 2 - 3\cdot (-1)) e_3
           = -8 e_1 + 3e_2 +7e_3$

Thus the coordinates of $[\vect{AB}, \vect{AC}]$ are $(-8, 3, 7)$.

The magnitude of $[\vect{AB}, \vect{AC}]$ is $\sqrt{(-8)^2 + 3^2 + 7^2}=\sqrt{122}$.
Hence
$S=\fracc{\sqrt{122}}{2}$.
\end{example}

\newslide

\begin{example}
Let's find the area of a triangle $ABC$ in a plane
if $A(\alpha_1, \alpha_2)$, $B(\beta_1, \beta_2)$, $C(\gamma_1, \gamma_2)$
(the basis is orthonormal).

\pause
We can suppose that the points are in the space but their third coordinates are $0$'s:
$A(\alpha_1, \alpha_2, 0)$, $B(\beta_1, \beta_2, 0)$, $C(\gamma_1, \gamma_2, 0)$.

$\vect{AB}(\beta_1 - \alpha_1, \beta_2-\alpha_2, 0)$,
$\vect{AC}(\gamma_1 - \alpha_1, \gamma_2-\alpha_2, 0)$

$$
[\vect{AB}, \vect{AC}]  
 = 0 \cdot e_1 + 0 \cdot e_2 + 
\bigl((\beta_1 - \alpha_1)(\gamma_2-\alpha_2) - 
(\beta_2-\alpha_2)(\gamma_1 - \alpha_1)\bigr)e_3
$$

The area of $ABC$ is
$$
S = \frac{1}{2} \Bigl| [\vect{AB}, \vect{AC}] \Bigr|
 = \frac{1}{2}\Bigl( 
(\beta_1 - \alpha_1)(\gamma_2-\alpha_2) - 
(\beta_2-\alpha_2)(\gamma_1 - \alpha_1)\Bigr)
$$


\end{example}

\newslide

\paragraph{Mixed product.}

Mixed (or triple scalar product) of three vectors $u$, $v$, $w$
in the space is
$$
(u, v, w) = (u, [v,w]).
$$

\newslide

\begin{theorem}
Let $u$, $v$, $w$ are non-coplanar vectors in the space.
The absolute value of their mixed product is the volume of a parallelepiped
constructed from $u$, $v$, $w$.
\end{theorem}

\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
  \begin{pspicture}(-3,-2)(9,6)

    \psdots(4,-2)
    \rput[lt](4,-2){$~O$}

    \psline[arrows=->](4,-2)(5.5,4)
    \rput[lt](5.5,4){$~u$}

    \psline[arrows=->](4,-2)(6.75,0)
    \rput[lt](6.75,0){$~v$}

    \psline[arrows=->](4,-2)(-2.66666,-2)
    \rput[t](-2.66666,-2.4){$w$}


    \psline[linestyle=dashed](0,0)(-2.66666,-2)

    \psline[linestyle=dashed](0,0)(6.75,0)

    \psline[linestyle=dashed](0,0)(1.5,6)

    \psline(6.75,0)(8.25,6)
    \psline(-2.66666,-2)(-1.16666,4)
    \psline(5.5,4)(8.25,6)
    \psline(5.5,4)(-1.16666,4)
    \psline(1.5,6)(8.25,6)
    \psline(1.5,6)(-1.16666,4)

    \psline[linestyle=dashed](4,-2)(4,4.5)
    \psdot(4,4.5)
    \rput[b](4,4.9){$H$}

    \psline[linestyle=dashed,arrows=->](4,-2)(4,1.5)
    \rput[rt](4,1.5){$[v,w]~$}

    \psline[linestyle=dotted](5.5,4)(4,4.5)

  \end{pspicture}
\parbox{0.5\linewidth}{
The volume is $V=Sh$, where\\
$S = \Bigl|[v,w]\Bigr|$ is the area of a parallelogram generated from $v$ and $w$,\\
$h = OH = \Bigl|\pr_{[v,w]} u \Bigr|$ is the height of the parallelepiped
}
\end{center}

\pause

$$
V = S \cdot h = \Bigl|[v,w]\Bigr| \cdot OH = 
              = \Bigl|[v,w]\Bigr| \cdot |u| \cdot |\cos \vartheta|
              = |(u, [v,w])|.
$$

\newslide

\begin{theorem}
For all vectors $u$, $v$, $w$, $y$ and any scalar $\alpha$
\begin{enumerate}
  \item[1.] $(u, v, w) = (v, w, u) = (w, u, v) = -(u, w, v) = -(v, u, w) = -(w, v, u)$
  \item[2.] $(u + v, w, y) = (u,w,y) + (v,w,y)$
  \item[3.] $(\alpha u, v, w) = \alpha (u,v,w)$
  \item[4a.] $(u, v, w) = 0$ if and only if the vectors $u$, $v$, $w$ are co-planar
  \item[4b.] $(u, v, w) > 0$ if and only if the triplet $u$, $v$, $w$ is right
  \item[4c.] $(u, v, w) < 0$ if and only if the triplet $u$, $v$, $w$ is left
\end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{proof}
The property 4 is verified directly.

If a triplet $\langle u, v, w \rangle$ is right then 
the triplets $\langle v, w, u \rangle$, $\langle w, u, v \rangle$ are right and the triplets 
$\langle u, w, v\rangle$, $\langle v, u, w\rangle$ and $\langle w, v, u\rangle$ are left.

If a triplet $\langle u, v, w \rangle$ is left then 
the triplets $\langle v, w, u \rangle$, $\langle w, u, v \rangle$ are left and the triplets 
$\langle u, w, v\rangle$, $\langle v, u, w\rangle$ and $\langle w, v, u\rangle$ are right.

Now the property 1 follows from the previous theorem.

Properties 2, 3 follow from corresponding properties of the scalar product:
$$
(u + v, w, y) = (u + v, [w,y]) = (u,[w,y]) + (v,[w,y]) = (u,w,y) + (v,w,y),
$$ 
$$
(\alpha u, v, w) = (\alpha u, [v, w]) = \alpha (u, [v, w]) = \alpha (u, v, w).
$$ 
\end{proof}

\newslide


\begin{theorem}
Let $e_1$, $e_2$, $e_3$ be a basis of the space and
$$
[u]=(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3), \quad 
[v]=(\beta_1,  \beta_2,  \beta_3), \quad 
[w]=(\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3)
$$ 
then
$$
(u,v,w) = (\alpha_1\beta_2\gamma_3 + \alpha_2\beta_3\gamma_1 + \alpha_3\beta_1\gamma_2 
- \alpha_3\beta_2\gamma_1 - \alpha_2\beta_1\gamma_3 - \alpha_1\beta_3\gamma_2 ) \cdot (e_1, e_2, e_3).
$$

\pause

If basis is right orthonormal then
$$
(u,v,w) = \alpha_1\beta_2\gamma_3 + \alpha_2\beta_3\gamma_1 + \alpha_3\beta_1\gamma_2 
- \alpha_3\beta_2\gamma_1 - \alpha_1\beta_3\gamma_2 - \alpha_2\beta_1\gamma_3.
$$

\end{theorem}

\pause

The proof is similar to the proofs of analogous theorems for 
scalar product and vector product.

\newslide

\paragraph{The 3rd order determinant}

$$
\left|  
\begin{array}{ccc}
   \alpha_1 & \alpha_2 & \alpha_3  \\
   \beta_1  & \beta_2  & \beta_3   \\
   \gamma_1 & \gamma_2 & \gamma_3  \\
\end{array}
\right| 
= \alpha_1\beta_2\gamma_3 + \alpha_2\beta_3\gamma_1 + \alpha_3\beta_1\gamma_2 
- \alpha_3\beta_2\gamma_1 - \alpha_1\beta_3\gamma_2 - \alpha_2\beta_1\gamma_3 
$$

\pause

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
  \begin{pspicture}(1,1)(3,3)

    \psdot[dotsize=4pt](1,1)
    \psdot[dotsize=4pt](1,2)
    \psdot[dotsize=4pt](1,3)
    \psdot[dotsize=4pt](2,1)
    \psdot[dotsize=4pt](2,2)
    \psdot[dotsize=4pt](2,3)
    \psdot[dotsize=4pt](3,1)
    \psdot[dotsize=4pt](3,2)
    \psdot[dotsize=4pt](3,3)

    \psline(1,3)(2,2)(3,1)
    \psline(2,3)(3,2)(1,1)(2,3)
    \psline(3,3)(1,2)(2,1)(3,3)

    \rput(2,0.5){$+$}
  \end{pspicture}
\qquad\qquad\qquad
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
  \begin{pspicture}(1,1)(3,3)

    \psdot[dotsize=4pt](1,1)
    \psdot[dotsize=4pt](1,2)
    \psdot[dotsize=4pt](1,3)
    \psdot[dotsize=4pt](2,1)
    \psdot[dotsize=4pt](2,2)
    \psdot[dotsize=4pt](2,3)
    \psdot[dotsize=4pt](3,1)
    \psdot[dotsize=4pt](3,2)
    \psdot[dotsize=4pt](3,3)

    \psline(1,1)(2,2)(3,3)
    \psline(2,3)(1,2)(3,1)(2,3)
    \psline(1,3)(3,2)(2,1)(1,3)

    \rput(2,0.5){$-$}
  \end{pspicture}
\end{center}



\pause

\begin{corollary}
Let $e_1$, $e_2$, $e_3$ be a basis of the space and
$$
[u]=(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3), \quad 
[v]=(\beta_1,  \beta_2,  \beta_3), \quad 
[w]=(\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3)
$$ 
then
$$
(u,v,w) = 
\left|  
\begin{array}{ccc}
   \alpha_1 & \alpha_2 & \alpha_3  \\
   \beta_1  & \beta_2  & \beta_3   \\
   \gamma_1 & \gamma_2 & \gamma_3  \\
\end{array}
\right| \cdot (e_1, e_2, e_3).
$$


\end{corollary}

\newslide

\begin{example}
Let's find the triple product of vectors
$$
u( 1, 2, 3),\quad 
w( 4, 5, 7),\quad
v(-2,-3,-4) 
$$
(the basis is right orthonormal)
\pause
$$
(u, v, w) = 
\left|  
\begin{array}{rrr}
    1 &  2 &  3  \\
    4 &  5 &  7  \\
   -2 & -3 & -4  \\
\end{array}
\right| 
$$
\pause
$
=
1\cdot 5\cdot (-4) + 2\cdot 7\cdot (-2)  + 3\cdot 4\cdot (-3) 
-3\cdot 5\cdot (-2) - 2 \cdot 4\cdot (-4)  - 1\cdot 7\cdot (-3) 
= -20 -28 -36 + 30 + 32 + 21 = -1$

\pause

What is the volume of a parallelepiped generated from $u$, $v$, $w$?
\end{example}

\newslide

\begin{example}
Let's find the volume $V$ of a tetrahedron $ABCD$,
if $A(1,1,1)$, $B(1,2,3)$, $C(0,2,1)$, $D(3,2,1)$.

\pause

\begin{center}
\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.6cm}
  \begin{pspicture}(-2.5,0)(6,6)

    \rput[rt](0,-0.2){$A~$}

    \psline(0,0)(-2,2)
    \rput[r](-2,2){$B~$}

    \psline(0,0)(4,2)
    \rput[l](4,2){$~C$}

    \psline(0,0)(2,6)
    \rput[bl](2,6){$~D$}

    \psline(-2,2)(2,6)
    \psline(4,2)(2,6)

    \psline[linestyle=dashed](2,1.5)(2,6)
    \psdot(2,1.5)
    \rput[r](2,1.5){$H~$}

    \psline[linestyle=dashed](-2,2)(4,2)
  \end{pspicture}
\end{center}

The volume is $V=\fracc{1}{3}Sh$, where 
$S = \fracc{1}{2}\Bigl|[\vect{AB},\vect{AC}]\Bigr|$ is the area of the triangle $ABC$,
$h = DH = \Bigl|\pr_{[\vect{AB},\vect{AC}]} \vect{AD} \Bigr|$ is the height of the tetrahedron


\pause

Hence
$$
V = \frac{1}{6}\cdot \left|\left(\vect{AB},~ \vect{AC},~ \vect{AD}\right)\right|
$$

\pause

$$
\vect{AB}\,(0,1,2), \quad \vect{AC}\,(-1,1,0), \quad \vect{AD}\,(2,1,0)
$$

\pause

$$
(\vect{AB},~ \vect{AC},~ \vect{AD}) = 
\left|  
\begin{array}{rrr}
    0 & 1 & 2 \\
   -1 & 1 & 0 \\
    2 & 1 & 0 \\
\end{array}
\right| 
$$
\pause
$
= 0 \cdot 1 \cdot 0 + 1\cdot 0 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) \cdot 1
 -2 \cdot 1 \cdot 2 - 1\cdot (-1)\cdot 0 -  0\cdot 0\cdot 1
= 0 +0 -2 -4 - 0 - 0 = -6$.

\pause

$$V= 1.$$
\end{example}

\newslide

\begin{example}
Find the volume $V$ of a prism $ABCA'B'C'$,
if $A(1,1,1)$, $B(2,4,3)$, $C(3,-2,2)$, $A'(3,4,2)$.


\pause

\begin{center}
\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.6cm}
  \begin{pspicture}(-2.5,0)(6,8)

    \rput[rt](0,-0.2){$A~$}

    \psline(0,0)(-2,2)
    \rput[r](-2,2){$B~$}

    \psline(0,0)(4,2)
    \rput[l](4,2){$~C$}

    \psline(0,0)(2,6)
    \rput[tl](2,6){$~A'$}

    \psline(-2,2)(0,8)
    \rput[br](0,8){$B'~$}

    \psline(4,2)(6,8)
    \rput[bl](6,8){$~C'$}

    \psline(2,6)(0,8)(6,8)(2,6)

    \psline[linestyle=dashed](-2,2)(4,2)
  \end{pspicture}
\end{center}

\pause
$$
V = \frac{1}{2}\cdot \left|\left(\vect{AB},~ \vect{AC},~ \vect{AA'}\right)\right|
$$

\pause

$$
\vect{AB}\,(1,3,2), \quad \vect{AC}\,(2,-3,1), \quad \vect{AA'}\,(2,3,1)
$$

\pause

$$
(\vect{AB},~ \vect{AC},~ \vect{AD}) = 
\left|  
\begin{array}{rrr}
     1 &   3 &   2 \\
     2 &  -3 &   1 \\
     2 &   3 &   1 \\
\end{array}
\right| 
$$
\pause
$
= 1\cdot(-3)\cdot 1 + 3\cdot 1\cdot 2 + 2\cdot 2\cdot 3  
- 2\cdot(-3)\cdot 2 - 3\cdot 2\cdot 1 - 1\cdot 1\cdot 3
=-3+6+12+12-6-3 = 18$.

\pause

$$V= 9$$
\end{example}


\newslide

\begin{corollary}
Let $e_1$, $e_2$, $e_3$ be a right orthonormal basis of the space and
$$
[u]=(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3), \quad 
[v]=(\beta_1,  \beta_2,  \beta_3), \quad 
$$ 
then
$$
[u,v] = 
\left|  
\begin{array}{ccc}
   e_1      & e_2      & e_3       \\
   \alpha_1 & \alpha_2 & \alpha_3  \\
   \beta_1  & \beta_2  & \beta_3   \\
\end{array}
\right|
$$
\end{corollary}

\begin{example}
Find $[u,v]$ if $u(1,2,3)$, $v(3,2,1)$
(the basis is right orthonormal).
\pause
$$
[u,v] = 
\left|  
\begin{array}{ccc}
   e_1      & e_2      & e_3       \\
   1        & 2        & 3         \\
   3        & 2        & 1         \\
\end{array}
\right|
$$
\pause
$
=e_1 \cdot 2 \cdot 1 + e_2 \cdot 3 \cdot 3 + e_3 \cdot 1 \cdot 2
-e_3 \cdot 2 \cdot 3 - e_2 \cdot 1 \cdot 1 - e_1 \cdot 3 \cdot 2
=-4e_1 + 8e_2 - 4e_3.
$
\end{example}

\pause


\paragraph{Examples and Exercizes}
\ 

\pause
\begin{exercize}
There are vectors $u(1,2)$, $v(2,-1)$, $w(-3,2)$.
Find coordinates of $3u+5v-3w$ and $-u+5v+w$.
Draw all vectors.
\end{exercize}

\pause

\begin{exercize}
There are vectors $u(0,1,2)$, $v(2,1,1)$, $w(1,-3,-2)$.
Find coordinates of $3u+5v-3w$ and $-u+5v+w$.
\end{exercize}

\newslide

\begin{example}
Vectors $u$, $v$, $w$ have the same tail.
Prove that the head of $w$ is on the segment connecting the heads of $u$ and $v$
if and only if 
$$
w=\alpha u + \beta v \quad \mbox{with $\alpha \ge 0$, $\beta \ge 0$, $\alpha+\beta=1$}
$$
What coordinates of $w$ in the basis $u$, $v$?
In what ratio the head of $w$ divide this segment?
\end{example}

\newslide

\begin{exercize}
In the triangle $ABC$ the point $M$ is the midpoint of $BC$
($AM$ is a median).
Find coordinates of the vectors $\vect{AM}$ in basis $\vect{AB}$, $\vect{AC}$.
\end{exercize}

\newslide

\begin{exercize}
Points $E$ and $F$ are midpoints of edges $AB$ and $CD$ of quadrilateral $ABCD$ respectively.
Prove that 
$$
\vect{EF} = \fracc{1}{2} \, (\vect{BC} + \vect{AD}).
$$
\end{exercize}

\newslide

\begin{exercize}
Let $AD$ is the bisectix in the triangle $ABC$.
Prove that 
% $$
% \vect{AD} = 
% \frac{|\vect{AC}|}{|\vect{AB}|+|\vect{AC}|} \cdot \vect{AB} +
% \frac{|\vect{AC}|}{|\vect{AB}|+|\vect{AC}|} \cdot \vect{AC}.
% $$
$$
\vect{AD} = 
\frac{|AC|}{|AB|+|AC|} \cdot \vect{AB} +
\frac{|AC|}{|AB|+|AC|} \cdot \vect{AC}.
$$
What coordinates of $\vect{AD}$ in the basis $\vect{AB}$, $\vect{AC}$?
\end{exercize}


\newslide

\begin{example}
A quadrilateral $ABCD$ is called {\em trapezoid} (or {\em trapezium})
if $AD \parallel BC$ and $AB \not\parallel CD$.
Sides $AD$ and $BC$ are called {\em bases}.

Let $AD/BC = 4$.
Let $A$ be the origin of a coordinates system and
$\vect{AD}$, $\vect{AB}$ be a basis.
Let $M$ be the intersection of the diagonals of the trapezoid.
Find coordinates of $A$, $B$, $C$, $D$, $M$.
\end{example}

\newslide

\begin{example}
Find the coordinates of the intersection of medians in a traingle $ABC$
with $A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$, $C(x_3, y_3)$.
\end{example}

\newslide

\begin{exercize}
Find $|a|^2 - \sqrt{3} (a,b) + 5|b|^2$ if
\begin{enumerate}
  \item[1.] $|a|=1$, $|b|=2$, $\vartheta = \pi/3$;
  \item[2.] $|a|=3$, $|b|=2$, $\vartheta = 5\pi/6$.
\end{enumerate}
($\vartheta$ is the angle between $a$ and $b$).
\end{exercize}

\newslide

\begin{exercize}
Let
$a(-1,2)$, $b(2,3)$, $c(1,5)$.
Calculate
\begin{enumerate}
  \item[1.] $b\,(a,c) - c\, (a,b)$;
  \item[2.] $|a|^2 - (b,c)$;
  \item[3.] $|b|^2 + (b,a+2c)$.
\end{enumerate}
\end{exercize}

\newslide

\begin{example}
Prove that vectors $a$ and $b(a, c) - c(a,b)$ are orthogonal.
\end{example}

\newslide

\begin{exercize}
Prove that $|u-v|^2 = |u|^2 - 2\,|u|\,|v| + |v|^2$.
\end{exercize}
\pause
\begin{exercize}
Find $(\vect{AC}, \vect{BC})$ if
\begin{enumerate}
  \item[1.] $|AB|=5$, $|BC|=3$, $|AC|=4$;
  \item[2.] $|AB|=7$, $|BC|=4$, $|AC|=5$;
  \item[3.] $|AB|=3$, $|BC|=2$, $|AC|=3$;
\end{enumerate}
(The coordinate system is rectangular)
\end{exercize}

\newslide

\begin{exercize}
Find $\pr_v u$ if
\begin{enumerate}
  \item[1.] $u(1,1)$, $v(1,-3)$;
  \item[2.] $u(1,1)$, $v(1,-1)$.
\end{enumerate}
(The basis is orthonormal)
\end{exercize}

\newslide

\begin{exercize}
Simplify
\begin{enumerate}
  \item[1.] $[u+v,~u-v]$;
  \item[2.] $\left[u+v-\fracc{1}{2}\,w,~ -u+2v-5w\right]$;
\end{enumerate}
\end{exercize}

\newslide

\begin{exercize}
Vectors $u(2,3,1)$ and $v(-1,1,2)$ have the same origin
(The basis is orthonormal).
Find the area of the triangle generated from $u$ and $v$
and the lengths of all heights in it.
\end{exercize}

\newslide

\begin{exercize}
Can the vectors $u$, $v$, $w$ form a basis of the space if
\begin{enumerate}
  \item[1.] $u(1,-1,1)$, $v(1,2,-5)$, $w(1,1,0)$; 
  \item[2.] $u(1,3,2)$, $v(3,2,5)$, $w(1,-4,1)$; 
\end{enumerate}
\end{exercize}

\newslide

\begin{exercize}
Let $a$, $b$, $c$ are non-coplanar vectors.
Find all $\lambda$ such that $\lambda a  -b +c$, $a + 2b - c$
and $\lambda^2 a + 3c$ are coplanar.
\end{exercize}





\chapter{Complex Numbers}
\thispagestyle{empty}

\newslide

\section{Numerical sets}

We suppose that you know the following notation for numerical sets:

\pause

The set of {\em natural numbers}
$$
\NN = \set{1,2,3,\dots}.
$$

\pause

The set of {\em integer numbers}
$$
\ZZ = \set{\dots,~-3,~-2,~-1,~0,~1,~2,~3,~\dots}.
$$

\pause

The set of {\em rational numbers}
$$
\QQ = \set{\frac{p}{q}:~ p\in\ZZ,~ q\in\ZZ,~ q\ne 0}
$$

\pause

The set of real numbers $\RR$.

\pause

Notice that
$$
\NN \subset \ZZ \subset \QQ \subset \RR.
$$

$$
(\mbox{and} \quad \NN \ne \ZZ, ~ \ZZ \ne \QQ, ~ \QQ \ne \RR)
$$
\pause
\begin{exercize}
Give an example of the number $\alpha$,
such that
$$
\alpha \in \RR, \quad\mbox{but}\quad \alpha \notin \QQ.
$$
\end{exercize}


\newslide
\section{Complex Numbers}

A {\em complex number} is an ordered\footnote{The pair is ordered which
means that it is important which number is the first,
and which one is the second. For instance, $(1, 0)$ and $(0, 1)$
are different pairs.} pair of real numbers $(a, b)$.

\pause

For example, $(0, 0)$, $(1, 0)$, $(\fraccc{3}{4}, \fraccc{5}{14})$.

\pause

The set of all complex numbers we denote by $\CC$. 

\pause

Two complex numbers $(a,b)$ and $(c,d)$
are {\em equal} if (if and only if)
$$
a=c \quad \mbox{and} \quad b = d
$$
In this case we'll write $(a,b)=(c,d)$.

\newslide

On the set of all complex numbers let's define the operations
{\em addition} and {\em multiplication}:\footnote{The
sign of operation ``$\cdot$'' will be often omitted as the sign ``$\cdot$'' or ``$\times$''
for multiplication of real numbers.}:
$$
(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d), \quad
(a,b) \cdot (c,d) = (ac-bd, ad+bc).
\tag{frules}
$$

\newslide

Operations $+$ and $\cdot$ have the following properties:

For all complex numbers $(a,b)$, $(c,d)$, $(e,d)$

\begin{itemize}

\item {\em associativity}:
$$
\begin{narrowarray}{rcl}
  (a,b)+\left[(c,d)+(e,f)\right] & = & \left[(a,b)+(c,d)\right]+(e,f), \\[0.5em]
  (a,b)\cdot\left[(c,d)\cdot(e,f)\right]   & = & \left[(a,b)\cdot(c,d)\right]\cdot(e,f);
\end{narrowarray}
$$

\item {\em commutativity}: 
$$
(a,b)+(c,d)=(c,d)+(a,b), \quad (a,b)\cdot(c,d)=(c,d)\cdot(a,b);
$$

\item {\em distributivity}: 
$$
(a,b)\cdot\left[(c,d)+(e,f)\right]=(a,b)\cdot(c,d)+(a,b)\cdot(e,f).
$$
\end{itemize}

\pause

Let's prove the distributivity.
Using the definition of addition and multiplication of complex numbers
and the properties of real numbers 
(associativity, commutativity and distributivity)
we get:
$$
\begin{narrowarray}{rcl}
(a,b)\cdot\left[\strut(c,d)+(e,f)\right] & = & (a,b)\cdot(c+e,d+f) \\
                                         & = & \left(\strut a\cdot(c+e)-b\cdot(d+f), a\cdot(d+f)+b\cdot(c+e)\right) \\
                                         & = & (ac+ae-bd-bf, ad+af+bc+be)
\end{narrowarray}
$$ 

On the other hand,
$$
\begin{narrowarray}{rcl}
  (a,b)(c,d)+(a,b)(e,f) & = & (ac-bd, ad+bc) + (ae-bf,af+be)  \\
                        & = & (ac-bd+ae-bf, ad+bc+af+be).
\end{narrowarray}
$$ 

L.h.s. and r.h.s coinside.

\pause

\begin{exercize}
Prove the associativity and
commutativity of addition and multiplication
of complex numbers.
\end{exercize}

\newslide


\paragraph*{Zero.}

{\em Zero} (or {\em null} or {\em identity} w.r.t. addition)
is a complex number $(x,y)$, such that for any $(a, b)$ 
it holds that $(a,b)+(x,y)=(a,b)$. 

From the definition we get $a+x=a$, $b+y=b$, hence $x=0$, $y=0$. 

So, zero is the pair $(0,0)$ and there are no other zeros.

\pause

\paragraph*{Opposite number.}

The number {\em opposite} to $(a,b)$ is a pair $(x,y)$, 
such that $(a,b)+(x,y)=(0,0)$.

The opposite number is denoted by $-(a,b)$. 

It is not hard to see that $-(a,b)=(-a,-b)$ (prove this).  

\newslide

\paragraph*{Difference.}

The {\em difference} (or the number obtained as a result of {\em subtraction}) 
of two complex numbers $(c,d)$ and $(a,b)$ is the solution $(x,y)$
of the equation
$$
(a,b)+(x,y)=(c,d).
$$  

The difference is denoted by $(c,d)-(a,b)$.
It is obvious that $(c,d)-(a,b) = (c-a,d-b)$. 

It is not hard to see that the difference $(c,d)-(a,b)$ 
is a sum of  $(c,d)$ and a number opposite to $(a,b)$, i.e.
$$
(c,d)-(a,b)=(c,d)+[\strut-(a,b)].
$$

\newslide

\paragraph*{Unit.}

{\em One} (or unit or identity w.r.t multiplication)
is a complex number $(x,y)$ such that for any number $(a, b)$ 
it holds that 
$$
(a,b)(x,y)=(a,b).
$$ 
From the definition we get
$$
\begin{system}
  ax-by=a,\\
  bx+ay=b.
\end{system}
$$

If $a^2+b^2 \ne 0$, i.e. $(a,b)\ne(0,0)$, 
the system hase the only solution: 
$$
x=1, \quad y=0.
$$ 

So, $(a,b)(1,0)=(a,b)$ for any $(a,b)$ 
(for $(a,b)=(0,0)$ this also can be verified).

Thus, $(1,0)$ is identity w.r.t multiplication.

\newslide

\paragraph*{Inverse number.}

The number {\em inverse} to $(a,b)$ is a number $(x,y)$, 
such that
$$
(a,b)(x,y)=(1,0).
$$ 

The inverse number is denoted by $(a,b)^{-1}$. 

If $(a,b)\ne(0,0)$ the system
$$
\begin{system}
ax-by=1,\\
bx+ay=0
\end{system}
$$
has the only solution
$$
(a,b)^{-1}=\left(\fracc{ a}{a^2+b^2},~-\fracc{ b}{a^2+b^2}\right).\tag{finv}
$$

If $(a,b)=(0,0)$ the system has no solution. Hence there is no 
inverse number to zero.

\newslide

\paragraph*{Division.}

The result (the {\em quotient}) of the {\em division} $(c,d)$ by $(a,b)$ 
is the solution $(x,y)$ of the equation $(a,b)(x,y)=(c,d)$. 
The quotient is denoted by 
$$
\frac{(c,d)}{(a,b)} \quad \mbox{or} \quad (c,d)/(a,b).
$$

The equation $(a,b)(x,y)=(c,d)$ is equivalent to the system
$$
\begin{system}
ax-by=c,\\
bx+ay=d.
\end{system}
\tag{fsystemfordivision}
$$

Let's multiply the first equation by $a$, 
and the second one by $b$.
Then add the results. We obtain:
$$
(a^2+b^2)x=ac+bd.
$$ 

Now multiply the first equation by $b$, 
and the second one by $a$.
Subtract the first from the second.
We obtain:
$$
(a^2+b^2)y=ad-cb.
$$ 

If $a^2+b^2 \ne 0$ we have
$$
\fracc{ (c,d)}{(a,b)}=\left( \fracc{ac+bd}{a^2+b^2},~
\fracc{ ad-cb}{a^2+b^2}\right).\tag{fdiv}
$$

If $a^2+b^2 = 0$, then the result of division is undefined.

Comparing (\ref{finv}) and (\ref{fdiv}), 
we obtain that the quotient $(c,d)/(a,b)$ 
is the product $(c,d)$ with the number inverse to $(a,b)$:  
$$
\frac{(c,d)}{(a,b)}=(c,d)\cdot(a,b)^{-1}.
$$

\newslide

\paragraph*{Algebraic form of complex numbers.}

Let's consider the complex numbers kind of
$(a,0)$ as real numbers. More precisely,
let
$$
(a,0)=a.
$$

\pause

It is not hard to verify that
$$
(a,0)+(b,0)=(a+b,0), \quad
(a,0)(b,0)=(ab,0)
$$ 
for any $a$, $b$.

\pause

So, {\em the results of arithmetic operations under real numbers don't
depend on the way how they were obtained: using the rules for real numbers
or using the rules for complex numbers.}

\newslide

Now denote $i=(0,1)$. 
The number $i$ is called {\em imaginary unit}.

\pause

It is not hard to verify that $(0,b)=(b,0)\cdot i = bi$,
hence
$$
(a,b)=a+bi.
$$

This is an {\em algebraic form of a complex number}.

\pause

It is not hard to verify that $i^2=-1$, 
hence 
{\em one can operate with complex numbers as with ordinary
algebraic expressions involving ``symbol'' $i$
substituting $i^2$ to $-1$}. 

\newslide

For example,
open the parenthesis in 
$$
(a+bi)(c+di).
$$
We get
$$
ac+adi+bci+bdi^2.
$$ 
Since $i^2=-1$, then $(a+bi)(c+di)= ac-bd + (ad-bd)i$.

\newslide

Now consider the quotient $(c+di)/(a+bi)$.
We can multiply the numerator and the denominator by the number
$c-di$ (it's called {\em conjugate} to $c+di$).
We get
$$
\fracc{ c+di}{a+bi}=\fracc{ (c+di)(a-bi)}{(a+bi)(a-bi)}=
\fracc{ ac+bd+i(ad-bc)}{a^2+b^2}=
\fracc{ ac+bd}{a^2+b^2} + \fracc{ ad-bc}{a^2+b^2}i.
$$
The result coincides with (\ref{fdiv}).

\pause

So, arithmetic operations are defined in the most obvious way 
subject to the convention that $i^2 = -1$.

\pause

Now we have a (complex) number whos square is $-1$.
There is no real number with such property.
Indeed, we can indicate another complex number whoes square is $-1$.
It's $-i$.

\newslide

\begin{example}\ 

a) $(4+i)(5+3i)+(3+i)(3-2i)=20+12i+5i-3+9-6i+3i+2=28+14i$;

\pause

b)
$$
\begin{array}{l}
\fracc{(5+i)(7-6i)}{3+i}=\fracc{35-30i+7i+6}{3+i}\\
\qquad =\fracc{41-23i}{3+i}=\fracc{(41-23i)(3-i)}{(3+i)(3-i)}\\
\qquad =\fracc{123-41i-69i-23}{10}=\fracc{100-110i}{10}=10-11i.
\end{array}
$$
\end{example}

\pause

\begin{exercize}
Calculate
\par
a) $\fracc{(5+i)(3+5i)}{2i}$;
\quad
b) $\fracc{(2+i)(4+i)}{1+i}$.
  %\begin{sol} 
   % a) $14-5i$; b) $\fracc{13}{3}-\fracc{1}{2}i$.
  %\end{sol}
\end{exercize}

Usually complex numbers are denoted by
one letter. For example, $z=a+bi$, where 
$a$ is called the real part of $z$,
and
$b$ is called the imaginary part of $z$. 

We also will use the notations:
$\Re z = a$, $\Im z = b$.

%\begin{note}
%Как мы видели, множество вещественных чисел $\RR$ является подмножеством
%множества комплексных чисел $\CC$. На множестве $\CC$ определены операции
%сложения, вычитания, умножения и деления, удовлетворяющие обычным свойствам
%этих операций. Это означает, что многие утверждения, доказанные для
%вещественных чисел справедливы и для комплексных чисел, так как
%доказательства должны переносится и на этот случай. Среди таких
%утверждений, например, формулы для арифметических и геометрических прогрессий,
%бином Ньютона и т.\,п.
%\end{note}

\newslide

\section{Geometric Representation of Complex Numbers}

A real number can be considered as a point on the line.

A complex number can be considered as a point in the plane.
The point can be identified using its Cartesian coordinates.

Thus, complex number $(a,b)=a+bi$ identifies a point (and corresponding radius--vector)
whose $x$ coordinate is $a$ and $y$ coordinate is $b$.

%Данное отображение,
%очевидно, является биекцией множества $\CC$ на множество всех точек
%плоскости. 

%Плоскость, точки которой проинтерпретированы таким образом,
%называется {\em комплексной плоскостью}. 

%Ось абсцисс (называемая в
%данном случае {\em действительной осью} и обозначаемая $\Re$) при такой
%интерпретации будет соответствовать множеству действительных чисел. Ось
%ординат (называемая в данном случае {\em мнимой осью} и обозначаемая $\Im$) ---
%множеству {\em чисто мнимых} чисел, т.\,е. чисел вида $bi$, где $b$ ---
%любое вещественное. Начало координат соответствует нулю.

\newslide

In this case
the $x$ axes is called the {\em real} axes,
and the $y$ axes is called the {\em imaginary} axes.

\pause

The real axes corresponds to the set of all real numbers.
The imaginary axes corresponds to the set of imaginary
numbers, i.e. to the numbers kind of $bi$.

\pause

The sum and difference of complex numbers are represented
by the sum and difference of their radius-vectors.
% {\em Наглядную
% геометрическую интерпретацию приобретают в данном случае сложение и вычитание
% комплексных чисел --- это просто сложение и вычитание их радиус-векторов по
% правилу параллелограмма} (рис.\,\ref{csumma}).

%\begin{figure}[h]
%\begin{center}
%\input{summa.pic}
%\end{center}
%\caption{Addition and subtraction of complex numbers} \label{csumma}
%\end{figure}

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
  \begin{pspicture}(-6,-3)(10,8)
    \rput[rt](0,0){$\strut O~$}
    \psline[arrows=->](-6,0)(10,0)
    \rput[tl](10,0){$~\strut \Re$}
    \psline[arrows=->](0,-3)(0,7)
    \rput[lb](0,7){$~\strut \Im$}

    \psline[arrows=->](0,0)(3,3)
    \rput[lb](3,3){$~z_1$}
    \psline[arrows=->](0,0)(4,-2)
    \rput[rt](4,-2){$\strut z_2~$}

    \psline[arrows=->](0,0)(7,1)
    \rput[lb](7,1){$~z_1+z_2$}

    \psline[arrows=->](0,0)(-4,2)
    \rput[rt](-4,2){$-z_2~\strut$}

    \psline[arrows=->](0,0)(-1,5)
    \rput[b](-1,5){$z_1-z_2~~~\strut$}
    
    \psline[linestyle=dashed](3,3)(7,1)
    \psline[linestyle=dashed](4,-2)(7,1)
    \psline[linestyle=dashed](3,3)(-1,5)   
    \psline[linestyle=dashed](-4,2)(-1,5)   
  \end{pspicture}
\end{center}


\newslide

The absolute value of a complex number $z=a+bi$ is
the distance $r$ between the point $z$ and the origin
(Fig.\,\ref{ccomplex}).  

The absolute value is denoted by $|z|$. 

\pause

It is obvious that the old definition of absolute value for real numbers 
remains correct.

\pause

It is obvious that $|z|=0$, iff (if and only if) $z=0$. 

\pause

The {\em argument} of $z$ is the angle $\varphi$, in positive (anti-clock wise) direction
from the $\Re$ to the radius-vector of $z$.  

The argument is denoted by $\arg z$. 

\pause 

The argument is unique up to $2\pi k$, where $k \in \ZZ$.  

The number $0$ doesn't have an argument.  

% Очевидно, по паре $(r,\varphi)$ комплексное число $z$
% определяется однозначно.

\newslide

%\begin{figure}[h]
%\begin{center}
%\input{complex.pic}
%\end{center}
%\caption{Absolute value and argument of a complex number} \label{ccomplex}
%\end{figure}



\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
  \begin{pspicture}(-2,-2)(10,7)
    \rput[rt](0,0){$\strut O~$}
    \psline[arrows=->](-2,0)(10,0)
    \rput[tl](10,0){$~\strut \Re$}
    \psline[arrows=->](0,-2)(0,6)
    \rput[lb](0,6){$~\strut \Im$}

    \psdots(7,4)
    \psline(0,0)(7,4)
    \rput[lb](7,4){$~z = a+bi$}
    
    \psline[linestyle=dashed](7,0)(7,4)
    \psline[linestyle=dashed](0,4)(7,4)

    \rput[t](7,0){$\strut a$}
    \rput[r](0,4){$b~$}
    
    \rput[rb](3.5,2){$r~\strut$}

    \psarc[arrows=->](0,0){0.75}{0}{30}
    \rput(2.4,0.55){$\varphi$}

  \end{pspicture}
\end{center}


\newslide

Using the Pythagorean theorem and trigonometric formulas
we get
$$
|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2},\quad a=r\cos\varphi,\quad b=r\sin\varphi,
$$ 
hence
$$
a+bi=r(\cos\varphi + i\sin\varphi).
$$ 
The notion $r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$ is called the {\em
trigonometric form} of the complex number $a+bi$.

\pause

$0$ has not a trigonometric form.

\newslide

\begin{example}\label{extrig}
Find the trigonometric form:
\begin{items}
\item $8 = 8(\cos 0 + i \sin 0)$;

\pause

\item $i = \cos \fracc{\pi}{2} + i \sin \fracc{\pi}{2}$;

\pause

\item $-8 = 8(\cos \pi + i \sin \pi)$;

\pause

\item $1-i = \sqrt{2}\left(\cos \left(- \fracc{\pi}{4}\right) +
  i \sin\left(- \fracc{\pi}{4}\right)\right)$,
  indeed, $|1-i|=\sqrt{2}$, one of the solution to the system
  $$
  \begin{system}
    1=\sqrt{2}\cos\varphi,\\
    -1=\sqrt{2}\sin\varphi
  \end{system}
  $$
  is $\varphi=-\pi/4$;

\pause

\item $-\sqrt{3}-i = 2\left(\cos \left(-\fracc{5\pi}{6}\right) +
   i \sin \left(-\fracc{5\pi}{6}\right) \right)$;

\pause

\item $\cos\alpha - i\sin\alpha = \cos(-\alpha) + i \sin (-\alpha)$;

\pause

\item $\sin\alpha + i\cos\alpha = \cos\left(\fracc{\pi}{2} - \alpha\right)
   +i\sin\left(\fracc{\pi}{2} - \alpha\right)$;

\pause

\item $1+\cos\varphi + i \sin\varphi$, if $\varphi \in [-\pi,\pi]$:
   using the formula for double angle we get:
   $$2\cos^2\fracc{\varphi}{2} + i 2\cos\fracc{\varphi}{2} \sin\fracc{\varphi}{2}
   =
   2\cos\fracc{\varphi}{2}\left( \cos\fracc{\varphi}{2} + i
   \sin\fracc{\varphi}{2}\right).$$

\end{items}
\end{example}

\newslide

\begin{exercize}
Find the trigonometric form:
\par
a) $1-i$; \quad
b) $1-i\sqrt{3}$; \quad
c) $\fracc{1+i\tg\alpha}{1-i\tg\alpha}$.
 \begin{sol}%a) $\sqrt{2}\left[\cos\left(-\fracc{\pi}{4}\right)
    %+i\sin\left(-\fracc{\pi}{4}\right)\right]$;
    %b) $2\left[\cos\left(-\fracc{\pi}{3}\right)
    %+i\sin\left(-\fracc{\pi}{3}\right)\right]$;
    %
    %c)~$\cos 2\alpha + i\sin 2\alpha$.
 \end{sol}
\end{exercize}

\newslide

\begin{example}
Let's describe the set of points
corresponding to the complex numbers $z$ such that
$|z-z_0|=r$, where $z\in \RR, z_0 \in \RR, r\in \RR, r>0$.

\pause

\titlesc{1st~method.} Let $z=x+yi$, $z_0=x_0+y_0i$, thet the initial
equation is equivalent to $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$. 
This describes a circle with radius $r$ and with center $z_0=x_0+iy_0$.

\pause

\titlesc{2nd~method.}  $|z-z_0|$ is a distance between points
$z$ and $z_0$. Hence the initial equation describes the set of all
points $z$, such that the distance between them and the fixed point $z_0$ 
is constant equaled to $r$. This is a circle.

\end{example}

\newslide

\begin{exercize}
Describe the set of all points $z$, such that $|z-z_1|=|z-z_2|$.

% Используя геометрическую интерпретацию для $|z-z_1|$ и $|z-z_2|$, получаем,
% что описанная уравнением $|z-z_1|=|z-z_2|$ совокупность есть множество
% точек, равноудаленных от $z_1$ и $z_2$, т.\,е. серединный перпендикуляр
% отрезка $[z_1, z_2]$.

\end{exercize}

\pause

\begin{exercize}
Plot the set of all points $z$ such that
\par
a) $1\le|z-2+i|<2$;
\quad
b) $|\arg z|<\pi/4$;
\quad
c) $\Im z = 3$.
\end{exercize}

\newslide

\subsection{Multiplication and division of complex numbers in trigonometric form}

Let
$$
z_1 = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)
$$ 
$$
z_2= \rho(\cos\psi+ i\sin\psi).
$$ 

\pause

Open parenthesis in 
$$
z_1 z_2= r(\cos\varphi + i\sin\varphi)\cdot\rho(\cos\psi+ i\sin\psi).
$$ 
and use the trigonometric formulas for
sum of angles:
$$
\begin{narrowarray}{rcl}
z_1z_2 & = & r\rho(\cos\varphi\cos\psi-\sin\varphi\sin\psi + i(\sin\varphi\sin\psi+\cos\varphi\cos\psi))\\
       & = & r\rho\left[\strut\cos(\varphi+\psi)+i\sin(\varphi+\psi)\right].
\end{narrowarray}
$$
\pause

We have the complex number written in trigonometric form.
Its absolute value is $r\rho$ and argument is $\varphi+\psi$:
$$
|z_1 z_2|= |z_1|\cdot |z_2|,\quad
\arg (z_1 z_2)= \arg z_1 +\arg z_2 + 2\pi k \quad (k \in \ZZ).
$$

Thus to obtain the radius-vector of the product $z_1 z_2$
we should rotate the radius-vector of $z_1$ to the angle $\arg(z_2)$ 
and stretch it $|z_2|$ times.

\pause

If $\rho \ne 0$ then
$$
\left[\strut\rho(\cos\psi +
i\sin\psi)\right]^{-1} = \rho^{-1}\left[\strut\cos(-\psi) +
i\sin(-\psi)\right],
$$
hence
$$
\fracc{ r(\cos\varphi +
i\sin\varphi)}{\rho(\cos\psi + i\sin\psi)}=\fracc{
r}{\rho}\left(\strut\cos(\varphi-\psi)+i\sin(\varphi-\psi)\right),
$$
i.e.
$$
\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|},
   \quad
   \arg \frac{z_1}{z_2} = \arg z_1 - \arg z_2.
$$

\pause

Thus, to obtain the radius-vector of the result of division $z_1 / z_2$
we should rotate the radius-vector of $z_1$ to the angle $-\arg(z_2)$ 
and compress it $|z_2|$ times.

\newslide

\begin{example}
Let's perform the operations:

\begin{items}
\item
$$
\begin{array}{l}
    (1+i\sqrt{3})(1+i)(\cos\varphi + i\sin\varphi)\\
\qquad=
    2\left(\cos\fracc{\pi}{3}+i\sin\fracc{\pi}{3}\right)
    \sqrt{2}\left(\cos\fracc{\pi}{4}+i\sin\fracc{\pi}{4}\right)
    (\cos\varphi + i\sin\varphi)\\
\qquad=
    2\sqrt{2}
    \left(
      \cos \left( \fracc{7\pi}{12} + \varphi \right)
      + i\sin \left( \fracc{7\pi}{12} + \varphi \right)
    \right);
\end{array}
$$

\pause

\item
$$
  \fracc{\cos \varphi + i \sin \varphi}{\cos\psi - i\sin\psi}=
    \fracc{\cos \varphi + i \sin \varphi}{\cos (-\psi) + i\sin(-\psi)}=
    \cos(\varphi+\psi) + i \sin (\varphi + \psi).
$$
\end{items}
\end{example}

\newslide

\begin{example}
Let's find the trigonometric form of the number
$1+\cos\varphi + i \sin\varphi$, where $\varphi \in [-\pi,\pi]$.

This example has been considered (Example\,\ref{extrig}\,d).

Let's consider another method.
$$
 \begin{array}{l}
   1+\cos\varphi + i \sin\varphi\\
     \quad = (\cos 0 + i \sin 0) +(\cos\varphi + i \sin\varphi)\\
     \quad = \left(\cos(-\fracc{\varphi}{2})+
               i\sin(-\fracc{\varphi}{2})\right)
         \left( \cos\fracc{\varphi}{2}+i\sin\fracc{\varphi}{2}\right) +
         \left( \cos\fracc{\varphi}{2}+i\sin\fracc{\varphi}{2}\right)^2 \\
     \quad = 2\cos\fracc{\varphi}{2}\left(
             \cos\fracc{\varphi}{2} + i \sin\fracc{\varphi}{2}\right).
  \end{array}
$$
\end{example}

\newslide

\subsection{Powers}

Let $n$ be a natural number. 

As for real numbers we'll say that $\zeta$ is the $n$-th power
of $z$, $\zeta=z^n$, iff
$$
\zeta= \underbrace{z\cdot z \cdot \dots \cdot z}_{\mbox{\tiny$n$
multipliers}}.
$$

\pause

We have defined $z^{-1}$ as a number inverse to $z\ne 0$.
For any $z \ne 0$ we define $z^0=1$ and $z^{-n}=(z^{-1})^n$.  
Let's prove that
$$
(z^{-1})^n=(z^n)^{-1}.
$$
We have 
$$(z^{-1})^n z^n=z^{-1}\cdot \dots
\cdot z^{-1} z\cdot \dots \cdot z=(z^{-1}\cdot \dots \cdot (z^{-1} z)\cdot
\dots \cdot z) = 1.$$

\newslide

\begin{exercize}
Prove that 
$$
(z^m)^n =z^{mn}, \quad z^m z^n =z^{m+n}, \quad z_1^n z_2^n = (z_1 z_2)^n
$$ 
for any integers $m$, $n$.
\end{exercize}

\pause

Using mathematical induction we get
{\em Moivre's formulas} (A.\,de\,Moivre, 1736):
$$
\left[\strut r(\cos\varphi+ i\sin\varphi)\right]^n =
r^n\left[\strut\cos(n\varphi)+ i\sin(n\varphi)\right],
$$
where $n$ is any integer number.

\newslide

\begin{example}
Calculate:
$$
\begin{narrowarray}{rcl}
  (1+i\sqrt{3})^{150} & = & 2\left( \cos\fracc{\pi}{3} + i\sin\fracc{\pi}{3} \right)^{150} \\[0.5em]
                      & = & 2^{150} \left( \cos\fracc{150\pi}{3} + i\sin\fracc{150\pi}{3} \right) \\[0.5em]
                      & = & 2^{150} \left[\strut \cos(50\pi) + i\sin(50\pi) \right] \\[0.5em]
                      & = & 2^{150} \left( \cos 0 + i\sin 0 \right) = 2^{150}.
\end{narrowarray}
$$
\end{example}

\newslide

\begin{example}
Let's prove that if $z+\fracc{1}{z}=2\cos\vartheta$, then
$$
z^n+\fracc{1}{z^n}=2\cos n\vartheta. \tag{fforexample140}
$$

\pause

The equation $z+\fracc{1}{z}=2\cos\vartheta$
is equavalent to the square one:
$z^2-2z\cos\vartheta+1=0$. 

\pause

Its roots are
%Его корни\footnote{Обычные формулы для
%корней квадратного уравнения справедливы и для уравнений с комплексными коэффициентами.
%См. раздел~\ref{s_alg_equations}.}:
$$
z_{1,2}=\cos\vartheta\pm\sqrt{\cos^2\vartheta-1}=\cos\vartheta\pm i\sin\vartheta.
$$
Hence $z_{1,2}^n   =\cos n\vartheta  \pm  i\sin n\vartheta$,
        $z_{1,2}^{-n}=\cos n\vartheta  \mp  i\sin n\vartheta$.
The equality to prove follows immediately.
\end{example}

\newslide

\begin{exercize}
Calculate:
\begin{items}
\item $\fracc{(-1+i\sqrt{3})^{15}}{(1-i)^{20}}+
       \fracc{(-1-i\sqrt{3})^{15}}{(1+i)^{20}}$;
\item $(1+\cos\varphi+i\sin\varphi)^n$.
\end{items}
% \begin{sol}
% a) $-64$;
% b) $2^n\cos^n\fracc{\varphi}{2}\left( \cos\fracc{n\varphi}{2} + i
%    \sin\fracc{n\varphi}{2}\right)$.
%  \end{sol}
\end{exercize}


\newslide


\section{Complex conjugate numbers}

Recall, that $\overline{z} = a-bi$ is called {\em conjugate} of
$z = a+bi$.

\pause
It is not hard to see that $\overline{\bar z}=z$. 

\pause
If $z$ is in trigonometric form $$z=r(\cos\varphi + i \sin \varphi),$$ 
then 
$$\bar z =
r(\cos\varphi - i \sin\varphi) = r (\cos(-\varphi) + i \sin(-\varphi))$$
(see Fig.\,\ref{csopr}). 

\pause
Thus, the arguments of two conjugate numbers are different in sign.
The moduluses are equal: 
$$
|\bar z|=|z|, \quad \arg \bar z = -\arg z.
$$

%\begin{figure}
%\begin{center}
%\input{sopr.pic}
%\end{center}
%\caption{Congugate numbers}\label{csopr}
%\end{figure}

\begin{center}
\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.7cm}
  \begin{pspicture}(-2,-5)(10,5)
    \rput[rb](0,0){$\strut O~$}
    \psline[arrows=->](-2,0)(10,0)
    \rput[tl](10,0){$~\strut \Re$}
    \psline[arrows=->](0,-5)(0,5)
    \rput[lt](0,5){$~~\strut \Im$}

    \psdots(7,4)
    \psline(0,0)(7,4)
    \rput[lb](7,4){$~~z = a+bi$}
    
    \psdots(7,-4)
    \psline(0,0)(7,-4)
    \rput[lt](7,-4){$~~\overline{z} = a-bi$}
    
    \psarc[arrows=->](0,0){0.75}{0}{30}
    \rput(3,0.75){$\varphi$}

    \psarc[arrows=<-](0,0){1}{-30}{0}
    \rput(4,-1){$-\varphi$}
  \end{pspicture}
\end{center}


\newslide

Properties:
$$
\begin{narrowarray}{rcl}
\overline{z_1+z_2} = {\bar z}_1+{\bar z}_2, & \quad & \overline{z_1-z_2} = {\bar z}_1-{\bar z}_2,\\
\overline{z_1\cdot z_2} = {\bar z}_1\cdot {\bar z}_2, & \quad & \overline{z_1/z_2} = {\bar z}_1/{\bar z}_2;\\
z \bar z = |z|^2, & \quad & z+\bar z = 2\Re z.
\end{narrowarray}                             \tag{f_conj_properties}
$$
\pause
Let's prove the first one: 
$z_1=a+bi$, $z_2=c+di$, then
$\overline{z_1+z_2} = \overline{(a+c)+(b+d)i} = (a+c)-(b+d)i$ 

\pause
On the other hand, ${\bar z}_1+{\bar z}_2=a-bi+c-di=(a+c)-(b+d)i$. 

\pause
LHS $=$ RHS

\pause
\begin{exercize}
Prove remain properties (\ref{f_conj_properties}).
\end{exercize}

\newslide

\begin{example}
Find the solution $\bar z = z^3$.

\pause
\titlesc{1~method.} Let $z=x+iy$.
Then
$$
x-iy=x^3+3x^2yi-3xy^2-y^3i.
$$

\pause
Let's equate real and imaginary parts.
We obtain the aggregate of systems:
$$
\begin{system}
  x=x^3-3xy^2,\\
  -y=3x^2y-y^3
\end{system}
\mbox{\quad OR\quad }
\begin{system}
  x(x^2-3y^2-1)=0,\\
  y(y^2-3x^2-1)=0,
\end{system}
$$
\pause
Hence
$$
\begin{array}{l}
	\begin{system}
	  x=0,\\
	  y=0
	\end{system}
	\mbox{~or~}
	\begin{system}
	  x=0,\\
	  y^2-3x^2=1
	\end{system}
   \\[1em] \qquad
	\mbox{~or~}
	\begin{system}
	  x^2-3y^2=1,\\
	  y=0
	\end{system}
	\mbox{~or~}
	\begin{system}
	  x^2-3y^2=1,\\
	  y^2-3x^2=1,
	\end{system}
\end{array}
$$
Then
$$
\begin{array}{l}
	\begin{system}
	  x=0,\\
	  y=0
	\end{system}
	\mbox{~or~}
	\begin{system}
	  x=0,\\
	  y^2=1
	\end{system}
	\mbox{~or~}
	\begin{system}
	  x^2=1,\\
	  y=0
	\end{system}
	\mbox{~or~}
	\begin{system}
	  x^2-3y^2=1,\\
	  y^2-3x^2=1.
	\end{system}
\end{array}
$$
\pause
The last system is inconsistent in $\RR$. 
Indeed, multiplying the first equation by $3$ and adding them with the second one we obtain
$8y^2=-4$, that's impossible for real $y$.
\pause
From the 1st, 2nd and 3rd system we get the {\sc answer:} $0$, $\pm i$, $\pm 1$.

\newslide

\titlesc{2~method.} Let's write $z$ in trigonometric form: $z=r(\cos\varphi +
i\sin \varphi)$.
\pause The equation has the form:
$$
r(\cos(-\varphi)+i\sin(-\varphi))=r^3(\cos 3\varphi + i\sin 3\varphi),
$$
\pause
Hence
$$
  \begin{system}
    r=r^3,\\
    -\varphi=3\varphi + 2\pi k,~k\in\ZZ;
  \end{system}
\mbox{\quad hence\quad }
\begin{system}
  r=0 \quad\mbox{or}\quad r=1,\\
  \varphi = \fracc{\pi k}{2},~k\in\ZZ.
\end{system}
$$
The {\em solutions} to the system: $0$, $\pm i$, $\pm 1$.
\end{example}

\newslide

\begin{exercize}
Solve equations:
\begin{items}
\item $|z|+z=8+4i$;
\item $\bar z = z^2$;
\item $|z|-iz=1-2i$;
\item $z^2 = \bar z^3$;
\item $z^2+z|z|+|z^2|=0$.
\end{items}
% \begin{sol}
% a) $3+4i$;
% b) $0$, $1$, $-\fracc{1}{2}\pm\fracc{\sqrt{3}}{2}$;
% c) $2-\fracc{3}{2}i$;
% d) $0$, $\cos\fracc{2\pi k}{5}+i\sin\fracc{2\pi k}{5}$ ($k=0,1,\dots,4$);
% e) $c\pm\sqrt{3}ci$ ($c\in \RR$, $c\le 0$).
% \end{sol}
\end{exercize}

\newslide

\section{Triangle inequality}

\begin{proposition}[Triangle inequality]
For any complex numbers $z_1$, $z_2$ the following inequality holds
$$
|z_1| - |z_2| \le ||z_1| - |z_2|| \le |z_1 + z_2| \le |z_1| + |z_2|.
$$
\end{proposition}

% \begin{proof}
% Если одно из чисел, участвующих в неравенствах, равно нулю, то
% неравенства становятся очевидными. Поэтому будем считать, что $z_1
% \ne 0$, $z_2 \ne 0$.
% 
% Вначале докажем, что $|z_1 + z_2| \le |z_1| + |z_2|$.
% Представим числа $z_1$, $z_2$, $z_1 + z_2$ в тригонометрической форме:
% $$
% \begin{array}{c}
% z_1 = r (\cos \varphi + i \sin \varphi),\\
% z_2 = \rho (\cos \psi + i \sin \psi),\\
% z_1 + z_2= R (\cos \Phi + i \sin \Phi).
% \end{array}
% $$
% Таким образом,
% $$
% r (\cos \varphi + i \sin \varphi)+ \rho (\cos \psi + i \sin \psi)=
% R (\cos \Phi + i \sin \Phi).
% $$
% Приравнивая действительные и мнимые
% части в последнем равенстве, получаем:
% $$
% \begin{array}{c}
% r \cos \varphi + \rho \cos \psi = R\cos \Phi,\\
% r \sin \varphi + \rho \sin \psi = R\sin \Phi.
% \end{array}
% $$
% Теперь, умножая первое равенство на $\cos \Phi$,
% а второе --- на $\sin \Phi$ и складывая, приходим к
% $$
% r(\cos\varphi \cos \Phi + \sin \varphi \sin \Phi) + \rho(\cos \psi \cos
% \Phi + \sin \psi \sin \Phi)=R(\cos ^2 \Phi + \sin ^2 \Phi).
% $$
% Вспоминая формулы тригонометрии, получаем: 
% $$
% r \cos (\varphi - \Phi) + \rho \cos (\psi - \Phi)=R.
% $$ 
% Так как $|\cos (\varphi - \Phi)| \le 1$, 
% $|\cos (\psi - \Phi)| \le 1$, то $r+\rho \ge R$, т.\,е. $|z_1| + |z_2| \ge |z_1 +z_2|$.
% 
% Воспользуемся только что доказанным неравенством для чисел $z_1 + z_2$ и
% $-z_2$. Получаем: $|(z_1 + z_2) - z_2| \le |z_1 + z_2| +|-z_2|$, т.\,е. $|z_1|
% \le |z_1 + z_2| + |z_2|$, откуда $|z_1| - |z_2| \le |z_1 + z_2|$. Аналогично
% можно получить $|z_2| - |z_1| \le |z_1 + z_2|$, а, следовательно, $||z_1| -
% |z_2|| \le |z_1 + z_2|$.
% 
% Неравенство $|z_1| - |z_2| \le ||z_1| - |z_2||$ очевидно.
% \end{proof}
% 
% \begin{note}
% Дадим геометрическую интерпретацию неравенству
% $|z_1 + z_2| \le |z_1| + |z_2|$, только что доказанному чисто алгебраически.
% \begin{figure}
% \begin{center}
% \input{triangle.pic}
% \end{center}
% \caption{Сложение и вычитание комплексных чисел} \label{ctriangle}
% \end{figure}
% На рис.\,\ref{ctriangle} стороны треугольника $OAC$ равны $OA=|z_1|$,
% $AC=OB=|z_2|$, $OC=|z_1+z_2|$. Неравенство $|z_1 + z_2| \le
% |z_1| + |z_2|$ выражает тот факт, что сторона треугольника не превосходит
% суммы двух других сторон.
% \end{note}

\begin{center}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=1.5cm}
  \begin{pspicture}(-2,-3)(8,5)
    \rput[rt](0,0){$\strut O~$}
    \psline[arrows=->](-2,0)(8,0)
    \rput[tl](8,0){$~\strut \Re$}
    \psline[arrows=->](0,-3)(0,4)
    \rput[lb](0,4){$~\strut \Im$}

    \psline[arrows=->](0,0)(3,3)
    \rput[b](3,3){$~A\strut$}
    \psline[arrows=->](0,0)(4,-2)
    \rput[lt](4,-2){$\strut ~B$}
    \psline[arrows=->](0,0)(7,1)
    \rput[lb](7,1){$~C$}

    \rput[rb](1.5,1.5){$|z_1|~\strut$}
    \rput[rt](2,-1){$|z_2|~\strut$}
    \rput[b](3.5,0.5){$|z_1+z_2|~~~\strut$}
    
    \psline[linestyle=dashed](3,3)(7,1)
    \psline[linestyle=dashed](4,-2)(7,1)
  \end{pspicture}
\end{center}

\newslide

\begin{example}
Prove that if $|z|<\fracc{1}{2}$ then
$$
|(1+i)z^3+iz|<\fracc{3}{4}.
$$
\pause
From the triangle inequality we get:
$$|(1+i)z^3+iz|\le |(1+i)z^3|+|iz|.$$ 

\pause
Then
$$|(1+i)z^3|+|iz||1+i||z|^3 + |i||z|=\sqrt{2}|z|^3+|z|.$$ 

\pause
Since
$$
|z|<\fracc{1}{2},
$$ 
then
$$
\sqrt{2}|z|^3+|z|<\sqrt{2}\fracc{1}{2^3}+\fracc{1}{2}<\fracc{3}{4}.
$$
%Проследив всю цепочку рассмотренных неравенств, получаем
%доказываемое.
\end{example}

\begin{exercize}
Prove that if $|z|\le 2$, then $1\le|z^2-5|\le9$.
\end{exercize}

\newslide

\section{Roots of complex numbers\label{s_roots}}

Let $n \in\NN$, $\zeta \in\CC$.
 
The number $z$ is called a value of {\em the root of the $n$-th degree} from
$\zeta$, if $z^n = \zeta$. 

\pause

It is not hard to see that $\zeta =0$ has the only value ($0$)
of the root of any natural degree.

\newslide

Let $\zeta \ne 0$, then $z\ne 0$.
\pause

Let represent $\zeta$ in the trigonomtric form:  
$$
\zeta = \rho (\cos \psi + i
\sin \psi).
$$ 
We want to find $z=r(\cos \varphi + i \sin \varphi)$ such that $z^n = \zeta$.

\pause
Using Moivre's formulas, we obtain
$$
r^n\left[\strut\cos (n\varphi) + i \sin(n \varphi)\right]
= \rho (\cos \psi + i \sin \psi).
$$

\pause
Since for any non-zero complex number the modulus is unique
and the argument is unique up to $2 \pi k$, where $k \in \ZZ$, 
then 
$$
r^n = \rho, \qquad n \varphi = \psi + 2 \pi k.
$$

\pause
We obtain 
$$
r = \sqrt[n]{\rho}, \qquad \varphi = \fracc{ \psi + 2\pi k}{n}
$$ 
%(для вычисления $r$ используется
%арифметическое значение корня $\sqrt[n]{\rho}$). 

\pause
Thus, for any $k \in \ZZ$ every number 
$$
z=\sqrt[n]{\rho}\left(\cos \fracc{ \psi + 2\pi
k}{n}+ i \sin \fracc{ \psi + 2\pi k}{n}\right) \tag{frootZ}
$$
 
is a value of the root of $n$-th degree from 
$$\zeta= \rho (\cos \psi + i \sin\psi).$$

% \pause
% Выясним, есть ли среди чисел (\ref{frootZ}) совпадающие. Разделим произвольное
% $k \in \ZZ$ на $n$ с остатком, т.\,е.  представим $k$ в виде $k = np + q$
% (напомним, что в данном случае $p$ называется {\em частным}, $q$ ---
% {\em остатком}, $0\le q < n$).  Подставляя это выражение для $k$ в
% (\ref{frootZ}), получаем:
% $$
% \begin{narrowarray}{rcl}
% 	z & =\sqrt[n]{\rho}\left(\cos \fracc{ \psi + 2\pi (np +
%	q)}{n}+ i \sin \fracc{ \psi + 2\pi (np+q)}{n}\right)\\
%	 & = \sqrt[n]{\rho}\left(\cos
%	\fracc{ \psi + 2\pi q}{n}+ i \sin \fracc{ \psi + 2\pi q}{n}\right).
% \end{narrowarray}
% $$
% С другой стороны, при значениях $k=0,1,\dots,n-1$ все числа в (\ref{frootZ}),
% различны: их аргументы различны и отличаются не более, чем на $2\pi$.

\newslide
It is enough to consider only $k = 0,1,\dots,n-1$.
Thus, {\em  any non-zero complex number
$\zeta = \rho (\cos \psi + i \sin \psi)$ has $n$ different values of $n$-th degree:
$$
\sqrt[n]{\zeta} =
\sqrt[n]{\rho}\left(\cos \fracc{ \psi + 2\pi k}{n}+ i \sin \fracc{ \psi + 2\pi
k}{n}\right)\quad (k = 0,1,\dots,n-1).\tag{froot}
$$}
% Заметим, что значки радикалов, встречающиеся в (\ref{froot}),
% имеют разный смысл: в правой части $\sqrt[n]{\cdot}$ означает арифметическое
% значение корня из положительного (действительного) числа, в левой --- множество
% {\em всевозможных} значений корня из комплексного числа.

\pause
% Из (\ref{froot}) легко видеть, что 
In the complex plane all values of a root is on the equal distance ($\sqrt[n]{\rho}$)
from origin.
\pause
The angle between two adjacent radious-vectors corresponding to two
values of the root is equal to $2\pi /n$. 
\pause
Thus, points correspoding to all values of the root of degree $n \ge 3$ 
are the vertices of a regular $n$-polygon.

% \begin{figure}
%   \begin{center}
%     \input{roots.pic}
%   \end{center}
%   \caption{Значения $\sqrt[n]{\zeta}$ ($n=5$)}
%   \label{croots}
% \end{figure}
%

\newslide
\begin{center}
\psset{xunit=6cm,yunit=6cm}
  \begin{pspicture}(-1.3,-1.2)(1,1.55)
   
    \rput[rt](0,0){$\strut O~$}
    \psline[arrows=->](-1.5,0)(1.5,0)
    \rput[tl](1.5,0){$~\strut \Re$}
    \psline[arrows=->](0,-1.5)(0,1.5)
    \rput[lb](0,1.5){$~\strut \Im$}

    \psdots(-0.7,1.3)
    \psline(0,0)(-0.7,1.3)
    \rput[rb](-0.7,1.3){$\zeta~$}
    \rput[rt](-0.35,0.65){$\rho\strut~$}

    \psdots(0.9902,0.4338)
    \psline(0,0)(0.9902,0.4338)
    \rput[lb](0.9902,0.4338){$~z_0$}
    \rput[rb](0.7,0.3){$\sqrt[n]{\rho}\strut~$}
    \psdots(-0.1066,1.0758)
    \rput[rb](-0.1066,1.0758){$z_1\strut$}
    \psdots(-1.0561,0.2310)
    \rput[rb](-1.0561,0.2310){$z_2~$}
    \psdots(-0.5461,-0.9330)
    \rput[rt](-0.5461,-0.9330){$z_3~\strut$}
    \psdots(0.7186,-0.8077)
    \rput[lt](0.7186,-0.8077){$~z_4$}
    \psline(0.9902,0.4338)(-0.1066,1.0758)(-1.0561,0.2310)(-0.5461,-0.9330)(0.7186,-0.8077)(0.9902,0.4338)
    
    \psarc(0,0){6.45}{0}{360}
    
    \psarc[arrows=->](0,0){1.75}{0}{118.3008}
    \rput[lb](0.07,0.27){$~\psi$}
    \psarc[arrows=->](0,0){2.5}{0}{23.6602}
    \rput[l](0.4,0.1){$~\psi/n$}

  \end{pspicture}
\end{center}


\newslide 
\begin{example} \label{esqrtm8}
Find all values of $\sqrt[3]{-8}$.
\pause
What value of $\sqrt[3]{-8}$ do you just know?
\pause
%Заметим, что одно (вещественное) значение корня  $\sqrt[3]{-8}$ нам известно.
%Это $-2$.
$-8 = 8 (\cos \pi + i \sin \pi)$.
Using (\ref{froot}) we obtain:
$$
\sqrt[3]{-8} = \sqrt[3]{8}\left(\cos \fracc{ \pi +
2\pi k}{3}+ i \sin \fracc{ \pi + 2\pi k}{3}\right) \quad (k=0,1,2).
$$
So, $\sqrt[3]{-8}$ has the following values:
$$
\begin{array}{l}
z_0 = 2\left(\cos\fracc{\pi}{3}+i\sin \fracc{ \pi}{3}\right) = 1 + i\sqrt{3},\\
z_1 = 2\left(\cos\pi           +i\sin \pi            \right) = -2,           \\
z_2 = 2\left(\cos\fracc{ 5\pi}{3}+i\sin \fracc{ 5\pi}{3}\right)= 1 - i\sqrt{3}.
\end{array}
$$
\end{example}

\newslide
\begin{exercize}
Calculate
\begin{items}
\item $\sqrt[4]{-\fracc{18}{1+i\sqrt{3}}}$;
\item $\sqrt[3]
      {
       \fracc{1-5i}{1+i}
       -5\fracc{1+2i}{2-i}
       +2
      }$.
\end{items}
%  \begin{sol}
%         а) $\pm\left(\fracc{3}{2}+i\fracc{\sqrt{3}}{2}\right)$,
%            $\pm\left(\fracc{\sqrt{3}}{2}-i\fracc{3}{2}\right)$ ;
% 	б) $2i$, $\pm\sqrt{3}-i$.
%  \end{sol}
\end{exercize}

\newslide

\begin{exercize}
Find an error in the following  ``proof'':
\pause
Since 
$$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab};$$
\pause
then
$$\sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{(-1)\cdot(-1)};$$
\pause
hence 
$$(\sqrt{-1})^2 = \sqrt{1}.$$ 
\pause
Thus $-1 = 1$. 
% Найдите все значения корня $\sqrt{-1}$.
\end{exercize}




% \begin{proposition} \label{prop_all_values_of_root}
% Mножество всех значений корня $\sqrt[n]{\zeta\xi}$ можно
% получить домножая произвольное частное значение корня $\sqrt[n]{\zeta}$ на
% все значения $\sqrt[n]{\xi}$ $(\zeta\ne 0$, $\xi\ne 0)$.
% \end{proposition}
% \begin{proof}
% Пусть $z$ --- частное значение корня $\sqrt[n]{\zeta}$, т.\,е. $z^n=\zeta$,
% поэтому $(zx)^n=z^n x^n=\zeta\xi$ для любого значения $x$ корня
% $\sqrt[n]{\xi}$, следовательно, $zx$ --- частное значение $\sqrt[n]{\zeta}$.
% Когда $x$ пробегает все $n$ значений $\sqrt[n]{\xi}$, произведение $zx$
% принимает $n$ {\em разных} значений $\sqrt[n]{\zeta\xi}$, т.\,е.  все значения
% $\sqrt[n]{\zeta\xi}$.
% \end{proof}



% \section{Корни из единицы}

% По формуле (\ref{froot}) корнями $n$-й степени из $1=\cos 0 + i \sin 0$
% являются числа
% $$
% \varepsilon_k = \cos\fracc{ 2\pi k}{n} + i\sin\fracc{ 2\pi k}{n}
% \qquad  (k=0,1,\dots,n-1). \tag{fsqrt1}
% $$
% Легко видеть, что $\varepsilon_k = (\varepsilon_1)^k$ ($k=0,1,\dots,n-1$).

\newslide

\begin{example} \ 

\begin{items}
\item $\sqrt[1]{1}=1$ (one value).
 \pause

\item  $\sqrt[2]{1}=\set{1, -1}$ (two values).
\pause

\item  $\sqrt[3]{1}$.
$\varepsilon_0 = 1$, $\varepsilon_1 = \cos\fracc{ 2\pi }{3} + i\sin\fracc{
2\pi }{3} = -\fracc{1}{2}+i\fracc{\sqrt{3}}{2}$,
$\varepsilon_2 = \cos\fracc{ 4\pi }{3} + i\sin\fracc{ 4\pi }{3} =
-\fracc{1}{2}-i\fracc{\sqrt{3}}{2}$.
\pause

\item  $\sqrt[4]{1}=\set{\pm 1, \pm i}$.
\pause

\item  $\sqrt[6]{1}=\set{\pm 1, \pm \fracc{1}{2}\pm i\fracc{\sqrt{3}}{2}}$
% (рис.\,\ref{croots6}).
%\begin{figure}
% \begin{center}
% \input{roots6.pic}
% \end{center}
% \caption{Значения $\sqrt[6]{1}$} \label{croots6}
% \end{figure}

\end{items}
\end{example}

\newslide
\begin{center}
\psset{xunit=4cm,yunit=4cm}
  \begin{pspicture}(-1.3,-1.5)(1,1.7)
   
    \rput[lb](0,0){$~\strut O$}
    \psline[arrows=->](-1.5,0)(1.5,0)
    \rput[tl](1.5,0){$~\strut \Re$}
    \psline[arrows=->](0,-1.5)(0,1.5)
    \rput[lb](0,1.5){$~\strut \Im$}

    \psdots(1,0)
    \rput[lb](1,0){$~~1\strut$}
    \psdots(0.5,0.866)
    \rput[lb](0.5,0.866){~$\fracc{1}{2} + \fracc{\sqrt{3}}{2}i \strut$}
    \psdots(-0.5,0.866)
    \rput[rb](-0.5,0.866){$-\fracc{1}{2} + \fracc{\sqrt{3}}{2}i \strut$~}
    \psdots(-1,0)
    \rput[rb](-1,0){$-1~~\strut$}
    \psdots(-0.5,-0.866)
    \rput[rt](-0.5,-0.866){$-\fracc{1}{2} - \fracc{\sqrt{3}}{2}i \strut$~}
    \psdots(0.5,-0.866)
    \rput[lt](0.5,-0.866){~$\fracc{1}{2} - \fracc{\sqrt{3}}{2}i \strut$}
    
    \psarc(0,0){4}{0}{360}
    \psline(1,0)(0.5,0.866)(-0.5,0.866)(-1,0)(-0.5,-0.866)(0.5,-0.866)(1,0)
    
  \end{pspicture}
\end{center}

\newslide


\begin{exercize}
Find all values of $\sqrt[12]{1}$.
% \begin{sol}
%   $\pm 1$; $\pm i$;
%   $\pm \fracc{\sqrt{3}}{2}\pm i\fracc{1}{2}$;
%   $\pm \fracc{1}{2}\pm i\fracc{\sqrt{3}}{2}$;
% \end{sol}
\end{exercize}

% \begin{example}
% Вычислим $\sqrt[3]{-8}$.
% Данный пример уже рассматривался (пример~\ref{esqrtm8}). Приведем другой способ
% его решения, основанный на свойстве, установленном в конце предыдущего
% параграфа.  Одним из частных значений $\sqrt[3]{-8}$, очевидно, является $-2$.
% С другой стороны, $\sqrt[3]{1}$ имеет значения: $1$, $-\fracc{1}{2}\pm
% i\fracc{\sqrt{3}}{2}$.  Поэтому все значений $\sqrt[3]{-8}$ исчерпываются тремя
% числами: $-2$, $1 \pm i\sqrt{3}$.
% \end{example}

\newslide

\begin{example}\label{erootssum}
Find the sum of all values of $n$-th degree from $1$.
\pause
If $n=1$ the sum is obviously is $1$. 
\pause
If $n>1$, then
$\varepsilon_k=(\varepsilon_1)^k$, and:
$$
   1+\varepsilon_1+\varepsilon_2+\dots+\varepsilon_{n-1}
   =1+\varepsilon_1+\varepsilon_1^2+\dots+\varepsilon_1^{n-1}
   =\fracc{1-\varepsilon_1^n}{1-\varepsilon_1}.
$$
(This is the sum of a {\em geometric progression})
Since $(\varepsilon_1)^n=1$, the sum is $0$.
\end{example}

\newslide

\begin{exercize}         \ 

\begin{items}
\item Find the product of all values of the root of $n$-th degree from $1$.
%\item Найти сумму и произведение $s$-х степеней всех корней $n$-й степени
%         из $1$.
\end{items}
\end{exercize}

\newslide

\subsection{Applications}

\pause

Let's derive the formulae
$$
\cos 2\varphi = \cos^2\varphi - \sin^2\varphi, \quad \sin 2\varphi = 2\sin\varphi \cos\varphi \quad  (\varphi\in\RR)
$$

\pause
Consider the complex number
$
z = \cos\varphi + i\sin\varphi
$

\pause
Using the formula for the square of a sum we obtain
$$
z^2 = (\cos\varphi + i\sin\varphi)^2 = \cos^2\varphi + 2i\cos\varphi\sin\varphi - \sin^2\varphi.
$$

\pause
From another hand, using Moivre's fromula we obtain
$$
z^2 = (\cos\varphi + i\sin\varphi)^2 = \cos 2\varphi + \sin 2\varphi.
$$

\pause
Thus,
$$
\Re z^2 = \cos 2\varphi = \cos^2\varphi - \sin^2\varphi,
\quad
\Im z^2 = \sin 2\varphi = 2\cos\varphi\sin\varphi
$$

\newslide

\begin{exercize}
Find formulae for $\cos 3\varphi$, $\sin 3\varphi$, $\cos 4\varphi$, $\cos 4\varphi$. 
\end{exercize}

% \begin{exercize}
% Вычислить $1+2\varepsilon+3\varepsilon^2+\dots+n\varepsilon^{n-1}$, если
% $\varepsilon$ --- корень $n$-й степени из $1$.
%  \begin{sol}
% $-\fracc{n}{1-\varepsilon}$, если $\varepsilon\ne 1$; $\fracc{n(n+1)}{2}$,
% если $\varepsilon=1$.
%  \end{sol}
% \end{exercize}
% 
% \begin{exercize}
% Решить уравнения:
% \begin{items}
%   \item $(x+1)^n-(x-1)^n=0$;
%   \item $(x+i)^n+(x-i)^n=0$.
% \end{items}
%    \begin{sol}
%           а) $i\ctg \fracc{k\pi}{m} (k=1,2,\dots,m-1)$;
%           б) $ \ctg \fracc{k\pi}{m} (k=1,2,\dots,m-1)$.
%    \end{sol}
% \end{exercize}

% \begin{proposition}
% Произведение и частное любых двух значений корня $n$-й степени
% из $1$ является корнем $n$-й степени из $1$.
% \end{proposition}
% \begin{proof}
% Пусть $\varepsilon$,
% $\varepsilon'$ --- некоторые значения корня
% $n$-й степени из $1$, тогда $\varepsilon^n = 1$ и ${\varepsilon'}^n = 1$,
% следовательно, $(\varepsilon\varepsilon')^n = \varepsilon^n{\varepsilon'}^n =
% 1$ и $(\varepsilon/\varepsilon')^n = \varepsilon^n/{\varepsilon'}^n = 1$,
% таким образом, $\varepsilon\varepsilon'$, $\varepsilon/\varepsilon'$ являются
% значениями корня $n$-й степени из $1$.
% \end{proof}
% 
% \begin{exercize}
% Доказать, что произведение корня $n$-й степени из $1$
% на корень $m$-й степени из $1$ есть корень степени $mn$ из $1$.
% \end{exercize}

% \begin{exercize}
% Доказать, что если $m$ и $n$ взаимно просты, то
% все корни степени $mn$ из $1$ получаются умножением
% корней степени $m$ из $1$ на корни степени $n$ из $1$.
%  \begin{sol}\hint Воспользоваться тем, что так как $m$ и $n$ взаимно просты,
%  то существуют $u$, $v$, такие, что $um+vn=1$. 
%  \end{sol}
% \end{exercize}

%
%
% \subsection{Первообразные корни}
% Корень $\varepsilon$ $n$-й степени из $1$ называется {\em первообразным},
% или {\em примитивным},
% если $\varepsilon^m\ne 1$ для любого натурального $m<n$ (т.\,е. $\varepsilon$ не является
% корнем из единицы никакой меньшей степени). В данном случае говорят также,
% что {\em $\varepsilon$ принадлежит показателю $n$}. Из определения сразу
% вытекает, что произвольное число $\varepsilon$ может принадлежать лишь
% одному показателю. Легко видеть, что
% $$
% \varepsilon_1=\cos\fracc{2\pi}{n}+i\sin\fracc{2\pi}{n}
% $$
% является первообразным корнем.
% 
% \begin{proposition}
% Для того, чтобы корень $\varepsilon$ $n$-й степени из $1$
% являлся первообразным, необходимо и достаточно, чтобы величины
% $$
% \varepsilon, \varepsilon^2, \dots, \varepsilon^{n-1}, \varepsilon^n=1
% \tag{feps}
% $$
% исчерпывали все значения $\sqrt[n]{1}$.
% \end{proposition}
% 
% \begin{note}
% Утверждение о том, что величины (\ref{feps}) исчерпывают все значения корня
% $n$-й степени из $1$ эквивалентно тому, что они попарно различны.
% \end{note}
% 
% \begin{proof}
% \titlesc{Необходимость} Предположим противное: среди величин (\ref{feps}) нашлось
% две равных, например, $\varepsilon^k=\varepsilon^l$ для некоторых
% натуральных $k$, $l$, причем $1\le k<l\le n$. Тогда $\varepsilon^{l-k}=1$,
% $l-k>0$, следовательно, $\varepsilon$ не является первообразным.
% 
% \titlesc{Достаточность} Так как величины (\ref{feps}) исчерпывают все значения
% корня $n$-й степени из $1$, то, в частности, $\varepsilon^m \ne
% \varepsilon^n=1$ для всякого натурального $m<n$, следовательно, $\varepsilon$
% --- первообразный.
% \end{proof}
% 
% \begin{proposition}
% Пусть $\varepsilon$ --- первообразный корень $n$-й степени из $1$, тогда
% для того, чтобы $\varepsilon^m=1$, необходимо и достаточно, чтобы
% $m$ было кратно $n$.
% \end{proposition}
% 
% \begin{proof}
% \titlesc{Необходимость}
% Разделим $m$ с остатком на $n$:
% имеем $m=np+r$ для некоторых натуральных $p$ и $r$ ($0\le r < n$), поэтому
% $$
% 1=\varepsilon^m=\varepsilon^{np}\varepsilon^r=\varepsilon^r.
% $$
% Итак, $\varepsilon^r=1$. Так как $\varepsilon$ --- первообразный и $0\le r <
% n$, то $r=0$.
% 
% \titlesc{Достаточность} Имеем $m=np$, следовательно,
% $\varepsilon^m=(\varepsilon^n)^p=1$.
% \end{proof}
% 
% \begin{corollary}
% Если корень $\varepsilon$ $m$-й степени из $1$ принадлежит показателю $n$, то
% $m$ кратно $n$.
% \end{corollary}
% 
% 
% \begin{proposition}
% Пусть $\varepsilon$ --- первообразный корень $n$-й степени из $1$, тогда
% для того, чтобы $\varepsilon^k$ был также первообразным $n$-й степени,
% необходимо и достаточно, чтобы $\GCD(n,k)=1$.
% \end{proposition}
% 
% \begin{proof}
% \titlesc{Необходимость} Предположим противное: $\varepsilon$ и $\varepsilon^k$
% --- первообразные, однако $\GCD(n,k)=d>1$. Имеем $n=n'd$, $k=k'd$ для некоторых
% натуральных $n'$, $k'$, причем, так как $d>1$, то $n'<n$. Однако
% $$
% (\varepsilon^k)^{n'}=\varepsilon^{kn'}=\varepsilon^{k'dn'}=\varepsilon^{k'n}=
% (\varepsilon^n)^{k'}=1.
% $$
% Так как $n'<n$, то $\varepsilon^k$ не является первообразным корнем.
% 
% \titlesc{Достаточность} Предположим теперь, что $\varepsilon$ --- первообразный
% корень, $\GCD(n,k)=1$, однако $(\varepsilon^k)^m=1$ для некоторого
% натурального $m<n$ (т.\,е. $\varepsilon^k$ не является первообразным).
% Из утверждения~2 следует, что $km$ кратно $n$, однако $\GCD(n,k)=1$,
% поэтому $m$ кратно $n$, что невозможно, так как $m<n$.
% \end{proof}
% 
% \begin{corollary}
% Величина
% $$
% \varepsilon_k = \cos\fracc{ 2\pi k}{n} + i\sin\fracc{ 2\pi k}{n}
% \quad (k=0,1,\dots,n-1)
% $$
% является первообразным корнем $n$-й степени из $1$ тогда и только тогда, когда
% $\GCD(n,k)=1$.
% \end{corollary}
% 
% \begin{proof}
% Применим к первообразному корню $\varepsilon=\varepsilon_1$ утверждение~3.
% \end{proof}
% 
% \begin{example}
% Найдем все первообразные корни из $1$ степени:
% 
% \begin{items}
% \item $1$, ответ: $1$;
% 
% \item  $2$, один первообразный корень: $\varepsilon_1 = -1$;
% 
% \item  $3$, два первообразных корня: $\varepsilon_{1,2}=-\fracc{1}{2}\pm
% i\fracc{\sqrt{3}}{2}$;
% 
% \item $4$, два первообразных корня: $\varepsilon_{1,3}=\pm i$;
% 
% \item $6$, два первообразных корня: $\varepsilon_{1,5}=\fracc{1}{2}\pm
% i\fracc{\sqrt{3}}{2}$;
% 
% \item $8$, выпишем все натуральные числа, не превосходящие $n=8$ и взаимно простые
% с ним: $1$, $3$, $5$, $7$; первообразными корнями являются:
% $$
% \begin{array}{l}
%   \varepsilon_1
%     =\cos\fracc{2\pi}{8}+i\sin\fracc{2\pi}{8}
%     =\fracc{\sqrt{2}}{2}+i\fracc{\sqrt{2}}{2}, \\
%   \varepsilon_3
%     =\cos\fracc{3\cdot 2\pi}{8}+i\sin\fracc{3\cdot 2\pi}{8}
%     =-\fracc{\sqrt{2}}{2}+ i\fracc{\sqrt{2}}{2}, \\
%   \varepsilon_5
%     =\cos\fracc{5\cdot 2\pi}{8}+i\sin\fracc{5\cdot 2\pi}{8}
%     =-\fracc{\sqrt{2}}{2}- i\fracc{\sqrt{2}}{2}, \\
%   \varepsilon_7
%     =\cos\fracc{7\cdot 2\pi}{8}+i\sin\fracc{7\cdot 2\pi}{8}
%     =\fracc{\sqrt{2}}{2}- i\fracc{\sqrt{2}}{2}.
% \end{array}
% $$
% \end{items}
% \end{example}
% 
% \begin{exercize}
% Найти все первообразные корни из $1$ степени $12$.
%  \begin{sol}
%    $\pm \fracc{\sqrt{3}}{2}\pm i\fracc{1}{2}$;
%  \end{sol}
% \end{exercize}
% 
% \begin{exercize}
% Для каждого корня а) $16$-й; б) $20$-й; в) $24$-й
% степени из единицы указать показатель, к которому он принадлежит.
% \end{exercize}
% 
% \begin{exercize}
% Вычислить сумму $1+\varepsilon+\varepsilon^2+\dots+\varepsilon^{n-1}$, если
% $\varepsilon$ --- первообразный корень степени $2n$ из $1$.
%  \begin{sol}
%    $\fracc{2}{1-\varepsilon}$;
%  \end{sol}
% \end{exercize}
% 
% %\begin{dopiare}
% Из утверждения~3 следует, что число первообразных корней $n$-й степени из $1$
% совпадает с количеством $\varphi(n)$ натуральных чисел, не превосходящих $n$ и
% взаимно простых с ним. Функция $\varphi(n)$ называется {\em функцией
% Эйлера}. Она играет существенную роль в теории чисел.
% %\end{dopiare}
% 
% 
% \begin{exercize}
% Пусть $\varepsilon$ --- первообразный корень $n$-й степени из $1$.
% Доказать, что $(1-\varepsilon)(1-\varepsilon^2)\dots(1-\varepsilon^{n-1})=n$.
%  \begin{sol}
% \hint Разложить многочлен $x^{n-1}+x^{n-2}+\dots+1$ на линейные множители.
%  \end{sol}
% \end{exercize}
% 
% \begin{exercize}
% Доказать, что произведение длин всех сторон и диагоналей, 
% проведенных из одной вершины правильного $n$-угольника,
% вписанного в окружность радиуса $1$, равно $n$.
% \end{exercize}
% 
% \begin{exercize}
% Доказать, что если $m$ и $n$ взаимно просты, то
% произведение первообразного корня из $1$ степени $m$
% на первообразный корень из $1$ степени $n$ есть первообразный корень
% из $1$ степени $mn$ и обратно.
%  \begin{sol}
% Пусть $\alpha$ и $\beta$ --- первообразные корни степеней $m$ и $n$ соответственно.
% Пусть $(\alpha\beta)^k=1$. 
% Тогда $\alpha^{nk}=1$ и $\beta^{mk}=1$, следовательно, $nk$ делится на $m$ и $mk$ делится на $n$,
% откуда $k$ делится на $m$, $n$ и на $mn$, поэтому $\alpha\beta$ есть первообразный корень
% степени $mn$. Если $\alpha$ принадлежит показателю $m_1<m$, а $\beta$ --- показателю
% $n_1\le n$, то $\alpha\beta$ принадлежит показателю $m_1n_1$ и не может быть
% первообразным.
%  \end{sol}
% \end{exercize}

% \begin{exercize}
% Доказать, что если $m$ и $n$ взаимно просты, то
% $\varphi(mn)=\varphi(m)\varphi(n)$, пользуясь тем, что $\varphi(n)$
% есть число первообразных корней степени $n$.
% \end{exercize}
% 
% 
% 
% \begin{dopiare}
% \subsection{Круговые многочлены}
% 
% {\em Круговым многочленом}, или {\em многочленом
% деления круга}, показателя $n$ называется выражение
% $$
% \Phi_n(x)=(x-\eta_1)(x-\eta_2)\dots(x-\eta_s),
% $$
% где $\eta_1, \eta_2,\dots,\eta_s$ --- первообразные корни $n$-й степени из $1$.
% 
% \begin{example}  \ 
% 
% 
% 
% \begin{items}
% \item $\Phi_1(x)=x-1$;
% 
% \item $\Phi_2(x)=x+1$;
% 
% \item $\Phi_3(x)=\left(x+\fracc{1}{2}-i\fracc{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot
%               \left(x+\fracc{1}{2}+i\fracc{\sqrt{3}}{2}\right)
%	     =x^2+x+1$;
%	     
% \item $\Phi_4(x)=(x-i)(x+i)=x^2+1$;
% 
% \item $\Phi_6(x)=\left(x-\fracc{1}{2}-i\fracc{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot
%               \left(x-\fracc{1}{2}+i\fracc{\sqrt{3}}{2}\right)
% 	     =x^2-x+1$.
% \end{items}
% \end{example}
% 
% \begin{proposition}
% Справедливо равенство
% $$
% x^n-1=\prod_{m|n} \Phi_m(x),
% $$
% где произведение берется по всем натуральным делителям $m$ числа $n$.
% \end{proposition}
% 
% \begin{proof}
% Чтобы перечислить все корни $n$-й степени из $1$,
% воспользуемся следующей процедурой. Для каждого делителя $m$ числа $n$ выпишем
% все корни, принадлежащие показателю $m$. Из утверждения~2 следует,
% что таким образом мы перечислим все корни $n$-й степени из $1$ и каждый по
% одному разу. Доказываемое теперь следует из разложения
% $$
% x^n-1=(x-1)(x-\varepsilon_1)\dots(x-\varepsilon_{n-1}).
% $$
% \end{proof}
% 
% \begin{example}
% Выпишем $\Phi_5(x)$, $\Phi_{10}(x)$.
% 
% \begin{items}
% \item Делителями $n=5$ являются $1$, $5$, поэтому $x^5-1=\Phi_1(x)\Phi_5(x)$,
% отсюда
% $$
% \Phi_5(x)=\fracc{x^5-1}{\Phi_1(x)}=x^4+x^3+x^2+x+1.
% $$
% 
% \item Делителями $n=10$ являются числа $1$, $2$, $5$, $10$, поэтому
% $x^{10}-1=\Phi_1(x)\Phi_2(x)\Phi_5(x)\Phi_{10}(x)$,
% отсюда
% $$
% \begin{narrowarray}{rcl}
% \Phi_{10}(x) & = & \fracc{x^{10}-1}{\Phi_1(x)\Phi_2(x)\Phi_5(x)}
%             =   \fracc{(x^{10}-1)\Phi_1(x)}{\Phi_1(x)\Phi_2(x)(x^5-1)} \\[1em]
%           & = & \fracc{x^5+1}{\Phi_2(x)}
%             =   \fracc{x^5+1}{x-1}=\\[1em]
%           & = & x^4-x^3+x^2-x+1.
% \end{narrowarray}
% $$
% \end{items}
% \end{example}
% 
% \begin{exercize} \label{qeqwen3971ofdf}
% Найти  \par
%   а) $\Phi_{12}(x)$; \quad б) $\Phi_{15}(x)$; \quad в) $\Phi_{105}(x)$.
%  \begin{sol}
%    а) $\Phi_{12}(x)=x^4-x^2+1$; 
%    б) $\Phi_{15}(x)=x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1$; 
%    в) $\Phi_{105}(x)=x^{48} +x^{47} +x^{46} -x^{43} -x^{42} -2x^{41} -x^{40} 
%                     -x^{39} +x^{36} +x^{35} +x^{34} +x^{33} +x^{32} +x^{31} 
%                     -x^{28} -x^{26} -x^{24} -x^{22} -x^{20} 
%                     +x^{17} +x^{16} +x^{15} +x^{14} +x^{13} +x^{12} 
%                     -x^9 -x^8 -2x^7 -x^6 -x^5 +x^2 +x +1$.
%  \end{sol}
% \end{exercize}
% 
% \begin{exercize}
% Пусть $p$ --- простое, а $k$ --- натуральное число. Найти  \par
% а) $\Phi_{p}(x)$; \quad б) $\Phi_{p^k}(x)$.
%  \begin{sol}
% a)  $\Phi_p(x)=\fracc{x^p-1}{x-1}=x^{p-1}+x^{p-2}+\dots +x+1$;
% б)  $\Phi_{p^k}(x)=\fracc{x^{p^k}-1}{x^{p^{k-1}}-1}=x^{(p-1)p^{m-1}}+x^{(p-2)p^{m-1}}+\dots +x^{p^{m-1}}+1$. 
%    \hint Доказать, что все корни $x^{(p-1)}-1$ и только они не являются первообразными корнями
%     $p^m$-й степени из $1$.
%  \end{sol}
% \end{exercize} 
% 
% \begin{exercize}
% Пусть $p$, $q$ --- неравные простые числа.
% Доказать, что
% $$
% \Phi_{pq} = \fracc{(x^{pq}-1)(x-1)}{(x^p-1)(x^q-1)}.
% $$
% \end{exercize}            
% 
% \begin{exercize}
% Доказать, что при нечетном $n$, большем $1$, справедливо $\Phi_{2n}(x)=\Phi_n(-x)$.
%  \begin{sol}
% \hint
% Показать, что если $n$ --- нечетное, то для получения всех первообразных корней
% степени $2n$ достаточно все первообразные корни степени $n$ умножить на $-1$.
%  \end{sol}
% \end{exercize}
% 
% 
% \begin{exercize} \label{nb7bn124nx}
%     Пусть $n$ кратно $d$. 
%     Доказать, что первообразными корнями степени $nd$ из $1$
%     являются все корни $d$-й степени из всех первообразных корней $n$-й степени
%     из $1$ и только они.
%   \begin{sol}
%     Пусть $\varepsilon_k = \cos\fracc{2\pi k}{nd} + i\sin\fracc{2\pi k}{nd}$ ---
%     первообразный корень степени $nd$ из $1$, тогда $\GCD(k,n)=1$. Разделим $k$ на $n$,
%     получим $k=qn+r$, где $0<r<n$. Отсюда
%     $\varepsilon_k = \cos\fracc{2\pi q + \fracc{2 \pi r}{n}}{d} 
%                   + i\sin\fracc{2\pi q + \fracc{2 \pi r}{n}}{d}$,
%     таким образом, $\varepsilon_k$ --- одно из значений корня $d$-й степени из 
%     $\eta_r = \cos\fracc{2\pi r}{n} + i\sin\fracc{2\pi r}{n}$. Но $\eta_k$ ---
%     первообразный корень из $1$, так как из $\GCD(k,n)=1$ следует $\GCD(r,n)=1$.
%      \\
%     Пусть теперь $\eta_r = \cos\fracc{2\pi r}{n} + i\sin\fracc{2\pi r}{n}$ ---
%     первообразный корень степени $n$ из $1$, тогда $\GCD(r,n)=1$.
%     Рассмотрим корень $d$-й степени из $\eta_r$: 
%     $\varepsilon_k = \cos\fracc{2\pi k + \fracc{2 \pi r}{n}}{d} 
%                   + i\sin\fracc{2\pi k + \fracc{2 \pi r}{n}}{d}
%                   = \cos\fracc{2\pi (r+kn)}{nd} + i\sin\fracc{2\pi (r+kn)}{nd}$
%     ($k=0,1,\dots,n-1$).
%     Очевидно, $\eta_r$ является  корнем степени $nd$ из $1$.
%     Так как $\GCD(r,n)=1$ и $d$ --- делитель $n$, то, легко доказать, 
%     что $\GCD(r+kn,nd)=1$, поэтому этот корень ---
%     первообразный.
%   \end{sol}
% \end{exercize}
% 
% \begin{exercize}
%     Пусть $m=p_1^{k_1}p_2^{k_2}\dots p_s^{k_s}$, $n=p_1p_2\dots p_s$,
%     где $p_1,\dots, p_s$ --- попарно различные простые числа, Доказать, что
%     $$
%        \Phi_m(x) = \Phi_n(x^\frac{m}{n}).
%     $$
%   \begin{sol}
%     \hint Воспользоваться задачей \ref{nb7bn124nx}.
%   \end{sol}
% \end{exercize}
% 
% \begin{exercize}
%   Найти $\Phi_{10000}(x)$.
%   \begin{sol}
%      Так как $10000=2^4\cdot 5^4$, $10=2\cdot 5$, то
%      $\Phi_{10000}(x)=\Phi_{10}(x^1000)=x^{4000}-x^{3000}+x^{2000}-x^{1000}+1$.
%   \end{sol}
% \end{exercize}
% 
% 
% \begin{exercize}
% Пусть $p$ --- простое число, не делящее $n$.
% Доказать, что 
% $$
% \Phi_{pn}=\frac{\Phi_n(x^p)}{\Phi_n(x)}.
% $$
%  \begin{sol}
% Корнями $\Phi_n(x^p)$ являются все первообразные корни степени $np$ и 
% первообразные корни степени $n$.
%  \end{sol}
% \end{exercize}
% 
% 
% % \begin{exercize} \label{412hkjh9SAD}
% % Пусть $p$, $q$ --- неравные простые числа.
% % Доказать, что все коэффициенты многочлена
% % $\Phi_{pq}$ равны $0$, $1$ или $-1$.
% %   \begin{sol}
% %   \end{sol}
% % \end{exercize}
% 
% % \begin{exercize}
% % Доказать, что все многочлены $\Phi_n(x)$ при $n\le 104$
% % имеют коэффициенты $0$, $1$, $-1$.
% % Относительно коэффициентов многочлена $\Phi_{105}(x)$ см. упражнение \ref{qeqwen3971ofdf}.
% %   \begin{sol}
% %     Использовать упражнение \ref{412hkjh9SAD}
% %   \end{sol}
% % \end{exercize}
% 
% \begin{exercize}
% Найти $\Phi_n(1)$.
%   \begin{sol}
%     Если $n=p^k$, где $k$ --- простое, то $\Phi_n(1)=p$; в остальных случаях
%     $\Phi_n(1)=1$.
%   \end{sol}
% \end{exercize}
% 
% \begin{exercize}
% Найти $\Phi_n(-1)$.
%   \begin{sol}
%     $
%       \Phi_n(-1) = 
%          \left\{
%             \begin{array}{rl}
%               -2, & \mbox{если $n=1$;} \\
%                1, & \mbox{если $n>1$ и нечетно;} \\
%                0, & \mbox{если $n=2$;} \\
%                2, & \mbox{если $n=2^k$, $k>1$;} \\
%                0, & \mbox{если $n=2m$, $m$ нечетно, $m=p^k$, где $p$ --- простое;} \\
%                1, & \mbox{если $n=2m$, $m$ нечетно, $m\ne p^k$, где $p$ --- простое;} \\
%                1, & \mbox{если $n=2^k m$, $k>1$.} \\
%             \end{array}
%          \right.
%     $
%   \end{sol}
% \end{exercize}
% 
% % \begin{exercize}
% % Вычислить $\left|1+\varepsilon+\varepsilon^4+\varepsilon^9+\dots+\varepsilon^{{(n-1)}^2}\right|$,
% %   где $\varepsilon$ --- первообразный корень $n$-й степени из $1$.
% %   \begin{sol}
% %     След матрицы.
% %   \end{sol}
% % \end{exercize}
% 
% \end{dopiare}

\newslide

\section{Square Roots of Complex Numbers\label{ssqrt}}

The square root of $z=a+bi$ is $x+iy$, such that 
$$
(x+iy)^2=a+bi.
$$
\pause
 
Let $z\ne 0$ then
$a+bi=x^2+2xyi-y^2$, hence
$$
\begin{system}
a=x^2 - y^2, \\
b=2xy.
\end{system} \tag{fsqrt}
$$

\pause
Raise the equations to the square and add them:
$$
a^2+b^2=x^4+2x^2y^2+y^2,
$$ 
hence
$$
a^2+b^2=(x^2+y^2)^2.
$$
\pause 
Since $x^2+y^2>0$, then $x^2+y^2=\sqrt{a^2+b^2}$.  
\pause
We have
% Рассмотрим это уравнение вместе с
% первым уравнением системы (\ref{fsqrt}):
$$
\begin{system}
  x^2+y^2=\sqrt{a^2+b^2}, \\
  x^2-y^2=a.
\end{system}
$$
\pause
Then
$$
\begin{array}{l}
x^2=\fracc12(\phantom{-}a+\sqrt{a^2+b^2}),\\[0.7em]
y^2=\fracc12(         - a+\sqrt{a^2+b^2}).
\end{array}
\tag{fsqrtsltn}
$$
Some of the roots of the system can be irrelevant!

\pause
Each of these relations gives us two values for $x$ and $y$.

Combining them we obtain $4$ different complex numbers, but
only two of them satisfy the original system (\ref{fsqrt}): 

it is not hard to see from the second equation that
{\em if $b>0$ then the signes of $x$ and $y$ coincide, 
if $b<0$ then the signes of $x$ and $y$ differ}.

% Если $b=0$, т.\,е. число $z$ --- вещественное, то либо $x$, либо $y$ равно нулю.
%  В разделе \ref{s_roots} мы видели, что корень $n$-й степени из
% произвольного ненулевого комплексного числа имеет ровно $n$ значений. Таким
% образом, для $n=2$ эти значения получаются по формулам (\ref{fsqrtsltn}),
% скомбинированным с приведенным правилом выбора знака.

\newslide

\begin{example}
Let's find all values of $\sqrt[4]{2-i\sqrt{12}} = \sqrt{\sqrt{2-i\sqrt{12}}}$.
\pause
First find all values of $\sqrt{2-i\sqrt{12}}$. 
\pause
From (\ref{fsqrtsltn}) we have $x^2=3$, $y^2=1$. 
\pause
Since the $\Im(2-i\sqrt{12})<0$ then $\sqrt{2-i\sqrt{12}}=\pm(\sqrt{3}-i)$. 
\pause
Now compute $\sqrt{\sqrt{3}-i}$. 
\pause
We obtain 
$$
x^2=\fracc12(\sqrt{3}+2), \quad y^2=\fracc12(-\sqrt{3}+2).$$ 
\pause
Thus 
$$
\sqrt{\sqrt{3}-i}=\pm\left(
\sqrt{\fracc{ \sqrt{3}+2}{2}} -
i\sqrt{\fracc{ -\sqrt{3}+2}{2}}\right)=\pm\left( \fracc{ 1+\sqrt{3}}{2} +
\fracc{ 1-\sqrt{3}}{2}i\right).
$$
\pause
Now let's find $\sqrt{-\sqrt{3}+i}$.
\pause

\skipped

\pause
% По утверждению \ref{prop_all_values_of_root}
% оба значения этого корня отличаются от соответствующих
% значений $\sqrt{\sqrt{3}-i}$ множителем $i$. 
% Итак, значениями корня являются
Answer:
$$
\pm\left( \fracc{ 1+\sqrt{3}}{2} + \fracc{ 1-\sqrt{3}}{2}i\right),
\qquad 
\pm\left( \fracc{-1+\sqrt{3}}{2} + \fracc{ 1+\sqrt{3}}{2}i\right).
$$
\end{example}

\newslide

\begin{exercize}
Find
\par
a) $\sqrt{-8i}$, \quad
b) $\sqrt{3-4i}$.
% \begin{sol}
%  а) $\pm(2-2i)$; б) $\pm(2-i)$.
% \end{sol}
\end{exercize}

% \begin{exercize}
% Из (\ref{fsqrtsltn}) вывести формулы синуса и косинуса половинного аргумента.
%   \begin{sol}
%     $\sin^2 \fracc{\varphi}{2} = \fracc{1-\cos\varphi}{2}$;
%     $\cos^2 \fracc{\varphi}{2} = \fracc{1+\cos\varphi}{2}$.
%   \end{sol}
% \end{exercize}


\newslide
\section{Equations of the 2nd, 3rd and 4th degree \label{s_alg_equations}}

\pause

\subsection{Quadratic equation}

% Уравнением {\em второй степени}, или {\em квадратным уравнением}, 
% называется уравнение 
$$
ax^2 + bx + c = 0,  \qquad a \ne 0
$$
\pause 
Divide the both sides by $a$:
$$
x^2+px+q=0.\tag{fsqreq}
$$
\newslide
Let's solve it by extracting a {\em perfect square}.
In LHS:
$$x^2+2x\fracc{p}{2}+\left(\fracc{p}{2}\right)^2-\left(\fracc{p}{2}\right)^2+q=
\left( x+\fracc{p}{2} \right) ^2 - \left(\fracc{p}{2}\right)^2+q.$$
\pause
$$
\left( x+\fracc{p}{2} \right) ^2 = \left(\fracc{p}{2}\right)^2-q,
\quad \mbox{hence} \quad 
x+\fracc{p}{2} = \sqrt{\left(\fracc{p}{2}\right)^2-q}.
$$
\pause
The square root in the last formula has two values with opposite signes.

Introduce for them denotion $\pm\sqrt{\phantom{z}}$. 

\pause
Thus, Equation (\ref{fsqreq}) has two roots:
$$
x_{1,2}=-\fracc{p}{2} \pm \sqrt{\left(\fracc{p}{2}\right)^2-q}.
$$

\newslide
{\em Discriminant} of the Equation (\ref{fsqreq}) is
$$
D=\sqrt{\left(\fracc{p}{2}\right)^2-q}.
$$

If $D=0$ then (\ref{fsqreq}) has one complex root.

If $D\ne 0$ then (\ref{fsqreq}) has two different complex roots.

\pause
 
\begin{example}
$x^2 + x + 1 = 0$
\end{example}

\newslide

\begin{example}
$x^2-(2+i)x+(-1+7i)=0$.
$$x_{1,2}=\fracc{2+i}{2}\pm\sqrt{\fracc{3+4i}{4}+1-7i}
        =\fracc{2+i}{2}\pm\fracc{\sqrt{7-24i}}{2}.$$
% Для нахождения всех значений квадратного корня воспользуемся методами из
% предыдущего раздела:
\pause
$$
\begin{array}{l}
x^2=\fracc12(\phantom{-}7+\sqrt{7^2+24^2})=16,\\[0.7em]
y^2=\fracc12(         - 7+\sqrt{7^2+24^2})=9.
\end{array}
$$
\pause
Thus, $\sqrt{7-24i}=\pm(4-3i)$, 
\pause
hence
$
x_{1,2}=\fracc{2+i}{2}\pm\fracc{4-3i}{2}.
$

Answer: 
$x_1 = 3-i$, $x_2=-1+2i$.
\end{example}

\newslide

\begin{exercize}
Solve equations:
\begin{items}
\item $x^2-(3-2i)x+(5-5i)=0$;
\item $(2+i)x^2-(5-i)x+(2-2i)=0$.
 \end{items}
%  \begin{sol}
%   а) $x_1=2+i$, $x_2=1-3i$; б) $x_1=1-i$, $x_2=\fracc{4-2i}{5}$.
%  \end{sol}
\end{exercize}

\pause

\begin{exercize}
Solve {\em biquadratic equations}:

\begin{items}
\item $x^4-3x^2+4=0$;

\item $x^4-30x^2+289=0$.
\end{items}

\hint Denote $t = x^2$.

%  \begin{sol}
%         а) $\pm\fracc{\sqrt{7}}{2}\pm\frac{i}{2}$;
%         б) $\pm 4\pm i$.
%  \end{sol}
\end{exercize}

% \begin{exercize}
% Составить формулу для решения биквадратного уравнения $x^4+px^2+q=0$ с
% вещественными коэффициентами, удобную в случае ${p^2}/{4}-q<0$.
% 
%  \begin{sol}
%         $x_{1,2,3,4} =
%          \pm  \sqrt{\fracc{\sqrt{q}}{2}-\fracc{p}{4}}
%          \pm i\sqrt{\fracc{\sqrt{q}}{2}+\fracc{p}{4}}
%	$.
% \end{sol}
% \end{exercize}

\newslide

\subsection{Cube equation}

$$
y^3+ay^2+by+c=0
$$

\pause
Let $y = x-\fracc{a}{3}$ 
then the term with the square of the unknown vanishes.

\pause
We obtain

$$
x^3+px+q=0.\tag{f3deqx}
$$ 

\newslide
The roots of the equation can be found using the {\em Cardano formulas} (1545):
$$
x=\alpha + \beta,\tag{f3deg}
$$ 
where
$$
\alpha=\sqrt[3]{-\fracc{q}{2}+\sqrt{\fracc{q^2}{4}+\fracc{p^3}{27}}},
\quad
\beta=\sqrt[3]{-\fracc{q}{2}-\sqrt{\fracc{q^2}{4}+\fracc{p^3}{27}}}.
\tag{3dab}
$$

\newslide


\begin{example} \label{exampleirreduce}
$x^3-6x+4=0$.
Using (\ref{3dab}) we obtain
$$
\begin{array}{l}
\alpha = \sqrt[3]{-2+\sqrt{4-8}}=\sqrt[3]{-2+2i},\\[0.5em]
\beta  = \sqrt[3]{-2-\sqrt{4-8}}=\sqrt[3]{-2-2i}.
\end{array}
$$
\pause
The cube root can be found ``exactly''.
For instance, $\alpha_1 = 1+i$, $\beta_1=1-i$.
% Verify that Condition (\ref{f3degzz}) is satisfied.
\pause 
$$
\begin{array}{l}
x_1 = (1+i)+(1-i)=2,\\
x_2 = (1+i)(-\fracc{1}{2}+\fracc{\sqrt{3}}{2}i) +
      (1-i)(-\fracc{1}{2}-\fracc{\sqrt{3}}{2}i)=-1-\sqrt{3},\\
x_3 = (1+i)(-\fracc{1}{2}-\fracc{\sqrt{3}}{2}i) +
      (1-i)(-\fracc{1}{2}+\fracc{\sqrt{3}}{2}i)=-1+\sqrt{3}.
\end{array}
$$
\end{example}

\newslide

\begin{exercize} 
$x^3-19x+30=0$.
% По формулам (\ref{ftrigsolution}) получаем
% (приближенные вычисления с точностью до $4$ значащих цифр):
% $$
% \begin{array}{c}
% p=-19, \quad q=30, \\
% \cos \varphi =-\fracc{30}{2}\sqrt{\fracc{27}{19^3}} \approx -0,9412, 
% \quad\mbox{откуда}\quad \varphi \approx 160^{\circ}16',\mbox{ }
%      \fracc{\varphi}{3}\approx 53^{\circ}25',\\
% \end{array}
% $$
% $$
% \begin{narrowarray}{lclcr}
% x_1 & = & \phantom{-}2\sqrt{\fracc{19}{3}}\cos  53^{\circ} 25' & \approx & 3,002, \\
% x_2 & = &          - 2\sqrt{\fracc{19}{3}}\cos 113^{\circ} 25' & \approx & 1,999, \\
% x_3 & = &          - 2\sqrt{\fracc{19}{3}}\cos   6^{\circ} 35' & \approx & -5,002.
% \end{narrowarray}
% $$
% Легко проверить, что точными значениями решений уравнения являются целые числа
% $3$, $2$, $-5$.
\end{exercize}


\newslide

\subsection{Equations of the 4th degree}

There is a formula for finding all roots 
of an algebraic equation of the $4$-th degree (Ferrari formula, 1545).

\pause


\skipped

\pause

Let $n\ge 5$.

There is no {\em general} formula involving
addition, subtraction, multiplication, division and rooting
for finding all roots of 
an algebraic equation of the $n$-th degree (E. Galois, 1830).


% \begin{dopiare}
% 
% После замены $y = x-\fracc{a}{3}$ в уравнении третьей степени
% $y^3+ay^2+by+c=0$ исчезает член с квадратом неизвестной $y$.
% Уравнение примет вид
% $$
% x^3+px+q=0.\tag{f3deqx}
% $$ 
% Его решения будем искать в
% виде 
% $$
% x=\alpha + \beta,\tag{f3deg}
% $$ 
% где $\alpha$, $\beta$ --- некоторые
% комплексные числа, связанные помимо (\ref{f3deg}) другим отношением, которое
% мы определим ниже. После подстановки (\ref{f3deg}) в (\ref{f3deqx}) получаем:
% $$
% \alpha^3+3\alpha^2\beta+3\alpha\beta^2+p\alpha+p\beta+q=0,
% $$
% откуда
% $$
% \alpha^3 + \beta^3 +\alpha(3\alpha\beta+p)+\beta(3\alpha\beta+p)+q=0,
% $$
% следовательно,
% $$
% \alpha^3 + \beta^3 +(\alpha+\beta)(3\alpha\beta+p)+q=0.
% \tag{f3deg1}
% $$
% Пусть
% $$
% 3\alpha\beta+p=0,\tag{f3degzz}
% $$
% тогда (\ref{f3deg1}) примет вид
% $$
% \alpha^3 + \beta^3 =-q.
% \tag{f3degz}
% $$
% Переписывая (\ref{f3degz}) и возводя (\ref{f3degzz}) в куб, получим систему
% $$
% \begin{system}
%   \alpha^3 + \beta^3 =-q,\\
%   \alpha^3\beta^3=-\fracc{p^3}{27}.
% \end{system}
% $$
% Используя теорему Виета, получаем, что $\alpha^3$, $\beta^3$ являются
% решениями следующего квадратного уравнения $$z^2+qz-\fracc{p^3}{27}=0,$$
% поэтому
% $$
% \alpha=\sqrt[3]{-\fracc{q}{2}+\sqrt{\fracc{q^2}{4}+\fracc{p^3}{27}}},
% \quad
% \beta=\sqrt[3]{-\fracc{q}{2}-\sqrt{\fracc{q^2}{4}+\fracc{p^3}{27}}}.
% \tag{3dab}
% $$
% Среди всевозможных комбинаций $\alpha$, $\beta$ необходимо выбрать лишь те,
% которые удовлетворяют условию (\ref{f3degzz}). Легко видеть, что
% таким образом будет получено $3$ решения (для каждого $\alpha$ из
% (\ref{f3degzz}) можно определить единственное $\beta$). 
% Формулы (\ref{f3deg},\,\ref{3dab}) называются {\em формулами Кардано}.
% 
% На практике из
% (\ref{3dab}) выбирают какую-нибудь пару $\alpha_1$, $\beta_1$, удовлетворяющую
% (\ref{f3degzz}); решениями уравнения (\ref{f3deqx}) являются числа
% $$
% \begin{array}{l}
%   x_1=\alpha_1+\beta_1,\\
%   x_2=\alpha_1\varepsilon+\beta_1\varepsilon^2=-\fracc{\alpha_1+\beta_1}{2}
%                 -i\fracc{\alpha_1-\beta_1}{2}\sqrt{3},\\
%   x_3=\alpha_1\varepsilon^2+\beta_1\varepsilon=-\fracc{\alpha_1+\beta_1}{2}
%                 +i\fracc{\alpha_1-\beta_1}{2}\sqrt{3},\\
%     \qquad
%           \mbox{где } \varepsilon = -\fracc{1}{2}+\fracc{\sqrt{3}}{2}i.
% \end{array}
%                                 \tag{3dKardan}
% $$
% 
% \begin{exercize}
% Проверить, что $x_2$, $x_3$ удовлетворяют условию (\ref{f3degzz}).
% \end{exercize}
% 
% \begin{example} \label{examplereduce}
% $y^3+3y^2-6y+4=0$.
% После подстановки $y=x-1$ исходное уравнение примет вид: $x^3-9x+12=0$.
% Имеем:
% $$
% \begin{array}{l}
%   \alpha=\sqrt[3]{-\fracc{12}{2}+\sqrt{\fracc{144}{4}-\fracc{9^3}{27}}}=
%     \sqrt[3]{-6+\sqrt{9}}=\sqrt[3]{-6-3}=-\sqrt[3]{3},\\[2em]
%   \beta    =\sqrt[3]{-6+3}=-\sqrt[3]{9}.
% \end{array}
% $$
% Поэтому
% $$
% \begin{array}{l}
%   x_1=-\left(\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9}\right),\\[0.5em]
%   x_{2,3}=\fracc{\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9}}{2}
%         \pm i\fracc{\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{9}}{2}\sqrt{3}.
% \end{array}
% $$
% Отсюда
% $$
% \begin{array}{l}
%   y_1=-\left(1+\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9}\right),\\[0.5em]
%   y_{2,3}=\fracc{\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9}-2}{2}
%         \pm i\fracc{\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{9}}{2}\sqrt{3}.
% \end{array}
% $$
% \end{example}
% 
% %Еще один пример
% 
% %\begin{example}
% %$x^3+6x+2=0$.
% 
% %       \solve
% 
% %$$
% %\begin{array}{l}
% %\alpha = \sqrt[3]{-1+\sqrt{1+8}}=\sqrt[3]{-1+3}=\sqrt[3]{2},\\
% %\beta  = \sqrt[3]{-1-3}=-\sqrt[3]{4}.
% %\end{array}
% %$$
% %Решения:
% %$$
% %\begin{array}{l}
% %x_1 = \sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{4},\\
% %x_{2,3} = \left( -\fracc{1}{2} \pm \fracc{\sqrt{3}}{2}i\right)\sqrt[3]{2}-
% %          \left( -\fracc{1}{2} \mp \fracc{\sqrt{3}}{2}i\right)\sqrt[3]{4}
% %	= \fracc{\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2}}{2} \pm
% %             i\fracc{\sqrt{3}}{2}\left(\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}\right).
% %\end{array}
% %$$
% %\end{example}
% 
%                                                                             
% \subsection{Кубические уравнения с действительными коэффициентами}
% 
% Пусть в уравнении (\ref{f3deqx}) параметры $p$, $q$ --- действительные числа.
% В зависимости от знака выражения $q^2/4 + p^3/27$ в формулах Кардано
% (\ref{3dab}) приходится вычислять корень квадратный либо из положительного,
% либо из нулевого, либо из отрицательного (действительного) числа. Рассмотрим
% каждый из этих случаев.
% 
% 1) $q^2/4 + p^3/27>0$. Под знаком кубичного радикала в (\ref{3dab}) стоят
% действительные числа. Вещественные значения этих корней дадут действительный
% корень $\alpha_1+\beta_1$. Два других корня, вычисленных по формулам
% (\ref{3dKardan}), очевидно, будут взаимно сопряженными
% комплексными (см.\,пример~\ref{examplereduce}).
% 
% 2) $q^2/4 + p^3/27=0$. В этом случае $\alpha_1=\beta_1$, поэтому
% $x_1=2\alpha_1$, $x_2=x_3=-\alpha_1$. Все корни действительные.
% 
% 3) $q^2/4 + p^3/27<0$ (так называемый {\em ``неприводимый случай''}).
% Пусть
% $$
% z=-\fracc{q}{2}+i\sqrt{-\fracc{q^2}{4}-\fracc{p^3}{27}}
%  =r(\cos\varphi+i\sin\varphi)
% $$
% (в данном случае радикал означает арифметическое значение корня). 
% Для числа $z$ определим
% модуль $r$:
% $$
% r=\sqrt{\fracc{q^2}{4}-\fracc{q^2}{4}-\fracc{p^3}{27}}=
% \sqrt{-\fracc{p^3}{27}},
% $$
% и аргумент $\varphi$:
% $$
% r\cos\varphi=-\fracc{q}{2},
%   \mbox{ следовательно, }
% \cos\varphi=-\fracc{q}{2}\sqrt{-\fracc{27}{p^3}}.
% $$
% Из формул Кардано (\ref{3dab}) следует, что
% $$
% \alpha_1 = \sqrt[3]{z} = \sqrt[3]{r}\left(\cos\fracc{\varphi}{3}
%   +i\sin\fracc{\varphi}{3}\right),
% \quad
% \beta_1 = \sqrt[3]{\bar z} = \sqrt[3]{r}\left(\cos\fracc{\varphi}{3}
%   -i\sin\fracc{\varphi}{3}\right).
% $$
% Легко проверить, что $\alpha_1\beta_1=-p/3$, поэтому по формулам
% (\ref{3dKardan}) получаем:
% $$
% \begin{narrowarray}{lcl}
%   x_1     & = & \alpha_1 + \beta_1 = 2\sqrt[3]{r}\cos\fracc{\varphi}{3}
%                         =2\sqrt{-\fracc{p}{3}}\cos\fracc{\varphi}{3},\\[0.5em]
%   x_{2,3} & = & \alpha\varepsilon^{1,2}+\beta\varepsilon^{2,1}\\[0.5em]
%           & = & \sqrt[3]{r}
%             \left[
%                  \cos\left( \fracc{\varphi}{3} \pm \fracc{2\pi}{3} \right)
%               + i\sin\left( \fracc{\varphi}{3} \pm \fracc{2\pi}{3} \right)
% 	    \right] \\[0.5em]
%           &   & \qquad + \sqrt[3]{r}
%              \left[
%                   \cos\left(-\fracc{\varphi}{3} \mp \fracc{2\pi}{3} \right)
%                + i\sin\left(-\fracc{\varphi}{3} \mp \fracc{2\pi}{3} \right)
% 	    \right]   \\[0.5em]
%           & = & 2\sqrt[3]{r} \cos \left( \fracc{\varphi}{3} \pm \fracc{2\pi}{3} \right)
%       =-2\sqrt[3]{r} \cos \left( \fracc{\varphi}{3} \mp \fracc{ \pi}{3} \right)  \\[0.5em]
%           & = &-2\sqrt[3]{-\fracc{p}{3}}
%                    \cos \left(\fracc{\varphi}{3} \mp \fracc{ \pi}{3} \right).
% \end{narrowarray}
% $$
% 
% Итак, в ``неприводимом'' случае все три корня уравнения
% вещественные и различные и могут быть найдены по формулам:
% $$
% \begin{narrowarray}{lcl}
%   x_1     & = &  2\sqrt{-\fracc{p}{3}}\cos\fracc{\varphi}{3},\\[1em]
%   x_{2,3} & = & -2\sqrt[3]{-\fracc{p}{3}}
%                        \cos \left(\fracc{\varphi}{3} \mp \fracc{ \pi}{3} \right),\\[1em]
%           &   &  \qquad \mbox{где}\qquad  \cos\varphi=-\fracc{q}{2}\sqrt{-\fracc{27}{p^3}}
% \end{narrowarray}
% \tag{ftrigsolution}
% $$
% (так называемое {\em ``тригонометрическое'' решение}).
% 
% Заметим, что в данном случае несмотря на то, что все три корня действительные,
% нам не удалось их выразить через радикалы от {\em действительных} же чисел:
% в формулах (\ref{3dab}) приходится извлекать кубичный корень из комплексного
% (не действительного) числа, а в (\ref{ftrigsolution}) встречаются
% трансцендентные функции. Можно показать, что {\em в общем} случае (т.\,е. для
% уравнения с {\em буквенными} коэффициентами) это невозможно, хотя в
% {\em частных} примерах иногда удается представить вещественные корни кубичного
% уравнения через радикалы от действительных чисел (см.\,примеры ниже).
% 
% \begin{example} \label{exampleirreduce}
% $x^3-6x+4=0$.
% По формулам (\ref{3dab}) получаем
% $$
% \begin{array}{l}
% \alpha = \sqrt[3]{-2+\sqrt{4-8}}=\sqrt[3]{-2+2i},\\[0.5em]
% \beta  = \sqrt[3]{-2-\sqrt{4-8}}=\sqrt[3]{-2-2i}.
% \end{array}
% $$
% Здесь кубичный корень удается извлечь ``точно''.
% Например, $\alpha_1 = 1+i$, $\beta_1=1-i$. Прямой подстановкой в
% (\ref{f3degzz}) убеждаемся, что условие (\ref{f3degzz}) выполнено. Решения:
% $$
% \begin{array}{l}
% x_1 = (1+i)+(1-i)=2,\\
% x_2 = (1+i)(-\fracc{1}{2}+\fracc{\sqrt{3}}{2}i) +
%       (1-i)(-\fracc{1}{2}-\fracc{\sqrt{3}}{2}i)=-1-\sqrt{3},\\
% x_3 = (1+i)(-\fracc{1}{2}-\fracc{\sqrt{3}}{2}i) +
%       (1-i)(-\fracc{1}{2}+\fracc{\sqrt{3}}{2}i)=-1+\sqrt{3}.
% \end{array}
% $$
% \end{example}
% 
% 
% \begin{example} $x^3-19x+30=0$.
% По формулам (\ref{ftrigsolution}) получаем
% (приближенные вычисления с точностью до $4$ значащих цифр):
% $$
% \begin{array}{c}
% p=-19, \quad q=30, \\
% \cos \varphi =-\fracc{30}{2}\sqrt{\fracc{27}{19^3}} \approx -0,9412, 
% \quad\mbox{откуда}\quad \varphi \approx 160^{\circ}16',\mbox{ }
%      \fracc{\varphi}{3}\approx 53^{\circ}25',\\
% \end{array}
% $$
% $$
% \begin{narrowarray}{lclcr}
% x_1 & = & \phantom{-}2\sqrt{\fracc{19}{3}}\cos  53^{\circ} 25' & \approx & 3,002, \\
% x_2 & = &          - 2\sqrt{\fracc{19}{3}}\cos 113^{\circ} 25' & \approx & 1,999, \\
% x_3 & = &          - 2\sqrt{\fracc{19}{3}}\cos   6^{\circ} 35' & \approx & -5,002.
% \end{narrowarray}
% $$
% Легко проверить, что точными значениями решений уравнения являются целые числа
% $3$, $2$, $-5$.
% \end{example}
% 
% 
% \subsection{Уравнения четвертой степени}
% 
% Опишем {\em способ Феррари} (L.\,Ferrari, 1545) для решения уравнения
% четвертой степени $$y^4+ay^3+by^2+cy+d=0.\tag{f4d}$$ Легко проверить, что для
% произвольного значения параметра $\lambda$ уравнение (\ref{f4d}) можно
% представить в виде:
% $$
%   \left( x^2 + \fracc{a}{2}x+\fracc{\lambda}{2}\right)^2
%   - \left[
%       \left(\fracc{a^2}{4}+\lambda-b \right) x^2
%       +\left(\fracc{a\lambda}{2}-c\right)x
%       +\left(\fracc{\lambda^2}{4}-d\right)
%   \right]
%   =0.          \tag{f4d1}
% $$
% Подберем $\lambda$ так, чтобы выражение в квадратных скобках было квадратом
% двучлена, зависящего от $x$. Для этого необходимо приравнять к нулю
% дискриминант этого выражения:
% $$
%   \left(\fracc{a\lambda}{2}-c\right)^2
%   -4 \left(\fracc{a^2}{4}+\lambda-b\right)
%         \left(\fracc{\lambda^2}{4}-d \right) = 0. \tag{f4dres}
% $$
% Таким образом, взяв любой корень $\lambda$ уравнения (\ref{f4dres}), мы
% сможем разложить левую часть (\ref{f4d1}) на линейные множители и тем самым
% отыскать корни исходного уравнения. Вспомогательное кубическое уранение
% (\ref{f4dres}) называется {\em резольвентой}.
% 
% \begin{example} $x^4-2x^3+2x^2+4x-8=0$.
% Резольвента имеет вид:
% $$
%   \left(-\fracc{2\lambda}{2}-4\right)^2
%   -4 \left(\fracc{(-2)^2}{4}+\lambda-2\right)
%         \left(\fracc{\lambda^2}{4}+8\right) = 0.
% $$
% После раскрытия скобок и приведения подобных получаем:
% $$
% \begin{array}{l}
% \lambda^3-2\lambda^2+24\lambda-48=0,\\[0.5em]
% \lambda^2(\lambda-2)+24(\lambda-2)=0,\\[0.5em]
% (\lambda-2)(\lambda^2+24)=0.
% \end{array}
% $$
% Одним из корней является $\lambda = 2$. Воспользовавшись (\ref{f4d1}), левую
% часть исходного уравнения запишем в виде
% $$
% \begin{array}{l}
%   (x^2-x+1)^2-(x^2 -6x+9)\\[0.5em]
%     \qquad =(x^2-x+1)^2-(x-3)^2\\[0.5em]
%     \qquad =(x^2-x+1-x+3)(x^2-x+1+x-3)\\[0.5em]
%     \qquad =(x^2-2x+4)(x^2-2).
% \end{array}
% $$
% Раскладывая на линейные множители, получаем следующие корни: $1\pm i\sqrt{3}$,
% $\pm\sqrt{2}$.
% 
% \end{example}
% 
% %\begin{example} $x^4-6x^3+6x^2+27x-56=0$.
% 
% %       \solve
% 
% %Резольвента имеет вид:
% %$$
% %  \left(-\fracc{6\lambda}{2}-27\right)^2
% %  -4 \left(\fracc{6^2}{4}+\lambda-6\right)
% %        \left(\fracc{\lambda^2}{4}+56\right) = 0.
% %$$
% %После раскрытия скобок и приведения подобных получаем:
% %$$
% %\lambda^3-6\lambda^2+62\lambda-55=0
% %$$
% %Легко убедиться в том, что одним из ее корней является
% %$\lambda = 1$. Воспользовавшись (\ref{f4d1}), левую
% %часть исходного уравнения запишем в виде
% %$$
% %\begin{array}{l}
% %\left(x^2-3x+\fracc{1}{2}\right)^2-\left(4x^2-30x+\fracc{225}{4}\right)=\\
% % \qquad     =(x^2-3x+\fracc{1}{2})^2-(2x-\fracc{15}{2})^2=\\
% % \qquad     =\left(x^2-3x+\fracc{1}{2}+2x-\fracc{15}{2}\right)
% %             \left(x^2-3x+\fracc{1}{2}-2x+\fracc{15}{2}\right)=\\
% % \qquad     =(x^2-x-7)(x^2-5x+8).
% %\end{array}
% %$$
% %Корни:
% %  $$
% %    x_{1,2}=\fracc{1\pm  \sqrt{29}}{2},\quad
% %    x_{3,4}=\fracc{5\pm i\sqrt{7}}{2}.$$
% %\end{example}
% \end{dopiare}
% 
% \subsection{Уравнения высших степеней}
% Мы с вами увидели, что корни алгебраического уравнения степени не выше $4$
% с буквенными коэффициентами можно выразить через коэффициенты этого уравнения
% при помощи конечного числа действий сложения, вычитания, умножения,
% деления и знаков корня (говорят, что общее уравнение степени не выше $4$
% {\em разрешимо в радикалах}).
% Н.\,Абель (N.\,Abel) в 1826~г. показал, что для алгебраических уравнений
% степени выше $4$ этого сделать нельзя, иными словами, общее уравнение степени
% $5$ и выше неразрешимо в радикалах. Результат Абеля не исключал
% возможности, что корни каждого {\em конкретного} уравнения (с числовыми
% коэффициентами) степени выше $4$ выражаются с помощью некоторой комбинации
% арифметических операций и операций извлечения корня над коэффициентами
% исходного уравнения. Уравнения любой степени частных видов решаются в радикалах
% (например, {\em двучленное уравнение} $x^n-a=0$). Полное решение 
% вопроса о том, при каких условиях
% алгебраическое уравнение разрешимо в радикалах было получено Э.\,Галуа
% (E.\,Galois) в 1830~г. Из результатов Галуа, например, следует, что
% для любой степени выше $4$ найдутся уравнения с рациональными (и даже целыми)
% коэффициентами, неразрешимые в радикалах. Простым примером такого уравнения
% может служить $x^5-4x-2=0$.
% 
% 
\newslide

\section{Extra examples}



\begin{example}
Find algebraic expression for $\cos\fracc{ 2\pi}{5}$, $\sin\fracc{ 2\pi}{5}$.

\pause
$$
z = \cos\fracc{ 2\pi}{5} +i\sin\fracc{ 2\pi}{5}
$$ 
is one of the root of equation 
$$
x^5-1=0,
$$ 
that is equavalent to
$$
(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1) = 0.
$$
\pause
Hence  $z$ is a root of equation
$$
x^4+x^3+x^2+x+1 = 0
$$
This is a {\em reciprocal} equation.
\pause
Divide its both part over $x^2$:
$$
x^2+x+1+\fracc{ 1}{x}+\fracc{ 1}{x^2}=0, \tag{fsqrt5}
$$
\pause
or
$$
\left(x^2+\fracc{ 1}{x^2}\right) + \left(x+ \fracc{ 1}{x}\right) + 1 =0.
$$
\pause
Let
$$
u=x+\fracc{ 1}{x}, \tag{fsqrt5z}
$$
Then $u^2=x^2+2+\fracc{ 1}{x^2}$ and
(\ref{fsqrt5}) has the form
$$
u^2+u-1=0.
$$  
\pause
Its roots are
$u_{1,2}=-\fracc{ 1}{2}\pm\fracc{ \sqrt{5}}{2}$.
\pause
From (\ref{fsqrt5z}) we have
$$
\begin{array}{l}
  x_{1,2}=\phantom{-}\fracc{ \sqrt{5}}{4}-\fracc{ 1}{4}\pm
                      i\fracc{ 1}{4}\sqrt{2}\sqrt{5+\sqrt{5}},\\[1em]
  x_{3,4}=-\fracc{ \sqrt{5}}{4}-\fracc{ 1}{4}\pm
                      i\fracc{ 1}{4}\sqrt{2}\sqrt{5-\sqrt{5}}.
\end{array}
$$
\pause
Obviously, $z = \cos\fracc{ 2\pi}{5} +i\sin\fracc{ 2\pi}{5}=x_1$. 
\pause
Hence
$$
  \cos\fracc{ 2\pi}{5} = \fracc{ \sqrt{5}}{4}-\fracc{ 1}{4},
      \qquad \sin\fracc{ 2\pi}{5} =\fracc{ 1}{4}\sqrt{2}\sqrt{5+\sqrt{5}}.
$$
\end{example}

% \begin{exercize}
% Разработать метод построения при помощи циркуля и
% линейки правильного пятиугольника, вписанного в окружность заданного радиуса.
%  \begin{sol}
% \hint Используя выражение для $\cos\fracc{2\pi}{5}$,
% разработать способ построения отрезка длины $\sqrt{5}$.
%  \end{sol} 
% \end{exercize}
% 
% % \begin{example}
% % Выразим в радикалах $\cos 2\pi/17$.
% % x^16+x^15+x^14+x^13+x^12+x^11+x^10+x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1
% % x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1+1/x+1/x^2+1/x^3+1/x^4+1/x^5+1/x^6+1/x^7+1/x^8
% % t=x+1/x
% % t^2=x^2+2+1/x^2
% % t^3=x^3+3*x+3/x+1/x^3
% % t^4=x^4+4*x^2+6+4/x^2+1/x^4
% % t^5=x^5+5*x^3+10*x+10/x+5/x^3+1/x^5
% % t^6=x^6+6*x^4+15*x^2+20+15/x^2+6/x^4+1/x^6
% % t^7=x^7+7*x^5+21*x^3+35*x+35/x+21/x^3+7/x^5+1/x^7
% % t^8=x^8+8*x^6+28*x^4+56*x^2+70+56/x^2+28/x^4+8/x^6+1/x^8
% % 
% % Откуда последовательно получаем
% % 
% % x+1/x     = t
% % x^2+1/x^2 = t^2-2
% % x^3+1/x^3 = t^3-3*t
% % x^4+1/x^4 = t^4+2-4*t^2
% % x^5+1/x^5 = t^5-5*t^3+5*t 
% % x^6+1/x^6 = t^6-6*t^4-2+9*t^2
% % x^7+1/x^7 = t^7-7*t^5+14*t^3-7*t
% % x^8+1/x^8 = t^8-8*t^6+20*t^4+2-16*t^2
% % 
% % 1 ...
% % +t ...                        
% % +t^2-2 ...                    
% % +t^3-3*t ...                  
% % +t^4+2-4*t^2 ...              
% % +t^5-5*t^3+5*t ...            
% % +t^6-6*t^4-2+9*t^2 ...        
% % +t^7-7*t^5+14*t^3-7*t ...     
% % +t^8-8*t^6+20*t^4+2-16*t^2
% % 
% % 1-4*t-10*t^2+10*t^3+15*t^4-6*t^5-7*t^6+t^7+t^8
% % \end{example}
% 
% \begin{example}
% Составим алгебраическое уравнение с целыми коэффициентами, корнем которого
% является длина стороны правильного $14$-угольника, вписанного в круг радиуса
% $1$.
% Обозначим сторону упомянутого $14$-угольника через $d$. Легко видеть, что
% $d=2\sin\fracc{\pi}{14}=2\cos\fracc{3\pi}{7}$. Пусть
% $$
% \varepsilon=\cos\frac{3\pi}{7}+i\sin\frac{3\pi}{7}=
% \cos\frac{3\cdot2\pi}{14}+i\sin\frac{3\cdot2\pi}{14},
% $$
% тогда $d=\varepsilon+\varepsilon^{-1}$.
% Заметим, что $\varepsilon$ является первообразным корнем $14$-й
% степени из $1$ и поэтому корнем кругового многочлена
% $$
% \begin{narrowarray}{lcl}
%   \Phi_{14}(x) & = & \fracc{x^{14}-1}{\Phi(x)_1 \Phi(x)_2 \Phi(x)_7}=
%       \fracc{(x^{14}-1)\Phi(x)_1}{\Phi(x)_1 \Phi(x)_2 (x^7-1)}=\fracc{x^7+1}{x+1}=\\[1em]
%                & = & x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+1.
% \end{narrowarray}
% $$
% Поделив уравнение $x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+1=0$ на $x^3$, получим
% $$
% \left(x^3+\frac{1}{x^3}\right)
% - \left(x^2+\frac{1}{x^2}\right) + \left(x+\frac{1}{x}\right) -1 =0
% $$
% и после преобразований:
% $$
% \left(x+\frac{1}{x}\right)^3
% -\left(x+\frac{1}{x}\right)^2
% -2\left(x+\frac{1}{x}\right)+1=0,
% $$
% т.\,е. $d^3-d^2-2d+1=0$. Это и есть искомое уравнение.
% \end{example}
% 
% \begin{exercize}
% Решить уравнения:
% 
% \begin{items}
% \item $z^5+z^4+z^3+z^2+z+1=0$;
% 
% \item $z^4-4z^3+7z^2-16z+12=0$.
% \end{items}
%  \begin{sol}
%         а) $\pm \fracc{1}{2} \pm i\fracc{\sqrt{3}}{2}$;
%         б) $1$, $3$, $2i$, $-2i$.
%  \end{sol}
% \end{exercize}
% 
% \begin{exercize}
% Решить уравнения:
% 
% \begin{items}
% \item $z^4+6z^3+9z^2+100=0$;
% 
% \item $z^4+2z^2-24z+72=0$.
% 
% \end{items}
%  \begin{sol}
%         а) $1\pm 2i$, $-4\pm 2i$;
% 	б) $2\pm i\sqrt{2}$, $-2\pm i2\sqrt{2}$.
%         \hint Воспользоваться тем, что левые части представляются
% 	                   в виде суммы квадратов.       
% \end{sol}
% \end{exercize}
% 
%                                   
% \section[Вычисление сумм и произведений]{Вычисление сумм и
% произведений с~помощью~комплексных~чисел}
% 
% Перед разбором примеров данного раздела напомним формулу {\em бинома Ньютона}
% $$
% (a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} b^k,
% \quad
% \mbox{где}
% \quad
% \binom{n}{k} = \fracc{n\cdot(n-1)\cdot\dots\cdot(n-k+1)}{k!},
% $$
% справедливую для любых комплексных $a$ и $b$.
% 
%                                   
% \begin{example}
% Выразим $\cos 5x$ через $\cos x$ и $\sin x$ $(x \in \RR)$.
% Пусть $z=\cos x + i\sin x$. Найдем $z^5$ двумя способами. По формуле бинома
% Ньютона имеем:
% $$
% \begin{array}{l}
%   (\cos x + i\sin x)^5 = \\[0.5em]
%   \qquad = \cos^5 x + 5 i \cos ^4 x \sin x - 10 \cos ^3 x \sin ^2 x - \\[0.5em]
%   \qquad\qquad - 10 i \cos ^2 x \sin ^3 x + 5 \cos x \sin ^4 x + i \sin ^5 x.
% \end{array}
% $$
% С другой стороны, по формуле Муавра:
% $$
% (\cos x + i\sin x)^5 = \cos 5 x +  i \sin 5 x.
% $$
% Приравнивая правые части полученных равенств и выделяя действительную часть,
% получаем:
% $$
% \cos 5x = \cos^5 x - 10 \cos ^3 x \sin ^2 x + 5 \cos x \sin ^4 x.
% $$
% \end{example}
% 
% \begin{exercize}
% Выразить через $\cos x$ и $\sin x$:
% \par
% а) $\cos 8x$;
% \quad
% б) $\sin 7x$.
% 
% 
%  \begin{sol}
% а)~$\cos^8 x -28\cos^6 x\sin^2 x + 70 \cos^4 x\sin^4 x -28 \cos^2 x\sin^6 x
%       +\sin^8 x$;
% 
% б)~$7\cos^6 x\sin x-35\cos^4 x\sin^3 x+21\cos^2 x\sin^5 x-\sin^7 x$.
%  \end{sol}
% \end{exercize}
% 
% \begin{exercize}
% Выразить $\tg 6 x$ через $\tg x$.
% 
%  \begin{sol}$\fracc{2(3\tg x-10\tg^3 x+3\tg^5 x)}
%            {1-15\tg^2 x+15\tg^4 x-\tg^6 x}$.
% 
%  \end{sol}
% \end{exercize}
% 
% \begin{exercize}
% Доказать\footnote{Суммы в нижеследующих равенствах конечные.}:
% $$
% \cos nx = \cos^n x - {n\choose 2}\cos^{n-2} x \sin^2 x + {n \choose 4}\cos^{n-4} x \sin^4 x -\dots
% $$
% $$
% \sin nx = {n\choose 1}\cos^{n-1} x \sin x - {n\choose 3}\cos^{n-3} x \sin^3 x + \dots
% $$
% \end{exercize}
% 
% \begin{example}
% Вычислим $\sin x + \sin 2x + \dots + \sin nx$ $(x \in \RR)$.
% Пусть $z=\cos x + i \sin x$, тогда рассматриваемая сумма есть
% мнимая часть выражения $z+z^2+z^3+ \dots + z^n$, которое, используя формулы
% для суммы геометрической прогрессии, формулу Муавра и простейшие
% тригонометрические формулы, преобразуем следующим образом:
% $$
% \begin{array}{l}
% z+z^2+z^3+ \dots + z^n = z \cdot \fracc{ z^n -1}{z-1}\\[5pt]
% \qquad=(\cos x + i \sin x)\cdot\fracc{ \cos nx + i \sin nx - 1}{\cos x + i \sin x -1}\\[5pt]
% \qquad=(\cos x + i \sin x)\cdot\fracc{ 2\sin^2 \fracc{ nx}{2} - 2i
% \sin\fracc{nx}{2}\cos\fracc{nx}{2}}{2\sin^2 \fracc{ x}{2} - 2i
% \sin\fracc{x}{2}\cos\fracc{ x}{2}}\\[5pt]
% \qquad=(\cos x + i \sin x)\cdot\fracc{ -i\sin\fracc{ nx}{2}\cdot\left(
% i\sin\fracc{ nx}{2} + \cos \fracc{ nx}{2} \right)}
% {-i\sin\fracc{ x}{2}\cdot\left(
% i\sin\fracc{ x}{2} + \cos \fracc{ x}{2} \right)}\\[5pt]
% \qquad=\fracc{ \cos \fracc{ (n+1)x}{2}+ i \sin\fracc{ (n+1)x}{2} }
% {\sin\fracc{ x}{2}}\cdot{\sin\fracc{ x}{2}}\cdot\sin\fracc{ nx}{2}.
% \end{array}
% $$
% Выделяя мнимую часть, получаем
% $$
% \sin x + \sin 2x + \dots + \sin nx =
% \fracc
% {\sin\fracc{ (n+1)x}{2} \sin\fracc{ nx}{2}}
% {\sin\fracc{ x}{2}}.
% $$
% Выделяя действительную часть, можно получить $$\cos x + \cos 2x + \dots + \cos
% nx = \fracc{ \cos\fracc{ (n+1)x}{2}\sin\fracc{ nx}{2}}{\sin\fracc{ x}{2}}.$$
% \end{example}
% 
% \begin{exercize}
% Вычислить сумму
% $$
% 1+a\cos\varphi+a^2\cos 2\varphi+\dots+a^n\cos n\varphi.
% $$
%  \begin{sol}$\fracc{a^{k+2}\cos k\varphi - a^{k+1}\cos(k+1)\varphi-a\cos\varphi+1}
%             {a^2-2a\cos\varphi +1}$.
%  \end{sol}
% \end{exercize}
% 
% \begin{example}
% Вычислим
% $$
% \sin x + {n \choose 1}\sin2x + \dots + {n \choose
% n}\sin(n+1)x.
% $$
% Пусть $z=\cos x + i \sin x$. Преобразуем выражение, мнимая часть которого
% есть рассматриваемая сумма:
% $$
% \begin{array}{l}
%   z+{n \choose 1}z^2 + \dots + {n \choose n}z^{n+1} \\[0.5em]
% \qquad=z\left( 1 + {n \choose 1}z + \dots + {n \choose n}z^{n} \right) \\[0.5em]
% \qquad=z(1+z)^n=(\cos x + i \sin x)(1+\cos x + i \sin x)^n \\[0.5em]
% \qquad=     (\cos x + i \sin x)\left( 2\cos^2\fracc{ x}{2} +
%      i2\sin\fracc{ x}{2}\cos\fracc{x}{2}\right)^n \\[0.5em]
% \qquad=2^n(\cos x + i \sin x)\cos^n\fracc{ x}{2}\left( \cos \fracc{ x}{2} +
%      i\sin\fracc{ x}{2} \right) ^n \\[0.5em]
% \qquad=2^n(\cos x + i \sin x)\cos^n\fracc{ x}{2}\left( \cos \fracc{ nx}{2} +
%      i\sin\fracc{ nx}{2} \right)\\[0.5em]
% \qquad=2^n \cos^n\fracc{n}{2} \left( \cos \fracc{(n+2)x}{2} + i\sin\fracc{(n+2)x}{2}\right).
% \end{array}
% $$
% Мы последовательно применили формулу бинома Ньютона,
% тригонометрические формулы двойного угла и, наконец, использовали формулу
% Муавра. Теперь, выделяя мнимую часть в последнем выражении,
% получаем
% $$
%   \sin x + {n \choose 1}\sin2x + \dots + {n \choose n}\sin(n+1)x = 2^n \cos^n \fracc{ x}{2} \sin\fracc{ (n+2)x}{2}.
% $$
% \end{example}
% 
% \begin{example}
% Вычислим $$\sin^2 x+\sin^2 3x+\dots+\sin^2(2n-1)x.$$
% Так как $\sin^2 x = \fracc{ 1}{2} - \fracc{ 1}{2}\cos 2x$, то
% $$
% \begin{array}{l}
%       \sin^2 x+\sin^2 3x+\dots+\sin^2(2n-1)x = \\[0.5em]
%          \qquad = \fracc{ 1}{2}n - \fracc{ 1}{2}
%               \left(\strut\cos 2x + \cos 6x + \dots + \cos 2(2n-1)x \right).
% \end{array}
% $$
% Для вычисления суммы в круглых скобках положим $z=\cos x + i \sin x$ и
% рассмотрим сумму
% $$
% \begin{array}{l}
% z^2 + z^6 + \dots + z ^{2(2n-1)}=z^2 \cdot \fracc{ z ^{2(2n-1)}
% -1}{z^4 - 1}=\\\qquad= z^{2n} \cdot \fracc{ z ^{2n} -z^{-2n}}{z^2 - z^{-2}}=\\
% \qquad=(\cos 2nx + i \sin 2nx)\fracc{ \sin 2nx}{\sin 2x}.
% \end{array}
% $$
% Выделяя действительную часть, получаем
% $$\cos 2x + \cos 6x + \dots + \cos 2(2n-1)x = \fracc{ \cos 2nx \sin 2nx}{\sin2x}=
% \fracc{\sin 4nx}{2\sin 2x}.
% $$
% Поэтому
% $$\sin^2 x+\sin^2 3x+\dots+\sin^2(2n-1)x = \fracc{ n}{2} -
% \fracc{ \sin 4nx}{4\sin 2x}.$$
% \end{example}
% 
% \begin{exercize}
% Показать, что
% 
% \begin{items}
% \item $\cos^2 x + \cos^2 2x +\dots + \cos^2 nx = \fracc{n}{2}
%                                   + \fracc{\cos(n+1)x\sin nx}{2\sin x}$;
% 
% \item $\sin^2 x + \sin^2 2x +\dots + \sin^2 nx = \fracc{n}{2}
%                                    - \fracc{\cos(n+1)x\sin nx}{2\sin x}$.
% \end{items}
% 
% \end{exercize}
% 
% 
% 
% 
% 
% \begin{example}
% Вычислим:
% \begin{items}
% \item $\cos x +2\cos 2x +3\cos 3x+ \dots+ n\cos nx$,
% 
% \item $\sin x +2\sin 2x +3\sin 3x+ \dots+ n\sin nx$.
% \end{items}
% Пусть $z=\cos x + i \sin x$.
% Сумма а) совпадает с действительной частью выражения 
% $$
% z + 2z^2+3z^3+\dots +nz^n,
% $$ 
% сумма б) --- с его мнимой частью. Для нахождения $z + 2z^2+3z^3+\dots
% +nz^n$ рассмотрим произведение
% $$
% (1-z)(z + 2z^2+3z^3+\dots +nz^n),
% $$ 
% в котором, раскрывая скобки, получим
% $$
% \begin{array}{l}
% z + 2z^2+3z^3+\dots +nz^n - z^2-2z^3-\dots -(n-1)z^n-nz^{n+1} \\[0.5em]
% \qquad=z+z^2+z^3+\dots+z^n-nz^{n+1}\\[0.5em]
% \qquad= z\fracc{ 1-z^n}{1-z} - nz^{n+1}.
% \end{array}
% $$
% Следовательно,
% $$
% \begin{narrowarray}{lcl}
% z + 2z^2+3z^3+\dots+nz^n & = & \fracc{ z}{1-z}\left(\fracc{ 1-z^n}{1-z} - nz^n \right)\\[1em]
%                          & = & \fracc{z(1-z^n(1+n)+nz^{n+1})}{(1-z)^2}.
% \end{narrowarray}
% $$
% Для отделения мнимой и действительной части
% в последнем выражении удобно ввести величину $\zeta=\cos \fracc{ x}{2} + i
% \sin\fracc{ x}{2}$, заметив, что $\zeta^2 = z$. Итак,
% $$
% \begin{array}{l}
% z + 2z^2+3z^3+\dots+nz^n =\\[0.5em]
% \qquad= \fracc{1-z^n(1+n)+nz^{n+1}}{(\zeta^{-1}-\zeta)^2}
% = \fracc{1-z^n(1+n)+nz^{n+1}}{\left(-2i\sin \fracc{ x}{2}\right)^2} \\[0.5em]
% \qquad= \fracc{ 1-\left(\strut\cos nx+i\sin nx\right)(1+n)+n\left(\strut\cos (n+1)x+i\sin (n+1)x\right)}{-4\sin^2
% \fracc{ x}{2}}.
% \end{array}
% $$
% Выделяя действительную и мнимую части, соответственно получаем
% $$
% \begin{array}{l}
% \cos x +2\cos 2x + \dots+ n\cos nx 
%    =\fracc{ (n+1)\cos nx -n\cos (n+1)x -1}{4\sin^2\fracc{ x}{2}},\\[0.5em]
% \sin x +2\sin 2x + \dots+ n\sin nx 
%    =\fracc{ (n+1)\sin nx -n\sin (n+1)x}{4\sin^2\fracc{ x}{2}}.
% \end{array}
% $$
% \end{example}
% 
% \begin{exercize}
% Доказать, что
% 
% \begin{items}
% \item $\cos\fracc{\pi}{n}+\cos\fracc{3\pi}{n}+\dots+\cos\fracc{(2n-1)\pi}{n}=0$;
% 
% \item $\sin\fracc{\pi}{n}+\sin\fracc{3\pi}{n}+\dots+\sin\fracc{(2n-1)\pi}{n}=0$;
% 
% \item $\cos^n\fracc{\pi}{n}-\cos^n\fracc{2\pi}{n}+\dots+(-1)^{n-1}\cos^n\fracc{(n-1)\pi}{n}=\fracc{n}{2^{n-1}}$.
% \end{items}
% 
% \end{exercize}
% 
% \begin{example}
% Выразим $\sin^3 x$ через $\sin$ кратных углов.
% Пусть $z=\cos x + i \sin x$, тогда нетрудно проверить, что $\sin x =
% \fracc{ z-z^{-1}}{2i}$ и, следовательно, по формуле бинома Ньютона,
% $$
% \sin^3 x=\fracc{ z^3
% -3z^2z^{-1}+3zz^{-2}-z^{-3}}{-8i}=\fracc{ z^3-3z+3z^{-1}-z^{-3}}{-8i}.
% $$
% Подставляя вместо $z$ его выражение через $x$ и приводя подобные, получаем
% $$\sin^3 x = \fracc{ 3\sin x - \sin 3x}{4}.$$
% \end{example}
% 
% \begin{example}
% Выразим $\cos^4 x\cdot\sin^3 x$ через синусы кратных углов.
% Пусть $z=\cos x + i \sin x$, тогда $\cos x = \fracc{ z+z^{-1}}{2}$, $\sin x =
% \fracc{ z-z^{-1}}{2i}$ и, следовательно,
% $$
% \begin{array}{l}
%   \cos^4 x\cdot\sin^3 x
%     = \left( \fracc{z+z^{-1}}{2}  \right)^4
%       \left( \fracc{z-z^{-1}}{2i} \right)^3=\\[0.5em]
%     \qquad
%     = -\fracc{1}{128i}\left(z^2-z^{-2}\right)^3\left(z+z^{-1}\right)=\\[0.5em]
%     \qquad
%     =-\fracc{1}{128i}\left(z^6-3z^2+3z^{-2}-z^{-6}\right)\left(z+z^{-1}\right)=\\[0.5em]
%     \qquad
%     =
%     -\fracc{1}{128i}\left(z^7+z^5-3z^3-3z+3z^{-1}+3z^{-3}-z^{-5}-z^{-7}\right)=\\[0.5em]
%     \qquad
%     =
%     -\fracc{1}{128i}\left(z^7-z^{-7}+z^5-z^{-5}-3(z^3-z^{-3})-3(z-z^{-1})\right)=\\[0.5em]
%     \qquad
%     =-\fracc{1}{64}(\sin 7x + \sin 5x - 3\sin 3x -3\sin x).
% \end{array}
% $$
% \end{example}
% 
% \begin{exercize}
% Выразить через тригонометрические функции кратных углов:
% 
% а) $\sin^4 x$; \quad б) $\sin^3 x\cos^5 x$.
% 
%  \begin{sol}
%         а) $\fracc{\cos 4x -4\cos 2x +3}{8}$;
%         б) $\fracc{\sin 8x +2\sin 6x -2\sin 4x -6\sin 2x}{128}$.
%  \end{sol}
% \end{exercize}
% 
% %\begin{exercize}
% %Доказать, что
% %
% %\begin{items}
% %\item $\prod\limits_{k=1}^{n-1}\sin\fracc{\pi k}{2n}=\fracc{\sqrt{n}}{2^{n-1}}$;
% %
% %\item $\prod\limits_{k=1}^n \sin\fracc{\pi k}{2n+1}=\fracc{\sqrt{2n+1}}{2^n}$.
% %\end{items}
% %
% %\end{exercize}
% 
% 
% \begin{example}
% Вычислим
% \begin{items}
%   \item $1-{n\choose 2}+{n\choose 4}-{n\choose 6}+\dots $;
%   \item ${n\choose 1}-{n\choose 3}+{n\choose 5}-{n\choose 7}+\dots$.
% \end{items}
% Разлагая $(1+i)^n$ по формуле бинома Ньютона:
% $$
% (1+i)^n = 1 + {n \choose 1}i+{n \choose 2}i^2+{n\choose 3}i^3+\dots +{n
% \choose n}i^n,$$ видим, что выражение а) есть действительная часть
% числа $(1+i)^n$, тогда как б) --- его мнимая часть. Так как
% $$
% (1+i)^n =
% 2^{n/2}\left(\cos \fracc{ n\pi}{4} + i\sin\fracc{ n\pi}{4}\right),
% $$
% то
% 
% \begin{items}
% \item
%   $1-{n\choose 2}+{n\choose 4}-{n\choose 6}+\dots
%     = 2^{n/2}\cos\fracc{ n\pi}{4}$;
% 
% \item
%   ${n\choose 1}-{n\choose 3}+{n\choose 5}-{n\choose 7}+\dots
%        = 2^{n/2}\sin\fracc{ n\pi}{4}$.
% \end{items}
% 
% 
% \end{example}
% 
% \begin{exercize}\ 
% 
% \begin{items}
% \item Разложив $(1+1)^n$ по формуле бинома Ньютона, докажите, что
% $$
% {n \choose 0} + {n \choose 1} + {n \choose 2} + \dots + {n \choose n} = 2^n.
% $$
% \item Разложив $(1-1)^n$ по формуле бинома Ньютона, докажите, что
% $$
% {n \choose 0} + {n \choose 2} + {n \choose 4} + \dots =
% {n \choose 1} + {n \choose 3} + {n \choose 5} + \dots = 2^{n-1}.
% $$
% \end{items}
% \end{exercize}
% 
% \begin{example}
% Вычислим
% $$
% {n\choose 1}-\fracc{ 1}{3}{n\choose 3}+\fracc{ 1}{9}{n\choose 5}-\fracc{ 1}{27}{n\choose 7}+\dots
% $$
% Разложим $(1+i/\sqrt{3})^n$ по формуле бинома:
% $$
% \left(1+\fracc{ i}{\sqrt{3}}\right)^n =
% 1 + {n \choose 1}\fracc{
% i}{\sqrt{3}}+{n \choose 2}\fracc{ -1}{3}+{n\choose 3}\fracc{ -i}{3\sqrt{3}}
% +{n\choose 4}\fracc{ 1}{9}+{n\choose 5}\fracc{ i}{9\sqrt{3}}+\dots
% $$
% С другой стороны, по формуле Муавра:
% $$
% \left(1+\fracc{ i}{\sqrt{3}}\right)^n
% =\fracc{ 2^n}{3^{n/2}}\left(\cos\fracc{ n\pi}{6}+
% i \sin\fracc{ n\pi}{6} \right).
% $$
% Приравнивая мнимые части в обоих выражениях, получаем
% $$
% \fracc{ 1}{\sqrt{3}}\left({n\choose 1}-\fracc{ 1}{3}{n\choose
% 3}+\fracc{ 1}{9}{n\choose 5}-\fracc{ 1}{27}{n\choose 7}+\dots\right) =
% \fracc{ 2^n}{3^{n/2}}\sin\fracc{ n\pi}{6}.
% $$
% Отсюда
% $${n\choose 1}-\fracc{ 1}{3}{n\choose
% 3}+\fracc{ 1}{9}{n\choose 5}-\fracc{ 1}{27}{n\choose 7}+\dots =
% \fracc{ 2^n}{3^{(n-1)/2}}\sin\fracc{ n\pi}{6}.$$
% \end{example}
% 
% \begin{example}
% Вычислим $$ 1+{n\choose 3}+{n\choose 6}+\dots$$
% Рассмотрим выражение 
% $$
% (1+1)^n+(1+\varepsilon)^n + (1+\varepsilon ^2)^n, \tag{f_three_binom_trick}
% $$ 
% где
% $\varepsilon = \cos \fracc{ 2\pi}{3}+i\sin \fracc{ 2\pi}{3}$.
% Заметим, что $\varepsilon^3 = 1$.
% Раскладывая все три бинома и вынося за скобки общие биномиальные коэффициенты,
% получаем:
% $$
% \begin{narrowarray}{clclclc}
%          & {n\choose 0}(1+1+1) & + & {n\choose 1}(1+\varepsilon\phantom{^4}+\varepsilon^2)   & + & {n\choose 2}(1+\varepsilon^2+\varepsilon^4)   &  \\[0.5em]
%        + & {n\choose 3}(1+1+1) & + & {n\choose 4}(1+\varepsilon^4          +\varepsilon^8)   & + & {n\choose 5}(1+\varepsilon^5+\varepsilon^{10})& +\dots \\[0.5em]
% %        & \multicolumn{5}{l}{\dotfill} \\
%        \multicolumn{6}{c}{=3\left(1+{n\choose 3}+{n\choose 6}+\dots \right).}
% \end{narrowarray}
% $$
% С другой стороны,
% $$
% \begin{array}{l}
% (1+1)^n+(1+\varepsilon)^n + (1+\varepsilon ^2)^n = \\[0.5em]
% \qquad=2^n + \left( \cos \fracc{ \pi}{3} + i \sin \fracc{ \pi}{3}\right)^n+
% \left( \cos \fracc{ -\pi}{3} + i \sin \fracc{ -\pi}{3}\right)^n =\\[0.5em]
% \qquad=2^n+\cos \fracc{ n\pi}{3} +i\sin\fracc{ n\pi}{3} +
% \cos \fracc{ -n\pi}{3} +i\sin\fracc{ -n\pi}{3}.
% \end{array}
% $$
% Следовательно,
% $$1+{n\choose 3}+{n\choose 6}+\dots =
% \fracc{ 1}{3}\left(2^n + 2 \cos \fracc{ n\pi}{3} \right).$$
% \end{example}
% 
% \begin{exercize}
% Вычислить суммы:
% \begin{items}
% \item ${n\choose 0} + {n\choose 4} + {n\choose 8} + {n\choose 12}+\dots$
% 
% \item ${n\choose 1} + {n\choose 5} + {n\choose 9} + {n\choose 13}+\dots$
% 
% \item ${n\choose 1} - \fracc{1}{3}{n\choose 5} + \fracc{1}{9}{n\choose 9}+\dots$
% \end{items}
%  \begin{sol}
% \hint Подберите выражения, подобные (\ref{f_three_binom_trick}), включающие
% $4$ бинома.
%  \end{sol}
% \end{exercize}
% 
% \section{Показательная функция}
% 
% 
% Показательная функция от комплексного аргумента определяется
% по {\em формуле Эйлера}:
% $$
% e^{a+bi} = e^a (\cos b + i \sin b).
% $$
% Из нее, в частности, следует:
% $$
% \cos\varphi = \frac{e^{i\varphi}+e^{-i\varphi}}{2}, \qquad
% \sin\varphi = \frac{e^{i\varphi}-e^{-i\varphi}}{2i}.
% $$
% Тригонометрическая форма записи числа 
% $z=r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$ превращается теперь в
% $$
% z=r e^{i\varphi} = e^{\ln r + i \varphi}.
% $$
% Это делает естественным определение натурального логарифма,
% который определен с точностью до слагаемого $2k\pi i$:
% $$
% \mathop{\rm Ln} z = \ln r + i\varphi + 2k\pi i, \qquad  k\in \ZZ.
% $$
% 
% \begin{exercize}
% Доказать, что $\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\fracc{a+bi}{n}\right)^n = e^a (\cos b + i\sin b)$.
%   \begin{sol}
%      Обозначим $z_n=1+\fracc{a+bi}{n}$, $r_n=|z_n|$, $\varphi_n = \arg z_n$.
%      Найдем отдельно пределы последовательностей $|z_n^n|=r_n^n$ и $\arg(z_n^n)=n\varphi_n$.
%      Имеем
%      $r_n=\sqrt{\left(1+\fracc{a}{n}\right)^2 + \fracc{b}{n}^2}$, 
%      откуда, сводя ко второму замечательному пределу, получаем $r_n^n\to e^a$.
%      Далее имеем $\sin \varphi_n=\fracc{b}{n r_n}\to 0$,
%      поэтому можно считать, что $\varphi_n \to 0$,
%      откуда, используя первый замечательный предел,
%      получаем $n\varphi_n = \fracc{b \varphi_n}{r_n\sin \varphi_n}\to b$.
%   \end{sol}
% \end{exercize}
% 
% \begin{exercize}
% Во что превращается в свете формулы Эйлера правило сложения
% аргументов при умножении комплексных чисел? Тот же вопрос для формулы Муавра.
%   \begin{sol}
%     Правило сложения аргументов при умножении комплексных чисел превращается в правило сложения
%     показателей при умножении степеней с одинаковыми основаниями.
%     Формула Муавра превращается в правило возведения степени в степень.
%   \end{sol}
% \end{exercize}
% 
% \begin{exercize}
% Вычислить   \par
%   а) $e^{\pi i}$; \quad
%   б) $e^{\frac{\pi}{2} i}$; \quad
%   в) $e^{-\frac{\pi}{2} i}$.
%   \begin{sol}
%     а) $-1$; б) $i$; в) $-i$.
%   \end{sol}
% \end{exercize}
% 
% \begin{exercize}
% Найти все значения \par
%     а) $\mathop{\rm Ln} 1$; \quad
%     б) $\mathop{\rm Ln}(-1)$; \quad
%     в) $\mathop{\rm Ln}(1+i)$.
%   \begin{sol}
%     а)  $2k\pi i$; б) $\pi i + 2k\pi i$; в) $\fracc{1}{2}\ln 2 + \fracc{\pi i}{4} + 2k\pi i$.  
%   \end{sol}
% \end{exercize}
% 
% \begin{exercize}
% Пусть
% $-1\le x\le 1$.
% Найти  \par
%   а) $\mathop{\rm Ln} (x+i\sqrt{1-x^2})$, \quad 
%   б) $\mathop{\rm Ln} (\sqrt{1-x^2}+ix)$.
%   \begin{sol}
%      а) $i\arccos x + 2k\pi i$;
%      б) $i\arcsin x + 2k\pi i$.
%   \end{sol}
% \end{exercize}
% 
% \begin{exercize}
% Выразить $\mathop{\rm Arctg} z$ через логарифмическую функцию.
%   \begin{sol}
%      Имеем
%      $z=\tg \varphi = \fracc{\sin\varphi}{\cos\varphi}=\fracc{1}{i}\cdot\fracc{e^{i\varphi}-e^{-i\varphi}}{e^{i\varphi}+e^{-i\varphi}}$,
%      откуда находим $e^{2i\varphi}=\fracc{1+iz}{1-iz}$, поэтому
%      $\varphi = {\rm Arctg} z = \fracc{1}{2i} \mathop{\rm Ln}\fracc{1+iz}{1-iz}$.
%   \end{sol}
% \end{exercize}
% 
% 
% Let $A$ be any of these numerical sets.
% Numbers in $A$ can be added and multiplied,
% moreover the following statements hold:
% \begin{enumerate}
%   \item[(i)] if $a\in A$ and $b\in A$ then $a+b\in A$ 
%              (i.e. $A$ is {\em closed over operation $+$});
%   \item[(ii)] $a+b = b+a$ (addition is {\em commutative});
%   \item[(ii)] $a+(b+c) = (a+b)+c$ (addition is {\em associative}).
% \end{enumerate}
% Analogous properties hold for multiplication:
% \begin{enumerate}
%   \item[(i)] if $a\in A$ and $b\in A$ then $ab\in A$ 
%              (i.e. $A$ is {\em closed over operation $\times$});
%   \item[(ii)] $ab = ba$ (multiplication is {\em commutative});
%   \item[(ii)] $a(bc) = (ab)c$ (multiplication is {\em associative}).
% \end{enumerate}

\newslide

\section{Numerical rings and fields}

\pause
We will say that the numerical set $A\subseteq \CC$ 
is {\em closed} under addition
if for all $a$ and $b$ in $A$ their sum $a+b$ also is in $A$.
\pause
$$
\forall~ a \in A,~ \forall~ b \in A~ a+b\in A
$$

\pause 
Similarly the closeness under other arithmetic operations
is defined.

\pause
For example, the sets $\NN$, $\ZZ$, $\QQ$, $\RR$, $\CC$ are closed
under addition and multiplication.
\pause
The sets $\ZZ$, $\QQ$, $\RR$, $\CC$ are closed under subtraction.
\pause
The set $U_n$ of all values of the root of the $n$-th degree is closed under multiplication
and division.

% Множество $U_n$ всех значений корня $n$-й степени из единицы замкнуто относительно
% умножения и деления.

\newslide
Non-empty numerical set $K$ is called ({\em numerical})
{\em ring} if it is closed under
addition, subtraction and multiplication.

\pause
The set $\NN$ is closed under addition and multiplication, but
it is not closed under subtraction, hence {\em $\NN$ is not a ring}.

\pause
It is not hard to see that the sets {\em $\ZZ$, $\QQ$, $\RR$, $\CC$} are ring.
The set $\set{0}$ also is a ring. It is called {\em null-ring} or {\em trivial ring}.

\pause

\begin{proposition}
If $K$ is a ring then $0 \in K$.
\end{proposition}
\begin{proof}
Let $a \in K$. Since $K$ is closed under subtraction then
 $0 = a - a \in K$.
\end{proof}

\newslide

\begin{exercize}
Give an example of a ring which doesn't contain $1$.
\end{exercize}

\pause

Let $n\in\ZZ$ then
$$
n\ZZ = \set{nk:~ k\in \ZZ}
$$
(all numbers divisible by $n$) is a ring.

\pause

\begin{exercize}
Does the set of all even numbers form a ring?
\pause
Does the set of all odd numbers form a ring?
\end{exercize}

\newslide

A numerical ring $F$ is called ({\em numerical}) {\em field}, 
if the set of their non-zero elements is not empty and closed relatively
to division. 

\pause
The set $\ZZ$ is not field, while
$\QQ$ and $\RR$ are fields: 
in $\QQ$ and $\RR$ the division by non-zero elemet is possible 
and doesn't lead outside the set.

\newslide

In fact, any numerical field contains $\QQ$.

\begin{proposition}
If $F$ is numerical field then $\QQ \subseteq F$.
\end{proposition}
\pause

\begin{proof}
By definition of a field, $0 \in F$ and $a \in F$ where $a\ne 0$.

\pause 
Since $F\subset\set{0}$ is closed under division then
$1=a/a \in F$. 

\pause
Further, using that $F$ is closed under addition
we obtain that numbers $2=1+1$, $3=1+1+1$ and so on belongs to $F$, 
hence $\NN \subseteq F$.

\pause 
Also, it is true that $-1 = 0-1 \in F$, $-2 = 0-2 \in F$, $\dots$.

\pause
Thus, $\ZZ \subseteq F$.

\pause 
Finally, numbers $\fracc{ p}{q}$ are in $F$ too
for all $p \in \NN$, $q \in \ZZ$, hence $\QQ \subseteq F$.
\end{proof}

\newslide

\begin{example}
Consider the set of numbers of the form $\alpha + \beta \sqrt{3}$, where $\alpha \in
\ZZ$, $\beta \in \ZZ$. 
\pause
The set is a ring but it is not a field.
\pause
Now let $\alpha \in \QQ$, $\beta \in \QQ$, then the set is a field:
it is closed under division since
$$
\begin{array}{l}
  \fracc{ \alpha + \beta \sqrt{3}}{\gamma + \delta \sqrt{3}} ~=~
   \fracc{ (\alpha + \beta \sqrt{3})(\gamma - \delta \sqrt{3})}
    {(\gamma + \delta \sqrt{3})(\gamma - \delta \sqrt{3})} ~=~
    \fracc{ \alpha\gamma - 3 \beta\delta}{\gamma ^2 - 3\delta^2}
   +\fracc{-\alpha\delta +   \beta\gamma}{\gamma ^2 - 3\delta^2}\sqrt{3}.
\end{array}
\tag{foiz}
$$
\pause
Notice that the equality  $\gamma +
\delta \sqrt{3}=0$ is possible only if $\gamma = 0$ and $\delta = 0$.
\pause
Indeed, if $\gamma + \delta \sqrt{3}=0$ and $\gamma = 0$, then $\delta =
0$. If $\gamma + \delta \sqrt{3}=0$ and $\delta \ne 0$, then $\sqrt{3} =
-\fracc{ \gamma}{\delta}$, that is impossible since $\sqrt{3}$ is irrational
number. 
\pause
Finally, $\gamma + \delta \sqrt{3} \ne 0$, analogously, $\gamma
-\delta \sqrt{3} \ne 0$, and consequantly multiplying
the numerator and the denominator of the fraction by 
$\gamma -\delta \sqrt{3}$ in (\ref{foiz}) is possible. 
% 
% Выкладки в (\ref{foiz}) есть ни
% что иное как {\em освобождение от иррациональности в знаменателе}, в идейном
% плане ничем не отличающееся от процедуры деления комплексных чисел с помощью
% домножения на сопряженное к знаменателю.
\pause
These calculations are similar to the procedure of division of complex numbers
(multiplication by conjugate number).
\end{example}

\newslide



\chapter{Systems of Linear Equations}

\newslide

\section{Examples and definitions}

$$
\left\{
\begin{narrowarray}{rcrcrcl}
     2x &  + &  3y & + &   z &  = & 1,\\
     4x &  + &  6y & + &   z &  = & 0,\\
     2x &  - &  3y & + &  2z &  = & 2
\end{narrowarray}
\right.
$$

\pause
--- $3$ equations and $3$ {\em unknowns} $x$, $y$, $z$.

\newslide

$$
\left\{
  \begin{narrowarray}{rcrcrcrcrcr}
     x_1 & + & 2x_2 & - &  x_3 &   &      & + & x_5 & =  & 1;\\
    3x_1 & + & 4x_2 & - &  x_3 & + & 2x_4 & - & x_5 & =  & 1;\\
    4x_1 & + & 6x_2 & - & 2x_3 & + & 2x_4 &   &     & =  & 2;\\
     x_1 & + & 2x_2 & - &  x_3 & + &  x_4 & + & x_5 & =  & 0.
  \end{narrowarray}
\right.
$$

\pause

--- $4$ equations and $5$ unknowns $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$, $x_5$.

\pause
Notice that the number of equations in this system is not equal to the number of unknowns.

\pause

 
$$
  x_1 + 2x_2 - 3x_3 + x_4 = 1
$$

--- the system consisting of the only equation.

\newslide

Let $F$ be a field.

\pause

A {\em system of $m$ linear equations in $n$ unknowns} $x_1, x_2, \dots, x_n$ is a family
of linear equations
$$
\left\{
\begin{narrowarray}{rcrcccrcr}
a_{11} x_1 & + & a_{12} x_2 & + & \dots & + & a_{1n} x_n & = & b_1,\\
a_{21} x_1 & + & a_{22} x_2 & + & \dots & + & a_{2n} x_n & = & b_2,\\
\multicolumn{9}{c}{\dotfill}                                       \\
a_{m1} x_1 & + & a_{m2} x_2 & + & \dots & + & a_{mn} x_n & = & b_m,
\end{narrowarray}
\right.
$$
where $a_{ij}\in F$, $b_i\in F$ ($i=1,2,\dots,m$, $j=1,2,\dots,n$).

\pause
$a_{ij}$, $b_i$ are called {\em coefficients} of the system,

$x_j$ are called {\em unknowns} or {\em variables}.

\newslide

({\em Partial}\,) {\em solution} of the system is an ordered collection 
of numbers $(x_1,x_2,\dots,x_n)$, $x_j\in F$ ($j=1,2,\dots,n$)
which satisfy each of the equations
simultaneously.

\pause 

We say that the system is {\em consistent} if it has a solution.
Otherwise the system is called {\em inconsistent}.



\newslide

{\bf Example.}
The system
$$
\left\{
\begin{narrowarray}{rcrcrcr}
5x & + & y & - &  z & = & 14,\\
2x & + & y & + & 3z & = & 4,\\
\end{narrowarray}
\right.
$$
has a partial solution $(2, 3, -1)$, i.\,e. $x=2$, $y=3$, $z=-1$.
So the system is consistent.

\pause

Another solution is $(1, 29/4, -7/4)$

\pause

Are there other solutions to the system?

\pause

(Yes! It has infinitely many solutions.)

\newpage

{\bf Example.}
The system
$$
\left\{
\begin{narrowarray}{rcrcrcr}
2x & + & y & - &  z & = & 1,\\
2x & + & y & - &  z & = & -1,\\
\end{narrowarray}
\right.
$$
has no solution. It is inconsistent.



\newpage

The problem is 
\begin{enumerate}
  \item to determine if such a system has a solution,
  \item to find all solutions of the system.
\end{enumerate}

\newslide

% $$
% \left\{
% \begin{narrowarray}{rcrcccrcr}
% a_{11} x_1 & + & a_{12} x_2 & + & \dots & + & a_{1n} x_n & = & b_1;\\
% a_{21} x_1 & + & a_{22} x_2 & + & \dots & + & a_{2n} x_n & = & b_2;\\
% \multicolumn{9}{c}{\dotfill}                                       \\
% a_{m1} x_1 & + & a_{m2} x_2 & + & \dots & + & a_{mn} x_n & = & b_m,
% \end{narrowarray}
% \right.
% $$

The matrix 
$$
\left(
\begin{array}{cccc}
  a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\
  a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\
  \multicolumn{4}{c}{\dotfill} \\
  a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \\
\end{array}
\right)
$$
is called the {\em coefficient matrix} of the system.

The matrix 
$$
\left(
\begin{array}{ccccc}
  a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} & b_1 \\
  a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} & b_2 \\
  \multicolumn{5}{c}{\dotfill}             \\
  a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} & b_m \\
\end{array}
\right)
$$
is called the {\em augmented} (or {\em enlarged}) {\em matrix} of the system.


\section{Equivalent systems of linear equations}

Two systems with the same number of equations
are {\em equivalent} if and only if they have the same set of solutions.

Let's define some basic actions by wich a system is transformed in an equivalent system. 

{\bf Elementary operations on the system:}

\begin{enumerate}
  \item[1.] Interchange two equations. 
  \item[2.] Multiply one of the equations with a number $\alpha\in F$, $\alpha\ne 0$.
  \item[3.] Multiply one of the equations with a number $\alpha$, 
            and add the result to another equation, 
            leaving the original equation unchanged. 
\end{enumerate}

\newslide

\section{The Gauss--Jordan method}

The main idea is consecutive eliminating of unknowns
by means of the elementary operations on the system.

\pause

{\em Example}

$$
\left\{
\begin{narrowarray}{rcrcrcr}
     2x &  + &  3y & + &   z &  = & 0,\\
     4x &  + &  6y & + &   z &  = &-2,\\
     2x &  - &  3y & + &  2z &  = & 2
\end{narrowarray}
\right.
$$

\pause
Multiply the first equation by $1/2$ (i.\,e. divide it by $2$):

\pause
$$
\left\{
\begin{narrowarray}{rcrcrcl}
      x &  + & \fracc{3}{2}\, y & + & \fracc{1}{2}\, z &  = & 0,\\
     4x &  + &  6y & + &   z &  = & -2,\\
     2x &  - &  3y & + &  2z &  = & 2
\end{narrowarray}
\right.
$$

\pause
Now add the first equation multiplied by $-4$ to the second one 
(i.\,e. subtract the first equation multiplied by $4$ from the second one):
$$
\left\{
\begin{narrowarray}{rcrcrcl}
      x &  + & \fracc{3}{2} y & + & \fracc{1}{2} z &  = & 0,\\
        &    &                & - &              z &  = & -2,\\
     2x &  - &             3y & + &             2z &  = & \phantom{+}2
\end{narrowarray}
\right.
$$

\pause
We eliminated the unknown $x$ (and occasionaly $y$) from the second equation.

\newslide

Now add the first equation multiplied by $-2$ to the third one:
(i.\,e. subtract the first equation multiplied by $2$ from the third one):

\pause

$$
\left\{
\begin{narrowarray}{rcrcrcl}
      x &  + & \fracc{3}{2} y & + & \fracc{1}{2} z &  = & 0,\\
        &    &                & - &              z &  = & -2,\\
        &  - &             6y & + &              z &  = & \phantom{+}2
\end{narrowarray}
\right.
$$
We eliminated the unknown $x$ (and occasionaly $y$) from the third equation.

\newslide

Interchange the second and the third equations:
\pause

$$
\left\{
\begin{narrowarray}{rcrcrcl}
      x &  + & \fracc{3}{2} y & + & \fracc{1}{2} z &  = & 0,\\
        &  - &             6y & + &              z &  = & \phantom{+}2, \\
        &    &                & - &              z &  = & -2\\
\end{narrowarray}
\right.
$$

\pause

Multiply the second equation by $-1/6$:
\pause

$$
\left\{
\begin{narrowarray}{rcrcrcl}
      x &  + & \fracc{3}{2} y & + & \fracc{1}{2} z &  = & 0,\\
        &    &              y & - & \fracc{1}{6} z &  = & -\fracc{1}{3}, \\
        &    &                & - &              z &  = & -2\\
\end{narrowarray}
\right.
$$

\newslide
Add the second equation multiplied by $-3/2$ to the first one:

\pause

$$
\left\{
\begin{narrowarray}{rcrcrcl}
      x &    &                & + & \fracc{3}{4} z &  = & \phantom{+}\fracc{1}{2},\\
        &    &              y & - & \fracc{1}{6} z &  = & -\fracc{1}{3}, \\
        &    &                & - &              z &  = & -2\\
\end{narrowarray}
\right.
$$
We eliminated $y$ from the first equation.

\pause

Multiply the third equation by $-1$:

\pause

$$
\left\{
\begin{narrowarray}{rcrcrcl}
      x &    &                & + & \fracc{3}{4} z &  = & \phantom{+}\fracc{1}{2},\\
        &    &              y & - & \fracc{1}{6} z &  = & -\fracc{1}{3}, \\
        &    &                &   &              z &  = & \phantom{+}2\\
\end{narrowarray}
\right.
$$

\newslide

Add the third equation multiplied by $-3/4$ to the first one:

\pause

$$
\left\{
\begin{narrowarray}{rcrcrcl}
      x &    &                &   &                &  = & -1,\\
        &    &              y & - & \fracc{1}{6} z &  = & -\fracc{1}{3}, \\
        &    &                &   &              z &  = & \phantom{+}2\\
\end{narrowarray}
\right.
$$
We eliminated $z$ from the first equation.

\pause

Add the third equation multiplied by $1/6$ to the second one:

\pause

$$
\left\{
\begin{narrowarray}{rcrcrcr}
      x &    &                &   &                &  = & -1,\\
        &    &              y &   &                &  = & 0, \\
        &    &                &   &              z &  = & 2.\\
\end{narrowarray}
\right.
$$
We eliminated $z$ from the first equation.

This system is equivalent to the final system. So the (unique) solution is
$(-1,0,2)$. It can be verified by substituting it into the original system.

\newpage

% It is convinient to perform all operations with augmented matrix:
% 
% $$
% \left\{
% \begin{narrowarray}{rcrcrcr}
%      2x &  + &  3y & + &   z &  = & 0,\\
%      4x &  + &  6y & + &   z &  = &-2,\\
%      2x &  - &  3y & + &  2z &  = & 2
% \end{narrowarray}
% \right.
% \quad
% \begin{array}{l}
%    R_1 \leftarrow \fracc{1}{2} R_1 \\
%    R_2 \leftarrow R_2 - 4\cdot R_1 \\
%    R_3 \leftarrow R_3 - 2\cdot R_1 \\
% \end{array}
% \quad
% \left\{
% \begin{narrowarray}{rcrcrcl}
%       x &  + & \fracc{3}{2} y & + & \fracc{1}{2} z &  = & 0,\\
%         &    &                & - &              z &  = & -2,\\
%         &  - &             6y & + &              z &  = & \phantom{+}2
% \end{narrowarray}
% \right.
% $$
% $$
% \quad
% \begin{array}{l}
%    R_2 \leftrightarrow R_3 \\
% \end{array}
% \quad
% \left\{
% \begin{narrowarray}{rcrcrcl}
%       x &  + & \fracc{3}{2} y & + & \fracc{1}{2} z &  = & 0,\\
%         &  - &             6y & + &              z &  = & \phantom{+}2, \\
%         &    &                & - &              z &  = & -2\\
% \end{narrowarray}
% \right.
% \quad
% \begin{array}{l}
%    R_2 \leftarrow -\fracc{1}{6} R_2 \\
%    R_1 \leftarrow R_1 - \fracc{3}{2}\cdot R_2 \\
% \end{array}
% \quad
% $$
% $$
% \left\{
% \begin{narrowarray}{rcrcrcl}
%       x &    &                & + & \fracc{3}{4} z &  = & \phantom{+}\fracc{1}{2},\\
%         &    &              y & - & \fracc{1}{6} z &  = & -\fracc{1}{3}, \\
%         &    &                & - &              z &  = & -2\\
% \end{narrowarray}
% \right.
% \quad
% \begin{array}{l}
%    R_3 \leftarrow - R_3 \\
%    R_1 \leftarrow R_1 - \fracc{1}{6}\cdot R_3 \\
%    R_2 \leftarrow R_2 - \fracc{3}{4}\cdot R_3 \\
% \end{array}
% \quad
% \left\{
% \begin{narrowarray}{rcrcrcr}
%       x &    &                &   &                &  = & -1,\\
%         &    &              y &   &                &  = & 0, \\
%         &    &                &   &              z &  = & 2.\\
% \end{narrowarray}
% \right.
% $$
% 
% \newslide

It is convinient to perform all operations with augmented matrix.

\pause

Elementary operation on the system are equivalent to the following
operations on the augmented matrix:

\pause

\begin{enumerate}
  \item[1.] Interchanging two rows:
            $R_i \leftrightarrow R_j$ interchanges $i$-th and $j$-th rows.

  \item[2.] Multiplying a row by a non-zero number.
            $R_i \leftarrow \alpha R_i$ multiplies $i$-th row by the non-zero number $\alpha$.

  \item[3.] Adding a multiple of one row to another row.
            $R_j \leftarrow R_j + \alpha R_i$ adds $\alpha$ times $i$-th row to $j$-th row.
\end{enumerate}

\newpage

$$
\left(
\begin{array}{rrr|r}
     2 &   3 &   1 &  0\\
     4 &   6 &   1 & -2\\
     2 &  -3 &   2 &  2
\end{array}
\right)
\quad
\begin{array}{l}
   R_1 \leftarrow \fracc{1}{2} R_1 \\
   R_2 \leftarrow R_2 - 4\cdot R_1 \\
   R_3 \leftarrow R_3 - 2\cdot R_1 \\
\end{array}
\quad
\left(
\begin{array}{rrr|r}
      1 &  \fraccc{3}{2} &  \fraccc{1}{2}  & 0\\
        &                &      -1         & -2\\
        &       -6       &       1         & \phantom{+}2
\end{array}
\right)
$$
$$
\begin{array}{l}
   R_2 \leftrightarrow R_3 \\
\end{array}
\quad
\left(
\begin{array}{rrr|r}
    1 & \fraccc{3}{2} & \fraccc{1}{2} & 0 \\
      & -6            & 1             & 2 \\
    0 &  0            & -1            & -2
\end{array}
\right)
\quad
\begin{array}{l}
   R_2 \leftarrow -\fracc{1}{6} R_2 \\
   R_1 \leftarrow R_1 - \fracc{3}{2}\cdot R_2 \\
\end{array}
$$
$$
\left(
\begin{array}{rrr|r}
    1 & 0 & \fraccc{3}{4} & \fraccc{1}{2} \\
    0 & 1 &-\fraccc{1}{6} & -\fraccc{1}{3} \\
    0 & 0 & -1            & -2
\end{array}
\right)
\quad
\begin{array}{l}
   R_3 \leftarrow - R_3 \\
   R_1 \leftarrow R_1 - \fracc{3}{4}\cdot R_3 \\
   R_2 \leftarrow R_2 + \fracc{1}{6}\cdot R_3 \\
\end{array}
\quad
\left(
\begin{array}{rrr|r}
       1 & 0 & 0 & -1 \\
       0 & 1 & 0 &  0 \\
       0 & 0 & 1 &  2 \\
\end{array}
\right)
$$

{\em Example 2.}

$$
\left\{
  \begin{narrowarray}{rcrcrcrcrcr}
     x_1 & + & 2x_2 & - &  x_3 &   &      & + & x_5 & =  & 1;\\
    3x_1 & + & 4x_2 & - &  x_3 & + & 2x_4 & - & x_5 & =  & 1;\\
    4x_1 & + & 6x_2 & - & 2x_3 & + & 2x_4 &   &     & =  & 2;\\
     x_1 & + & 2x_2 & - &  x_3 & + &  x_4 & + & x_5 & =  & 0.
  \end{narrowarray}
\right.
\tag{f123u1}
$$
Augmented matrix:
$$
\left(
  \begin{array}{rrrrr|r}
    1 &  2 & -1 &  0 &  1 &  1  \\
    3 &  4 & -1 &  2 & -1 &  1  \\
    4 &  6 & -2 &  2 &  0 &  2  \\
    1 &  2 & -1 &  1 &  1 &  0  \\
  \end{array}
\right).
$$
$$
\begin{array}{l}
   R_2 = R_2 - 3 R_1 \\
   R_3 = R_3 - 4 R_1 \\
   R_4 = R_4 -   R_1 \\
\end{array}
$$
$$
\left(
  \begin{array}{rrrrr|r}
    1 &  2 & -1 &  0 &  1 &  1  \\
    0 & -2 &  2 &  2 & -4 & -2  \\
    0 & -2 &  2 &  2 & -4 & -2  \\
    0 &  0 &  0 &  1 &  0 & -1  \\
  \end{array}
\right).
$$
$$
\begin{array}{l}
   R_2 = -\fracc{1}{2} R_2 \\
   R_1 = R_1 - 2 R_2 \\
   R_3 = R_3 + 2 R_2 \\
\end{array}
$$
$$
\left(
  \begin{array}{rrrrr|r}
    1 &  0 &  1 &  2 & -3 & -1  \\
    0 &  1 & -1 & -1 &  2 &  1  \\
    0 &  0 &  0 &  0 &  0 &  0  \\
    0 &  0 &  0 &  1 &  0 & -1  \\
  \end{array}
\right).
$$
$$
\begin{array}{l}
   R_1 = R_1 - 2 R_4 \\
   R_2 = R_2 +   R_4 \\
   R_3 \leftrightarrow R_4 \\
\end{array}
$$
$$
\left(
  \begin{array}{rrrrr|r}
    1 &  0 &  1 &  0 & -3 &  1  \\
    0 &  1 & -1 &  0 &  2 &  0  \\
    0 &  0 &  0 &  1 &  0 & -1  \\
    0 &  0 &  0 &  0 &  0 &  0  \\
  \end{array}
\right).
$$

\pause
Thus the original system of linear equations is equvalent to the following system:
$$
\left\{
  \begin{narrowarray}{rcrcrcrcrcr}
    x_1 &      &  + & x_3  &      & -& 3x_5 & = &  1;  \\
        &  x_2 &  - & x_3  &      & +& 2x_5 & = &  0;  \\
        &      &    &      & x_4  &  &      & = & -1;  \\
        &      &    &      &      &  &    0 & = &  0.  \\
  \end{narrowarray}
\right.
$$

\newslide
Express $x_1$, $x_2$, $x_4$ in terms of $x_3$, $x_5$:
$$
  \begin{narrowarray}{rcrcrcr}
    x_1 & = &  1 & - & x_3 & + &  3x_5; \\
    x_2 & = &  0 & + & x_3 & - &  2x_5; \\
    x_4 & = & -1                        \\
  \end{narrowarray}
$$

\pause

It is not hard to see that for any
values of $x_3$, $x_5$ ({\em independent unknowns}) 
there exist values for $x_1$, $x_2$, $x_4$ ({\em dependent unknowns}), 
such that all equations of the final and original systems turn into
valid equalities. So the general solution of the system can be written as
$$
  \begin{narrowarray}{rcrclcr}
    x_1 & = &  1 &  -& t_1 & +& 3t_2;\\
    x_2 & = &    &   & t_1 & -& 2t_2;\\
    x_3 & = &    &   & t_1;&  &      \\
    x_4 & = & -1 &   &     &  &      \\
    x_5 & = &    &   &     &  &  t_2,\\
  \end{narrowarray}
\qquad \mbox{where $t_1$, $t_2$ are arbitrary numbers.}
$$

\pause

Notice that in the general case the form of the answer is not unique.

\pause

\begin{exercize}
Solve the following systems:
$$
\left\{
\begin{narrowarray}{l}
   x + y = 2,\\
   x - y = 3,
\end{narrowarray}
\right.
\qquad
\left\{
\begin{narrowarray}{l}
   2x + y - 3z = -9,\\
   x  - y      = 3,\\
   x       + z = 4,
\end{narrowarray}
\right.
$$
$$
\left\{
\begin{narrowarray}{l}
       2x_1     +       3x_2     +       2x_3      +      3x_4  =    10,\\
      -2x_1     +       2x_2     +       3x_3      +       x_4  =     4,\\
                        5x_2     +       5x_3      -      2x_4  =     8,
\end{narrowarray}
\right.
\qquad
\left\{
\begin{narrowarray}{l}
       2x+ 3y-z = 1,
\end{narrowarray}
\right.
$$ $$ 
\left\{
\begin{narrowarray}{l}
       2x      +     y     =        1,\\
      -2x      +    2y     =        3,\\
                    3y     =        2.
\end{narrowarray}
\right.
$$
\end{exercize}



% Divide the first equation by $2$.
% Subtract the first equation multiplied by $4$ from the second one.
% Subtract the first equation multiplied by $2$ from the third one:
% $$
% \left(
% \begin{array}{rrr|r}
%       1 &  \fraccc{3}{2} &  \fraccc{1}{2}  & 0\\
%         &                &      -1         & -2\\
%         &       -6       &       1         & \phantom{+}2
% \end{array}
% \right)
% $$
% We eliminated the unknown $x$ from all equations except the first one.
% 
% Interchange the second and the third equations:
% $$
% \left(
% \begin{array}{rrr|r}
%     1 & \fraccc{3}{2} & \fraccc{1}{2} & 0 \\
%       & -6            & 1             & 2 \\
%     0 &  0            & -1            & -2
% \end{array}
% \right)
% $$
% 
% Divide the second equation by $-6$:
% Subtract the second equation multiplied by $3/2$ from the first one:
% $$
% \left(
% \begin{array}{rrr|r}
%     1 & 0 & \fraccc{3}{4} & \fraccc{1}{2} \\
%     0 & 1 &-\fraccc{1}{6} & -\fraccc{1}{3} \\
%     0 & 0 & -1            & -2
% \end{array}
% \right)
% $$
% We eliminated $y$ from the  all equations except the first one.
% 
% Multiply the third equation by $-1$:
% Subtract the third equation multiplied by $3/4$ from the first one:
% Add the third equation multiplied by $1/6$ to the second one:
% $$
% \left(
% \begin{array}{rrr|r}
%        1 & 0 & 0 & -1 \\
%        0 & 1 & 0 &  0 \\
%        0 & 0 & 1 &  2 \\
% \end{array}
% \right)
% $$

\section{Reduced row-echelon form}

We say that a matrix is in {\em row-echelon form} (r.e.f.) if
\begin{enumerate}
  \item[1.] all zero rows (if any) are at the bottom of the matrix and
  \item[2.] if two successive rows are non-zero, the second row starts with more
            zeros than the first (moving from left to right).
\end{enumerate}

$
\left(
\begin{array}{cccccc}
  0 & 0 & 3 & 0 & 2 & 1 \\
  0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 1 \\
  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{array}
\right)
$ is in row-echelon form \\
$
\left(
\begin{array}{cccccc}
  0 & 0 & 3 & 0 & 2 & 1 \\
  0 & 0 & 2 & 2 & 0 & 1 \\
  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right)
$ is not in row-echelon form

\newslide

We say that a matrix is in {\em reduced row-echelon form} (r.r.e.f.) if
\begin{enumerate}
  \item[1.] it is in row-echelon form,
  \item[2.] the leading (leftmost non-zero) entry in each non-zero row is $1$,
  \item[3.] all other elements of the column in which the leading entry $1$ occurs are zeros.
\end{enumerate}

\pause

$
\left(
\begin{array}{cccccc}
  0 & 0 & 1 & 0 & 2 & 0 \\
  0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{array}
\right)
$ is in reduced row-echelon form \\
$
\left(
\begin{array}{cccccc}
  0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 1 \\
  0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 1 \\
  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right)
$ is not in reduced row-echelon form

\newslide

If a matrix is in reduced row-echelon form, we denote
the column numbers in which the leading entries $1$ occur, by $j_1, j_2, \dots, j_r$,
where $r$ is the number of non-zero rows. 

\pause

For example, in the $4\times 6$ matrix 
$$
\left(
\begin{array}{cccccc}
  0 & 0 & 1 & 0 & 2 & 0 \\
  0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{array}
\right)
$$
we have
$$
r = 3; ~c_1 = 3, ~c_2 = 4, ~c_3 = 6.
$$



\newslide

Gauss--Jordan algorithm starts with a given matrix $A$ 
and produces a matrix $B$ in reduced row-echelon form
by means of elementary row operations. 

\pause

If $A$ is the augmented matrix
of a system of linear equations, then $B$ will be a much simpler matrix than
$A$

\pause

From $A$ the consistency or inconsistency of the corresponding system
is apparent and the complete solution of the system can be read off.

\newslide

\begin{enumerate}
  \item[Case 1:] For the last non-zero row of $B$ is $(0, 0, \dots, 0, 1)$
                 and the corresponding equation is
                 $0x_1 + 0x_2 + \dots + 0x_n = 1$
                 which has no solutions. Consequently the original system has no solutions.
  \item[Case 2:] The leading entry of the last non-zero row is not in the last column.
                 The system of equations is consistent.
\end{enumerate}

\newslide

{$$ \renewcommand{\star}{*}\newcommand{\zz}{ }
B=
\left(
  \begin{array}{ccccccccccccccc}
      0   & \dots &    0   & 1 & \star & \dots & \star & 0 & \star & \dots & \star & 0 & \star & \dots & \star \\
      0   & \dots &    0   & 0 &   0   & \dots &   0   & 1 & \star & \dots & \star & 0 & \star & \dots & \star \\
\multicolumn{15}{c}{\dotfill} \\
      0   & \dots &    0   & 0 &   0   & \dots &   0   & 0 &   0   & \dots &   0   & 1 & \star & \dots & \star \\
      0   & \dots &    0   & 0 &   0   & \dots &   0   & 0 &   0   & \dots &   0   & 0 &  0    & \dots &   0   \\
\multicolumn{15}{c}{\dotfill} \\
      0   & \dots &    0   & 0 &   0   & \dots &   0   & 0 &   0   & \dots &   0   & 0 &  0    & \dots &   0   \\
  \end{array}
\right)
$$}%

Express unknowns $x_{j_1}, \dots , x_{j_r}$ 
in terms of remaining unknowns:
$$
\begin{array}{l}
x_{j_1} = c_{11}x_{k_1} + \dots + c_{1n-r}x_{k_{n-r}}, \\
x_{j_2} = c_{21}x_{k_1} + \dots + c_{2n-r}x_{k_{n-r}}, \\
\dotfill \\
x_{j_r} = c_{r1}x_{k_1} + \dots + c_{1n-r}x_{k_{n-r}}, \\
\end{array}
 \tag{fcommonsolutionlineq} 
$$
where $\set{j_1,\dots,j_r}\cup\set{k_1,\dots,k_{n-r}}=\set{1,2,\dots,n}$.

\pause

$x_{k_1},\dots,x_{k_{n-r}}$ are called {\em independent unknowns},

\pause
$x_{j_1},\dots,x_{j_r}$ are called {\em dependent unknowns}.
which can take on arbitrary values:

$$
\begin{narrowarray}{lcrcrcccr}
x_{j_1} & = & c_{10} & + & c_{11}t_1   &  + & \dots & + & c_{1n-r}t_{n-r}, \\
x_{j_2} & = & c_{20} & + & c_{21}t_1   &  + & \dots & + & c_{2n-r}t_{n-r}, \\
\multicolumn{9}{l}{\dotfill}                                               \\
x_{j_r} & = & c_{r0} & + & c_{r1}t_1   &  + & \dots & + & c_{1n-r}t_{n-r}, \\
x_{k_1} & = &        &   &       t_1,  &    &       &   &                  \\
\multicolumn{9}{l}{\dotfill}                                               \\
\multicolumn{5}{l}{x_{k_{n-r}} =}      &    &       &   &         t_{n-r}, \\
\end{narrowarray}
\tag{fcommonsol1}
$$
where $t_1,\dots,t_{n-r}$ are arbitrary numbers in $F$.

\pause

If $n=r$ then the solution is unique.

\newslide

\section{Arithmetic space} \label{sectArithmeticSpace}

Let's consider an ordered collection of $n$ numbers in $F$ written in a column:
$$
a=
\left(
\begin{array}{c}
   \alpha_1 \\
   \alpha_2 \\
     \vdots \\
   \alpha_n \\
\end{array}
\right).
$$

\pause

$a$ is called a {\em vector} (or {\em column-vector}) of height $n$.

\pause

The set of columns of height $n$ is called the {$n$-dimensional arithmetic space}
and denoted as $F^n$.

\pause

$\QQ^n$ is the rational arithmetic space,
$\RR^n$ is the real arithmetic space\\
$\ZZ^n$ is the complex arithmetic space\\

\newslide

Let's introduce the following operations:

\pause

{\em Summation} $a+b$ of two vectors $a$ and $b$
$$
a + b =
\left(
\begin{array}{c}
   \alpha_1 \\
   \alpha_2 \\
     \vdots \\
   \alpha_n \\
\end{array}
\right)
+
\left(
\begin{array}{c}
   \beta_1  \\
   \beta_2  \\
     \vdots \\
   \beta_n  \\
\end{array}
\right)
= 
\left(
\begin{array}{c}
   \alpha_1 + \beta_1 \\
   \alpha_2 + \beta_2 \\
     \vdots           \\
   \alpha_n + \beta_n \\
\end{array}
\right).
$$

\pause
{Multiplication} a vector $a$ with a scalar $\alpha$:
$$
\alpha a =
\alpha
\left(
\begin{array}{c}
   \alpha_1 \\
   \alpha_2 \\
     \vdots \\
   \alpha_n \\
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{c}
   \alpha\alpha_1 \\
   \alpha\alpha_2 \\
     \vdots \\
   \alpha\alpha_n \\
\end{array}
\right)
$$

\newslide

For example,
$$
\left(
\begin{array}{r}
   1 \\
   2 \\
  -3 \\
   2 \\
\end{array}
\right)
+
\left(
\begin{array}{c}
   0 \\
   2 \\
   3 \\
   1 \\
\end{array}
\right)
= 
\left(
\begin{array}{c}
   1 \\
   4 \\
   0 \\
   3 \\
\end{array}
\right).
$$

\pause
{Multiplication} a vector $a$ with a scalar $\alpha$:
$$
3 \cdot
\left(
\begin{array}{r}
   3 \\
   1 \\
   4 \\
  -2 \\
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{r}
   9 \\
   3 \\
  12 \\
  -6 \\
\end{array}
\right)
$$



\newslide
Now the formulae \Ref{fcommonsol1}
can be written in {\em column-wise} notation.
\pause
For simplicity let's assume that $j_1 = 1,\dots,j_r = r$
(this can be attained by renumbering of unknowns).

$$
\left(
  \begin{array}{c}
    x_1\\ x_2 \\ \vdots \\ x_r \\ x_{r+1} \\ x_{r+2} \\ \vdots \\ x_n
  \end{array}
\right)
  =
\left(
  \begin{array}{c}
    c_{10}\\ c_{20} \\ \vdots \\ c_{r0} \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0
  \end{array}
\right)
  + t_1 \cdot
\left(
  \begin{array}{c}
    c_{11}\\ c_{21} \\ \vdots \\ c_{r1} \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0
  \end{array}
\right)
%   + t_2 \cdot
% \left(
%   \begin{array}{c}
%     c_{12}\\ c_{22} \\ \vdots \\ c_{r2} \\ 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0
%   \end{array}
% \right)
  + \dots + t_{n-r} \cdot
\left(
  \begin{array}{c}
    c_{1n-r}\\ c_{2n-r} \\ \vdots \\ c_{rn-r} \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1
  \end{array}
\right)
  .
\tag{fcommonsol1col}
$$

\newslide

For example, formulae
$$
  \begin{narrowarray}{rcrclcr}
    x_1 & = &  1 &  -& t_1 & +& 3t_2;\\
    x_2 & = &    &   & t_1 & -& 2t_2;\\
    x_3 & = &    &   & t_1;&  &      \\
    x_4 & = & -1 &   &     &  &      \\
    x_5 & = &    &   &     &  &  t_2,\\
  \end{narrowarray}
\qquad \mbox{where $t_1$, $t_2$ are arbitrary numbers.}
$$
can be written as
$$
\left(
  \begin{array}{l}
    x_1\\ x_2 \\x_3\\ x_4 \\ x_5
  \end{array}
\right)
  =
\left(
  \begin{array}{r}
    1\\ 0 \\0\\ -1 \\ 0
  \end{array}
\right)
  + t_1
\left(
  \begin{array}{r}
    -1\\ 1 \\1\\ 0 \\ 0
  \end{array}
\right)
  + t_2
\left(
  \begin{array}{r}
    3\\ -2 \\0\\ 0 \\ 1
  \end{array}
\right).
$$

% general sheme

% pivot item, pivot column, pivor row

\section{Homogeneous systems}

The system of linear equations with zero right-hand side is called
{\em homogeneous system}:
$$
\left\{
\begin{narrowarray}{rcrcccrcr}
a_{11} x_1 & + & a_{12} x_2 & + & \dots & + & a_{1n} x_n & = & 0,\\
a_{21} x_1 & + & a_{22} x_2 & + & \dots & + & a_{2n} x_n & = & 0,\\
\multicolumn{9}{c}{\dotfill}                                     \\
a_{m1} x_1 & + & a_{m2} x_2 & + & \dots & + & a_{mn} x_n & = & 0.
\end{narrowarray}
\right.
$$

\pause
Such a system always has solution
$$
x_1=0, x_2=0,\dots, x_n=0
$$ 
({\em trivial} solution) so a homogenius system is always consistent.

If in a solution at least one unknown is not $0$ then the solution is called
{\em non-trivial}.

\pause
For example, the system
$$
\left\{
\begin{array}{l}
   x + y = 0,\\
   x - y = 0
\end{array}
\right.
$$
has only the trivial solution.

\pause
Wherease the system
$$
\left\{
\begin{array}{l}
   x + y + z = 0,\\
   x - y + z = 0
\end{array}
\right.
$$
has complete solution $x = t$, $y = 0$, $z = -t$, where $t$ is arbitrary.
In particular, taking $t=1$ we get the non-trivial solution
$x=1$, $y=0$, $z=-1$.

\newslide

\begin{theorem}
A homogeneous system of $m$ linear equations in $n$ un-
knowns always has a non-trivial solution if $m < n$.
\end{theorem}

\pause

\begin{proof}
Suppose that $m < n$ and that the coeffcient matrix of the system
is equivalent to $B$, a matrix in reduced row-echelon form. 

Let $r$ be the number of non-zero rows in $B$. 

Then $r \le m < n$ and hence $n - r > 0$ and
so the number $n - r$ of independent unknowns (arbitrary unknowns) is in fact positive. 

Taking one
of these unknowns to be $1$ (or any other non-zero value) gives a non-trivial solution.
\end{proof}

\chapter{Vector Spaces}

\newslide

\section{Definition of Vector Space}

Let $V$ be a non-empty set, $F$ be a field. 

\pause

Let's call the objects in $V$ {\em vectors},
the objects in $F$ {\em scalars} (or {\em numbers}).

\pause

$V$ is called the {\em linear space} (or {\em vector space}) over the filed $F$ if

\begin{enumerate}
\item[I.]
There is a rule (or operation), called {\em vector addition},
which associates with each pair of vectors $a$ and $b$ in $V$
a vector $c$ in $V$, called the {\em sum} of $a$ and $b$ and denoted as $c=a+b$.

\pause


\item[II.]
There is a rule (or operation), called {\em scalar multiplication}, 
which associates with each scalar $\alpha$ in $F$ and each vector $a$ in $V$
a vector $b$ in $V$, called the {\em product of $\alpha$ and $a$}
and denoted as $b=\alpha\cdot a$, or, simply, $b=\alpha a$.


\item[III.]
The following conditions holds ({\em axioms of linear space}):
\begin{enumerate}
  \item[(1)] \label{alp2} $\forall a,b,c \in V$ $a+(b+c) = (a+b)+c$ (addition is {\em
             associative}),
  \item[(2)] \label{alp1} $\forall a,b \in V$ $a+b = b+a$ (addition is {\em commutative}),
  \item[(3)] \label{alp3} $\exists o$ $\forall a \in V$ $a+o=a$ ($o$ is called the
             {\em zero vector}) (The zero vector $o\in V$ and the scalar $0\in F$ should be
             distinguished,
  \item[(4)] \label{alp4} $\forall a \in V$ $\exists b \in V$ $a+b = o$
              ($b$ is called the {\em opposite} to $v$ vector and it's denoted as $-a$),
  \item[(5)] \label{alp5} $\forall a \in V$ $1\cdot a = a$,
  \item[(6)] \label{alp6} $\forall a \in V$ $\forall \alpha, \beta \in F$ $\alpha(\beta a) = (\alpha\beta a)$,
  \item[(7)] \label{alp7} $\forall a, b \in V$ $\forall \alpha \in F$ $\alpha(a + b) = \alpha a + \alpha b$ (distibutivity I),
  \item[(8)] \label{alp8} $\forall a \in V$ $\forall \alpha, \beta \in F$ $(\alpha + \beta) a = \alpha a + \beta a$ (distributivity II).
\end{enumerate}
\end{enumerate}

% Элементы множества $V$ называются {\em векторами}\index{Вектор
% линейного пространства}, элементы множества $F$ называются
% {\em скалярами}\index{Скаляр} (или, просто,
% числами).

\newpage 

Further, as a rule, vectors are denoted by latin letters,
whereas scalars are denoted by greek letters.

\pause

The filed of scalars is usually $\RR$ or $\CC$ and the linear space is called
{\em real} or {\em complex} depending on whether the filed is $\RR$ or $\CC$.
However, over fileds are also possible.

% Если указана природа элементов множества $V$ и определены операции над этими элементами,
% то пространство будем называть {\em конкретным}. 
% Рассмотрим важные типы конкретных линейных пространств.

\newslide

Let's consider a few examples of linear spaces

\pause

The origin of the name ``vector'' is from the following example.

\pause

{\sc Example 1.} ``Geometric'' spaces:

$\VV_1$ is a set of all radious-vectors on a line

$\VV_2$ is a set of all radious-vectors in the plane

$\VV_3$ is a set of all radious-vectors in space

\pause

$\VV_1$, $\VV_2$, $\VV_3$ are {\em real} linear spaces 
(in respect to usual operations of vector addition and scalar multiplication
introduced in chapter \ref{chVectorGeometry})

\pause

For this spaces we proved all conditions in the definition of vector space
(axioms)

\newslide

{\sc Example 2.} ``Arithmetic'' spaces:

$F^n$ is a set of all $n$-tuples (ordered collections) of numbers in $F$

\pause

$F^n$ is the linear space (in respect to usual operations
vector addition and scalar multiplication introduced in Section
\ref{sectArithmeticSpace}).

\pause

All axioms of linear space can be easily verified.

% Вставить проверку для R^2

{\sc Example 3.} $F[x]$, the space of polynomials over $F$.

A {\em polynomial} is an expression of the form
$$
a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots + a_n x^n,
$$
where $a_j \in F$ $(j=0,1,\dots,n)$.

$F[x]$ is the set of all polynomials over $F$.

\pause
Examples:
$$
2x,\qquad
1+2x-x^2,\qquad
\frac{1}{219}+\frac{3}{311}x^3+\frac{6}{171}x^4+\frac{9}{113}x^5.
$$

\newslide
The {\em sum} of two polynomials
$$
f = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots + a_n x^n
$$
$$
g = b_0 + b_1 x + b_2 x^2 + \dots + b_n x^n
$$
is
$$
f+g = (a_0+b_0) + (a_1+b_1)x + (a_2+b_2)x^2 + \dots + (a_n+b_n) x^n
$$

\pause
The product of a polynomial $f$ and a scalar $\alpha$ is
$$
\alpha f = \alpha a_0 + \alpha a_1 x + \alpha a_2 x^2 + \dots + \alpha a_n x^n
$$

\pause
It is easy to verify that $F[x]$ is a linear space over $F$.

\newslide

{\sc Example 4.} The space of real functions.

Let $V$ be a set of all functions $f$: $\RR \to \RR$.

Let $F=\RR$.

So, a vector in the space is a function.
A saclar is a real number.

Addition of two vectors $f$ and $g$ is defined as $(f+g)(x) = f(x) + g(x)$.

Multiplication of a scalar $\alpha$ and a vector $f$ is defined as
$(\alpha f)(x) = \alpha \bigl(f(x)\bigr)$.

All axioms of linear space can be easily verified.

In particular, the zero vector $o$ is the function $f(x)=0$.

\newslide

\section{Simple corollaries from axioms}

\begin{proposition}
In each linear space the zero vector is unique.
\end{proposition}

\begin{proof}
Let's consider that there exist two zero vectors $o_1, o_2 \in V$.
Then
$$
o_1 = o_1 + o_2 = o_2.
$$
\end{proof}

% Нулевой вектор $o$ часто называется нулем, однако его
% следует отличать от числа $0$ из поля $F$.
% Далее нулевой элемент (нулевой вектор, или нуль-вектор)
% обозначается $o$\footnote{Нулевой вектор $o\in V$ следует отличать
% от числа $0\in F$.}.
\newslide

\begin{proposition}
For each vector $a \in V$ there exists unique opposite vector.
\end{proposition}

\begin{proof}
Let $b_1$, $b_2$ be vectors, opposite to $a$. 
$$
  b_1 + (a + b_2) = b_1 + o = b_1.
$$
$$
  (b_1 + a) + b_2 = o + b_2 = b_2.
$$
But the left hand sides are the same, so $b_1 = b_2$.
\end{proof}

% Вектор, противоположный к вектору $a$ будем обозначать $-a$.
\newslide

\begin{proposition}
For any $a,b$ in $V$ the equation $a+x=b$ has unique solution.
\end{proposition}

\begin{proof}
By substitution we can verify that $x = (-a) + b$ 
is a solution of the equation.

Now let's prove that the solution is unique.

Suppose that there are two solutions $x_1$, $x_2$. 

Then $a + x_1 = a + x_2 = b$. 

Adding $(-a)$ to both part of the equation, we get 
$(-a) + a + x_1 = (-a) + a + x_2$, hence $x_1 = x_2$.
\end{proof}

$(-a) + b = b + (-a)$ is called the {\em difference} of $b$ and $a$ 
and denoted as $b-a$. 

\newslide

\begin{proposition}
$0a=o$ for any $a \in V$.
\end{proposition}

\begin{proof}
We have $a + 0a = 1a + 0a = (1 + 0)a = 1a = a$. 

So $a + 0a = a$, hence $0a = a - a = o$.
\end{proof}

\newslide

\begin{proposition}
$\alpha o = o$ for each $\alpha \in F$.
\end{proposition}

\begin{proof}
Let $a \in V$. 

We have $\alpha a + \alpha o = \alpha (a + o) =
\alpha a$. 

Thus, $\alpha a + \alpha o = \alpha a$, hence
$\alpha o = \alpha a - \alpha a = o$.
\end{proof}

\newslide

\begin{proposition} 
For all vectors $a$, $b$ in $V$ and all scalars
$\alpha$, $\beta$ in $F$ the following equalities hold:
\begin{enumerate}
  \item[1)] $(-\alpha) a = -(\alpha a)$;
  \item[2)] $(-1)a = -a$;
  \item[3)] $(\alpha - \beta) a = \alpha a - \beta a$;
  \item[4)] $\alpha (a - b) = \alpha a - \alpha b$.
\end{enumerate}
\end{proposition}

\begin{proof}
1) Let's show that $(-\alpha) a$ is opposite to $\alpha a$. 

Really, $\alpha a + (-\alpha)
a = (\alpha - \alpha) a = 0 a = o$.
 
2)--4) follow from 1).
\end{proof}

\newslide

\begin{proposition}
Let $a\in V$ and $\alpha \in F$.
If $\alpha a = 0$, then $\alpha = 0$ or $a=0$.
\end{proposition}

\begin{proof}
If $\alpha = 0$, then the statement holds.
 
If $\alpha \ne 0$, then $a = \fracc{1}{\alpha}(\alpha a) = \fracc{1}{\alpha} o = o$.
\end{proof}


% 
% Сумма $a_1+a_2+\dots+a_n$ определяется по индукции следующим образом:
% $$
% a_1+a_2+\dots+a_n = 
% \left\{
% \begin{array}{ll}
% a_1,                         & \mbox{при $n=1$,} \\
% (a_1+a_2+\dots+a_{n-1})+a_n, & \mbox{при $n>1$.}
% \end{array}
% \right.
% $$
% Т.\,е. в выражении $a_1+a_2+\dots+a_n$ операция сложения выполняется слева направо.
% 
% Рассмотрим обобщения свойств ассоциативности, коммутативности и дистрибутивности.
% 
% \begin{proposition}[Обобщенная ассоциативность] \label{prop_com_ass}
% Пусть $a_1, a_2, \dots, a_n$ --- векторы из $V$, тогда для любого $k\in\set{1,2,\dots,n}$
% $$
% (a_1+\dots+a_k)+(a_{k+1}+\dots+a_n) = a_1+a_2+\dots+a_n.
% $$
% \end{proposition}
% \begin{proof}
% Докажем свойство индукцией по $n$.
% При $n\le 3$ доказываемое равенство либо тривиально, либо представляет собой запись свойства
% ассоциативности.
% % При $n\le 3$ имеем либо тривиальные тождества (например, $a_1+a_2=a_1+a_2$),
% % либо (при $n=3$, $k=1$) равенства, означающие ассоциативность.
% При $n>3$  имеем
% $$
% (a_1+\dots+a_k)+(a_{k+1}+\dots+a_n) = (a_1+\dots+a_k) + (a_{k+1}+\dots+a_{n-1}) + a_n.
% $$
% По предположению индукции 
% $$
% (a_1+a_2+\dots+a_k) + (a_{k+1}+a_2+\dots+a_{n-1}) = a_1+a_2+\dots+a_{n-1},
% $$
% откуда получаем требуемое.
% \end{proof}
% 
% \begin{proposition}[Обобщенная коммутативность]
% Пусть $j_1, j_2, \dots, j_n$ --- перестановка чисел $1,2,\dots,n$, 
% и пусть $a_1, a_2, \dots, a_n$ --- векторы из $V$, тогда
% $$
% a_{j_1}+a_{j_2}+\dots+a_{j_n} = a_1+a_2+\dots+a_n.
% $$
% \end{proposition}
% \begin{proof}
% Свойство докажем индукцией по $n$.
% При $n\le 2$ доказываемое равенство либо тривиально, либо представляет собой запись свойства
% коммутативности.
% Пусть $k$ такое, что $j_k=n$, тогда
% $$
% a_{j_1}+a_{j_2}+\dots+a_{j_n} 
% = (a_{j_1}+\dots+a_{j_{k-1}}) + a_n + (a_{j_{k+1}}+\dots+a_{j_n}).
% $$
% Два раза используя предположение индукции и применяя ассоциативность, выводим
% $$
% \begin{narrowarray}{l}
% (a_{j_1}+\dots+a_{j_{k-1}}) + a_n + (a_{j_{k+1}}+\dots+a_{j_n}) = \\[.5em]
% \qquad        = (a_{j_1}+\dots+a_{j_{k-1}}) + (a_{j_{k+1}}+\dots+a_{j_n})+a_n = \\[.5em]
% \qquad \qquad = (a_1+\dots+a_{n-1})+a_n,
% \end{narrowarray}
% $$
% откуда получаем требуемое.
% \end{proof}
% 
% \begin{proposition}[Обобщенная дистрибутивность] \label{prop_com_distr}
% Пусть $\alpha, \alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n$ --- числа из $F$ 
% и пусть $a, a_1, a_2, \dots, a_n$ --- векторы из $V$.
% Тогда
% \begin{enumerate}
% \item[1)]
% $
% \alpha(a_1+a_2+\dots+a_n) = \alpha a_1+ \alpha a_2+\dots+\alpha a_n; 
% $
% \item[2)]
% $
% (\alpha_1+\alpha_2+\dots+\alpha_n)a = \alpha_1 a+ \alpha_2 a+\dots+\alpha_n a. 
% $
% \end{enumerate}
% \end{proposition}
% \begin{proof}
% Обе формулы доказываются индукцией по $n$.
% \end{proof}
% 
% Для сокращенной записи выражений вида $a_1+a_2+\dots+a_n$
% используется знак суммирования $\sum$. Полагают
% $$
% \sum_{i=1}^n a_i = a_1+a_2+\dots+a_n.
% $$
% Формулы из утверждений \Ref{prop_com_ass}--\Ref{prop_com_distr} 
% теперь можно записать, используя знак суммирования,
% следующим образом:
% $$
% \sum_{i=1}^k a_i + \sum_{i=k+1}^n a_i = \sum_{i=1}^n a_i, \qquad\qquad
% \sum_{i=1}^n a_{i_j} = \sum_{i=1}^n a_i
% $$
% $$
% \alpha\sum_{i=1}^n a_i = \sum_{i=1}^n \alpha a_i, \qquad\qquad
% \left(\sum_{i=1}^n \alpha_i\right)\cdot a = \sum_{i=1}^n \alpha_i a.
% $$


% \paragraph{Пространство непрерывных функций $\RR(a,b)$.}
% Элементами этого пространства являются все непрерывные на отрезке $(a,b)$
% функции.
% Легко видеть, что относительно обычных операций сложения и умножения функций на 
% вещественные числа $\RR(a,b)$ образует линейное пространство над полем $\RR$.
% В частности, нулевым вектором в этом пространстве является функция,
% тождественно равная нулю.

\newslide

\section{Subspaces}

Let $V$ be a linear space over a field $F$.

Let $W$ be a non-empty subset of $V$.

\pause

$W$ is called {\em subspace} of $V$ if
$W$ itself is the space over $F$.
% --- линейное пространство над полем $F$. Множество $W
% \subseteq V$ называется (линейным) {\em подпространством}\index{Подпространство},
% если оно является пространством над $F$ относительно операций сложения
% векторов и умножения их на числа, определенных в $V$.

\newslide

\begin{theorem}[Criterion of subspace] \label{th_kriterii_lin_subspace}
Let $V$ be a linear space over $F$ and $W\ne\emptyset$, $W\subseteq V$.
Then $W$ is subspace iff
\begin{enumerate}
\item[1.] $\forall$ $a, b \in W$ $a + b \in W$ 
          {\rm (}$W$ is said to be closed under vector addition{\rm )},
\item[2.] $\forall$ $\alpha\in F$ and $\forall$ $a \in W$ $\alpha a \in W$
          {\rm (}$W$ is closed under scalar multiplication{\rm )}.
\end{enumerate}
\end{theorem}

\pause

\begin{proof}
\titlesc{Necessity.} Conditions 1--2 are necessary because they are 
                     in the definition  of linear space.

\pause

\titlesc{Sufficiency.} Verify that all 8 axioms of linear space hold.
It is easy for axioms (1)--(2), (5)--(8).

\pause

Check axiom (3). Let's prove that $o \in W$. Let $\alpha = 0$,
$a \in W$, then $o = 0 a \in W$ by condition 2.

\pause

Check axiom (4). Let's show that $-a \in W$ for each $a \in W$. 
Let $\alpha = -1$, then $-a = (-1)a \in W$ by condition 2.
\end{proof}

\newslide

{\em Examples}

$\set{o}$ is {\em trivial} (or {\em zero}) space.
It is subspace of $V$.

\pause

The set of all radius vectors whose heads are on the same stright line which passes through
the origin is a subspace of $\VV_2$ and $\VV_3$.

\pause

The set of all radius vectors whose heads are on the same plane which passes through
the origin is a subspace of $\VV_3$.

\pause

What about all radius vectors whose heads are on the same stright line (or plane) 
which does not pass
through the origin? 

\newslide

Let $W$ be a set of all real $3$-tuples whose the first component is zero, i.e.
$$
W= \set{(0,\, x_2,\, x_3)\transpose:~x_2,x_3\in \RR}
$$
Let's prove that $W$ is a subspace in $\RR^3$.

\pause
0. $W$ is not empty, because, for instance, zero vector $(0, 0, 0)\transpose$ is in $W$.

\pause
1. $W$ is closed under vector addition:
$$
(0,\, x_2,\, x_3)\transpose + (0,\, y_2,\, y_3)\transpose = (0,\, x_2+y_2,\, x_3+y_3)\transpose \in W
$$
(the sum of two vectors whose the first components are zeros is a vector
whose the first component is zero).

\pause
2. $W$ is closed under scalar multiplication:
$$
\alpha (0,\, x_2,\, x_3)\transpose = (0,\, \alpha x_2,\, \alpha x_3)\transpose \in W.
$$
(the product of a vector whose the first component is zero by a scalar
is a vector whose the first component is zero).

\newslide

Let $W$ be a set of all real $3$-tuples such that the sum of the components 
of each such a vector is $0$.
$$
W= \set{(x_1,\, x_2,\, x_3)\transpose:~x_1+x_2+x_3=0}
$$
Let's prove that $W$ is a subspace in $\RR^3$.

\pause
0. $W$ is not empty, because, for instance, zero vector $(0, 0, 0)\transpose$ is in $W$.

\pause
1. $W$ is closed under vector addition:
$$
(x_1,\, x_2,\, x_3)\transpose + (y_1,\, y_2,\, y_3)\transpose = (x_1+y_1,\, x_2+y_2,\, x_3+y_3)\transpose.
$$
If $x_1 + x_2 + x_3 = 0$ and $y_1 + y_2 + y_3 = 0$
then $(x_1+y_1)+(x_2+y_2)+(x_3+y_3)=0$.
Hence, $(x_1+y_1,\, x_2+y_2,\, x_3+y_3)\transpose \in W$.

\pause
2. $W$ is closed under scalar multiplication:
$$
\alpha\cdot (x_1,\, x_2,\, x_3)\transpose = (\alpha x_1,\, \alpha x_2,\, \alpha x_3)\transpose.
$$
If $x_1 + x_2 + x_3 = 0$
then $\alpha x_1+\alpha_2 x_2+\alpha_3 x_3=0$.
Hence, $(\alpha x_1,\, \alpha x_2,\, \alpha x_3)\transpose \in W$.

\pause

The following proposition generalize the last two examples.

\newslide
% The following proposition generalize the last two examples.

\begin{proposition}
The set $W$ of all solutions to the homogenius system of $m$ equations with $n$ unknowns
is a linear subspace in $F^n$.
\end{proposition}

\begin{proof}
0. $W \ne \emptyset$ because $(0,0,\dots,0)\transpose \in W$.
\pause

1. Let $(x_1, x_2,\dots, x_n)\transpose$, $(y_1, y_2, \dots, y_n)\transpose$
are partial solutions to the system. Let's prove that
$(x_1+y_1, x_2+y_2,\dots, x_n+y_n)\transpose$ is a solution too.
The vector $(x_1, x_2,\dots, x_n)\transpose$, $(y_1, y_2, \dots, y_n)\transpose$
satisfy the $i$-th equation:
$$
a_{i1} x_1 + a_{i2} x_2 + \dots + a_{in} x_n = 0,\quad 
a_{i1} y_1 + a_{i2} y_2 + \dots + a_{in} y_n = 0\quad (i=1,2,\dots,m)
$$
We have
$$
a_{i1} (x_1+y_1) + a_{i2} (x_2+y_2) + \dots + a_{in} (x_n+y_n) = 0\quad (i=1,2,\dots,m)
$$
Thus $(x_1+y_1, x_2+y_2,\dots, x_n+y_n)\transpose$ satisfies all equations
$(i=1,2,\dots,m)$. Hence it is a solution to the system.

\pause

2. Let $(x_1, x_2,\dots, x_n)\transpose$ be a partial solution to the system. 
Let's prove that
$(\alpha x_1, \alpha x_2,\dots, \alpha x_n)\transpose$ is a solution too:
$$
a_{i1} x_1 + a_{i2} x_2 + \dots + a_{in} x_n = 0\quad (i=1,2,\dots,m)
$$
We have
$$
a_{i1} (\alpha x_1) + a_{i2} (\alpha x_2) + \dots + a_{in} (\alpha x_n) = 0\quad (i=1,2,\dots,m)
$$
Thus $(\alpha x_1, \alpha x_2,\dots, \alpha x_n)\transpose$ satisfies all equations
$(i=1,2,\dots,m)$. Hence it is a solution to the system.
\end{proof}

\newslide

What about non-homogenius system?

\pause

The set $W$ of all solutions to a non-homogenius system is not a subspace.

\pause

{\em Example:}  Let's consider system
$$
x_1+x_2+x_3 = 1
$$
\pause

Vectors $(1, 0, 0)\transpose$, $(0, 1, 0)\transpose$ are two partial solutions.
\pause

But their sum $(1,1,0)$ is not apartial solution to the system.
So $W$ is not closed under addition.
$W$ is not subspace.

% Легко проверить, что согласно приведенному критерию
% подпространствами являются, например, 
% множество радиус-векторов, концы которых лежат на прямой, проходящей через полюс, в пространстве $\VV_3$;
% множество арифметических векторов с нулевой первой (и, вообще, любой фиксированной) компонентой в пространстве $F^n$;
% множество четных (нечетных) многочленов в пространстве $F[x]$;
% множество многочленов степени не выше $n$ в пространстве $F[x]$.

\newslide

\section{Linear combinations and linear hulls}

% Пусть $V$ --- линейное пространство над полем $F$.
% {\em Системой векторов} назовем произвольную конечную последовательность
% векторов $a_1, \dots, a_n$ из $V$ (возможно с повторениями).
% % Тот факт, что систему $A$ образуют векторы $a_1, \dots, a_n$
% % будем обозначать следующим образом: $A=\langle a_1, \dots, a_n\rangle$.
% % Принадлежность вектора $a$ системе $A$ обозначается стандартно: $a\in A$.
% Иногда нам будет нужна пустая система, т.\,е. система, 
% %$\langle\,\rangle$,
% не содержащая ни одного вектора.

The expression $\alpha_1 a_1 + \dots + \alpha_n a_n$
is called {\em a linear combination of vectors $a_1, \dots, a_n$ with
coefficients $\alpha_1, \dots, \alpha_n$}.

\pause

The set of all linear combinations of fixed vectors $a_1, \dots, a_n$
is called {\em linear hull} and denoted as $\Lin(a_1, \dots, a_n)$:
$$
\Lin(a_1, \dots, a_n) = \set{\alpha_1 a_1 + \dots + \alpha_n a_n :~
\alpha_1, \dots, \alpha_n \in F}.
$$

\pause

\begin{exercize}
Describe the linear hull of a non-zero vector in $\VV_2$ (or $\VV_3$).
\end{exercize}

\pause

\begin{exercize}
Describe the linear hull of two non-collinear vectors in $\VV_2$ (or $\VV_3$).
\end{exercize}

\pause

\begin{exercize}
Describe the linear hull of three non-coplanar vectors in $\VV_3$.
\end{exercize}

\newslide

\begin{theorem}
Let $a_1, \dots, a_n$ be vectors in $V$. 
Then $\Lin(a_1, \dots, a_n)$ is a subspace in $V$ and for any subspace $W$
containing vectors $a_1, \dots, a_n$, it holds that $\Lin(a_1, \dots, a_n) \subseteq W$.
\end{theorem}

\pause

\begin{proof}
I. First let's prove that $\Lin(a_1, \dots, a_n)$ is a subspace in $V$.
\pause

It's clear that $\Lin(a_1, \dots, a_n)\ne\emptyset$.
\pause
 
If $a=\alpha_1 a_1 + \dots + \alpha_n a_n$ and
$b=\beta_1 a_1 + \dots + \beta_n a_n$, then $a+b = (\alpha_1 +
\beta_1) a_1 + \dots + (\alpha_n + \beta_n) a_n$. 
Thus,
$a+b \in \Lin(a_1, \dots, a_n)$.
\pause 

If $\alpha \in F$, then $\alpha a =
(\alpha\alpha_1) a_1 + \dots + (\alpha\alpha_n) a_n$. Thus, $\alpha a \in F$.
\pause 

Sufficient conditions in Theorem \ref{th_kriterii_lin_subspace} hold.
\newslide

II. Now let $W$ be arbitrary subspace containing vectors $a_1, \dots, a_n$.
\pause
 
Then for any numbers $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ in $F$ it holds that 
$\alpha_1 a_1 + \dots + \alpha_n a_n \in W$ (closeness under vector addition)
and $\alpha_j a_j \in W$
($j=1,\dots,n$) (closeness under scalar multiplication).

\pause  
hence $b \in W$ for any
$b \in \Lin(a_1, \dots, a_n)$, so $\Lin(a_1, \dots, a_n)\subseteq W$.
\end{proof}

\pause

The subspace $\Lin(a_1,\dots,a_n)$ is called the subspace {\em spanned} 
(or {\em generated}) by $a_1,\dots,a_n$.


\newslide

% Говорят, что вектор $b$ {\em линейно выражается}\index{Выразимость линейная векторов}
% через систему $a_1, \dots , a_n$, если $b=\alpha_1 a_1 + \dots + \alpha_n a_n$
% для некоторых $\alpha_1, \dots , \alpha_n$, иными словами, $b \in
% L(a_1, \dots , a_n)$. Говорят, что система $b_1,\dots,b_m$
% {\em линейно выражается}\index{Выразимость линейная систем векторов} через систему
% $a_1, \dots , a_n$, если
% для всех $i \in \set{1,\dots,m}$ вектор $b_i$ линейно выражается
% через систему $a_1, \dots , a_n$.

The following result is not hard to prove.

\begin{proposition}
$L(b_1, \dots , b_m) \subseteq L(a_1, \dots , a_n)$ iff
each of $b_1, \dots , b_m$ is a linear conbination of $a_1, \dots , a_n$. 
\end{proposition}

% \begin{proof}
% \titlesc{Необходимость.}
% Пусть $L(b_1, \dots , b_m)
% \subseteq L(a_1, \dots , a_n)$. Так как $b_i \in L(b_1, \dots ,
% b_m)$, то $b_i \in L(a_1, \dots , a_n)$ ($i=1,\dots,m$). Т.\,е.
% система $b_1, \dots , b_m$ линейно выражается через систему $a_1,
% \dots , a_n$.
% 
% \titlesc{Достаточность.} 
% Если система $b_1, \dots , b_m$ линейно выражается через систему
% $a_1, \dots , a_n$, т.\,е. $b_i \in L(a_1, \dots , a_n)$ для всех $i
% \in \set{1, \dots , m}$, то по замкнутости $\beta_1 b_1 + \dots +
% \beta_m b_m \in L(a_1, \dots , a_n)$ для любых $\beta_1, \dots ,
% \beta_m$ из $F$.
% \end{proof}

% Очевидно следующее
% 
% \begin{proposition}
% Отношение линейной выразимости является
% рефлексивным 
% и транзитивным, но, в общем случае, не симметричным.
% \end{proposition}


% \begin{corollary}
% Если система $c_1, \dots , c_l$ линейно выражается через систему
% $b_1, \dots , b_m$, а система $b_1, \dots , b_m$ линейно
% выражается через систему $a_1, \dots , a_n$, то система $c_1,
% \dots , c_l$ линейно выражается через систему $a_1, \dots , a_n$.
% \end{corollary}

Vector systems $a_1, \dots , a_n$ and $b_1, \dots , b_m$ are said to be
{\em equivalent} iff 
each of $a_1, \dots , a_n$ is a linear conbination of $b_1, \dots , b_m$, 
and
each of $b_1, \dots , b_m$ is a linear conbination of $a_1, \dots , a_n$.

\begin{corollary}
Vector systems $a_1, \dots , a_n$ and $b_1, \dots , b_m$ are equivalent if
$\Lin(a_1, \dots , a_n)=\Lin(b_1, \dots , b_m)$.
\end{corollary}

% Очевидно следующее
% \begin{proposition}
% Отношение эквивалентности линейных систем является рефлексивным,
% симметричным и транзитивным.
% \end{proposition}

\newslide
\section{Linear dependence}

\pause

The linear combination $\alpha_1 a_1 + \dots + \alpha_n a_n$ of vectors $a_1,\dots
,a_n \in V$ is called {\em trivial},
iff $\alpha_1 = \dots = \alpha_n =0$. 

\pause

It is obvious that trivial linear cobination equals to $o$.

\pause

Vectors $a_1, \dots ,a_n$ are said to be {\em linearly dependent} if there exists
their {\em non-trivial} linear combination equal to $o$, i.e.
there exist scalars $\alpha_1, \alpha_2,\dots, \alpha_n$, 
{\em not all zero}, such that
$$
\alpha_1 a_1 + \dots + \alpha_n a_n = 0.  \tag{flinzav}
$$
\pause

Vectors $a_1, \dots ,a_n$ are said to be {\em linearly independent} 
iff they are not linearly dependent, i.e. iff
equality (\ref{flinzav}) is possible only in the case when $\alpha_1 = \dots =
\alpha_n=0$.

\newslide

\begin{example}
Determine if the following system is linearly dependent?
\end{example}


\newslide

\begin{proposition}[System consisting of one vector]
A system consisting of one vector is linearly dependent
iff the vector is $o$.
\end{proposition}

\pause

\begin{proof}
For a vector system consisting of the only vector $a$, equality (\ref{flinzav})
has the form $\alpha a = 0$, hence $\alpha = 0$ (then the combination is trivial) 
or $a = o$ (what's claimed).
\end{proof}

\newslide

\begin{proposition}[System consisting of two vectors]
System consisting of two vectors is linearly dependent iff
the vectors are proportional.
\end{proposition}

\pause

\begin{proof}
Equality (\ref{flinzav}) has the form $\alpha_1 a_1 + \alpha_2 a_2 = 0$,
where $\alpha_1 \ne 0$ or/and $\alpha_2 \ne 0$. 

In the first case we have
$a_1 = (-\alpha_2 / \alpha_1) a_2$, 

In the second one we have
$a_2 = (-\alpha_1 / \alpha_2) a_1$.
\end{proof}

\pause

\begin{corollary}
Two vectors in $\VV_2$ {\rm (}or $\VV_3${\rm )} are linearly dependent
iff they are collinear.
\end{corollary}

\newslide

\begin{proposition}
If a subsystem of some vector system is linearly dependent then
the whole of system is linearly dependent too.
\end{proposition}

\pause

\begin{proof}
Let $\set{a_1,\dots ,\alpha_n}$ be a vector system
and
$\set{a_{j_1},\dots ,a_{j_m}}$ is its linearly dependent subsystem ($1\le j_1 < j_2 <
\dots < j_m \le n$). 

\pause
By definition of linearly dependence, there exist scalars
$\alpha_{j_1}, \dots , \alpha_{j_m}$, not all zeros, 
such that
$$
\alpha_{j_1} a_{j_1} + \dots + \alpha_{j_m} a_{j_m} = o.
$$
In this equality let's add to the l.h.s. the trivial combination 
of remaining vectors:
$$
0 a_{i_1} + \dots + 0 a_{i_{n-m}},
$$
where
$
\set{i_1,\dots ,i_{n-m}} = \set{1,\dots ,n} \setminus \set{j_1,\dots ,j_m}.
$
It's clear that the new combination $\alpha_1 a_1 + \dots + \alpha_m a_m$
equals to $o$
but it's not trivial.
\end{proof}

\newslide

\begin{corollary}
Any subsystem of linearly independent system is linearly independent.
\end{corollary}

(proof by contradiction)
\pause

\begin{exercize}
Is the following statement correct:

If a subsystem of some vector system is linearly independent then
the whole of system is linearly independent too?
\end{exercize}

\pause
\begin{exercize}
Is the following statement correct:

If a system is linearly dependent then any its subsystem
is linearly dependent too?
\end{exercize}

\newslide

\begin{theorem}[Linearly dependence criterion]
Vectors $a_1,\dots ,a_n$ $(n \ge 2)$ are linearly dependent iff
there exists $j$ such that
$$
a_j = \Lin (a_1,\dots ,a_{j-1},a_{j+1},\dots ,a_n)
$$
$($i.e. $\exists$ $j$ such that $a_j$ can be represented as linear combination
of the remaining vectors$)$.
\end{theorem}

\pause

\begin{proof}
\titlesc{Necessity.}
Let $a_1,\dots ,a_n$ be linearly dependent, then 
$$
\alpha_1 a_1 + \dots + \alpha_n a_n = 0,
$$ 
and also there exists $j$ such that $\alpha_j \ne 0$, from which
$$
a_j = \left( -\frac{\alpha_1}{\alpha_j} \right) a_1 +\dots
  + \left( -\frac{\alpha_{j-1}}{\alpha_j} \right) a_{j-1}
  + \left( -\frac{\alpha_{j+1}}{\alpha_j} \right) a_{j+1} + \dots
  + \left( -\frac{\alpha_n}{\alpha_j} \right) a_n.
$$

\newslide

\titlesc{Sufficiency.}
Let
$$
a_j = \alpha_1 a_1 + \dots \alpha_{j-1} a_{j-1} +
                           \alpha_{j+1} a_{j+1} + \dots + \alpha_n a_n.
$$
% для некоторых $\alpha_1,\dots,\alpha_{j-1},\alpha_{j+1},\dots,\alpha_n$.
\pause
Then
$$
\alpha_1 a_1 + \dots \alpha_{j-1} a_{j-1} +
     \alpha_j a_j
                         + \alpha_{j+1} a_{j+1} + \dots + \alpha_n a_n = 0,
$$
where $\alpha_j = -1$.
We've got the non-trivial (since $\alpha_j = -1 \ne 0$) linear combination
that equals to $0$.
\end{proof}

\pause

\begin{corollary}
Three vectors in $\VV_3$ 
are linearly dependent iff they are co-planar.
\end{corollary}

\newslide

% \begin{theorem}[Усиленный критерий линейной зависимости]
% Система $a_1,\dots ,a_n$ линейно зависима тогда и только тогда,
% когда $a_1 = o$ или $a_j = L(a_1,\dots ,a_{j-1})$ для некоторого
% $j \in \set{1,\dots ,j-1,j+1,\dots n}$.
% \end{theorem}
% 
% \begin{proof}
% \titlesc{Необходимость}
% Пусть система $a_1,\dots ,a_n$ линейно зависимая, тогда $\alpha_1 a_1 + \dots +
% \alpha_n a_n = 0$. Пусть $j$ --- максимальный индекс, такой, что
% $\alpha_j \ne 0$, тогда
% $\alpha_1 a_1 + \dots +\alpha_j a_j = 0$,
% откуда
% $$
% a_j = \left( -\frac{\alpha_1}{\alpha_j} \right) a_1 +\dots
%   + \left( -\frac{\alpha_{j-1}}{\alpha_j} \right) a_{j-1}.
% $$
% 
% \titlesc{Достаточность} Если $n\ge 2$, то воспользуемся предыдущим
% критерием. Если $n=1$, то $a_1 = 0$.
% \end{proof}
% 
% \begin{corollary} \label{cor_pev_za}
% Если система $a_1,\dots ,a_n$ линейно независима, а система
% $a_1,\dots ,a_n, b_1,\dots ,b_m$ --- линейно зависима, то
% найдется такое $j\in {1,\dots ,m}$, что
% $$
% b_j = L(a_1,\dots , a_n, b_1, \dots , b_{j-1}).
% $$
% \end{corollary}

\begin{lemma} \label{threplacementth} % [<<Replacement>> theorem]
If vectors $a_1,\dots ,a_n$ are expressed in terms of
$b_1,\dots ,b_m$ and $n > m$ then $a_1,\dots ,a_n$
are linearly dependent.
\end{lemma}

\pause

\begin{proof}
% W.l.g. we can suppose that vectors $b_1,\dots ,b_m$ are linearly independent (why?).

For some values $\alpha_{ij}$ we have that 
$$
a_j = \beta_{1j} b_1 + \beta_{2j} b_2 + \dots + \beta_{mj} b_m  \quad (j=1,2,\dots,n)
\tag{freplacementth1}
$$


\pause
We have to prove that if $n\ge m$ then there exist scalars $\alpha_1,\dots,\alpha_n$,
not all zero, such that
$$
\alpha_1 a_1 + \alpha_2 a_2 + \dots + \alpha_n a_n = o.   \tag{freplacementth2}
$$
\pause
Substituting \Ref{freplacementth1} into \Ref{freplacementth2} we obtain
$$
\alpha_1(\beta_{11} b_1 + \beta_{21} b_2 + \dots + \beta_{m1} b_m) +  \dots + 
\alpha_n(\beta_{1n} b_1 + \beta_{2n} b_2 + \dots + \beta_{mn} b_m) = o,
$$
or, equivalently,
$$
  (\alpha_1\beta_{11} + \dots + \alpha_n\beta_{1n}) b_1 + \dots 
+ (\alpha_1\beta_{m1} + \dots + \alpha_n\beta_{mn}) b_m = o.
$$
This holds if
% is a combination of vectors $b_1,b_2,\dots,b_m$ equaled to $o$.
$$
\left\{
\begin{array}{lclcl}
   \alpha_1\beta_{11} & + \dots + & \alpha_n\beta_{1n} & = & 0,\\
   \multicolumn{5}{c}{\dotfill} \\
   \alpha_1\beta_{m1} & + \dots + & \alpha_n\beta_{mn} & = & 0
\end{array}
\right.
$$
This is the homogeneous system of linear equations (with unknowns
$\alpha_1,\dots, \alpha_n$). Since $m<n$ then the system
has a non-trivial solution $\alpha_1,\dots,\alpha_n$,
hence the linear combination in \Ref{freplacementth2} is non-trivial
and vectors $a_1,\dots ,a_n$ are linearly dependent.
\end{proof}

% \begin{proof}
% Предположим противное. Пусть в условиях теоремы первая система линейно
% независима.
% 
% Так как $a_1$ линейно выражается через $b_1,\dots ,b_m$, то
% объединенная система $a_1, b_1,\dots ,b_m$ линейно зависима и эквивалентна $b_1,\dots ,b_m$.
% По следствию \ref{cor_pev_za} в новой системе найдется  
% $$
% b_{i_1} \in L(a_1, b_1,\dots ,b_{i_1-1}, b_{i_1+1}, \dots, b_m),
% $$ 
% поэтому система
% $b_1,\dots ,b_m$ эквивалентна $a_1, b_1,\dots ,b_{i_1-1}, b_{i_1+1}, \dots, b_m$.
% 
% Так как $a_2$ линейно выражается через систему $b_1,\dots ,b_m$, эквивалентную
% $a_1, b_1,\dots ,b_{i_1-1}, b_{i_1+1}, \dots, b_m$, то объединенная система 
% $a_1, a_2, b_1,\dots ,b_{i_1-1}, b_{i_1+1}, \dots, b_m$ линейно зависима и
% эквивалентна $b_1,\dots ,b_m$. По следствию \ref{cor_pev_za} в этой новой системе найдется
% $$
% b_{i_2} \in L(a_1, a_2, b_1,\dots ,b_{i_1-1}, b_{i_1+1}, \dots, b_{i_2-1}, b_{i_2+1}, \dots, b_m),
% $$ 
% поэтому $b_1,\dots ,b_m$ эквивалентна 
% $a_1, a_2, b_1,\dots ,b_{i_1-1}, b_{i_1+1}, \dots, b_{i_2-1}, b_{i_2+1}, \dots, b_m$. 
% 
% Продолжая эти рассуждения далее (можно провести индукцию), мы получим цепочку
% эквивалентных систем
% $$
% \begin{narrowarray}{l}
% b_1,\dots ,b_m \sim \\
% \qquad \sim a_1,b_1,\dots ,b_{i_1-1}, b_{i_1+1}, \dots, b_m \sim \\
% \qquad \qquad \sim a_1,a_2,b_1,\dots ,b_{i_1-1}, b_{i_1+1}, \dots,b_{i_2-1}, b_{i_2+1}, \dots,  b_m \sim \dots \\
% \qquad \qquad \qquad \dots \sim a_1,\dots ,a_m.
% \end{narrowarray}
% $$
% Поэтому система $b_1,\dots ,b_m$ эквивалентна системе $a_1,\dots ,a_m$.
% Следовательно, система $a_1,\dots ,a_n$, выражающаяся через $b_1,\dots
% ,b_m$, выражается через свою подсистему $a_1,\dots ,a_m$, следовательно,
% она линейно зависима, что противоречит предположению.
% \end{proof}
% 
% % \begin{proof}
% % Предположим противное. Пусть в условиях теоремы первая система линейно
% % независима. Обозначим через $B_0$ систему $b_1,\dots ,b_m$.
% % 
% % Так как вектор $a_1$ линейно выражается через систему $B_0$, то
% % объединенная система $a_1, B_0$ линейно зависима и эквивалентна $B_0$.
% % По предыдущему следствию в новой системе найдется такой вектор $b_{i_1}$
% % из $B_0$, что $b_{i_1} \in L(a_1, B_0 \setminus {b_{i_1}})$, поэтому
% % $B_0$ эквивалентна системе $a_1, B_1$, где $B_1 = B_0 \setminus {b_{i_1}}$.
% % 
% % Так как вектор $a_2$ линейно выражается через систему $B_0$, эквивалентную
% % $a_1, B_1$, то объединенная система $a_1, a_2, B_1$ линейно зависима и
% % эквивалентна $B_0$. По предыдущему следствию в новой системе найдется
% % такой вектор $b_{i_2}$ из $B_1$, что $b_{i_2} \in L(a_1, a_2, B_1 \setminus
% % {b_{i_2}})$, поэтому $B_0$ эквивалентна системе $a_1, a_2, B_2$, где $B_2
% % = B_0 \setminus {b_{i_1}, b_{i_2}}$.
% % 
% % Продолжая эти рассуждения далее (можно провести индукцию), мы получим цепочку
% % эквивалентных систем
% % $$
% % B_0 \sim a_1,  B_1 \sim a_1,a_2,  B_2 \sim \dots \sim a_1,\dots ,a_m,  B_m,
% % $$
% % где $B_j = B_{j-1} \setminus {b_{i_j}}$ ($j=1,\dots ,m$). В частности, $B_m$
% % --- пустая система. Поэтому система $B_0 = b_1,\dots ,b_m$ эквивалентна
% % системе $a_1,\dots ,a_m$. Следовательно, вся первая система $a_1,\dots
% % ,a_n$, выражающаяся через систему $B_0$, выражается через свою
% % подсистему $a_1,\dots ,a_n$, следовательно, она линейно зависима, что
% % противоречит условию.
% % \end{proof}

\newslide

\begin{corollary}
Let $a_1,\dots ,a_n$ are linearly independent.
If vectors $a_1,\dots ,a_n$ are expressed in terms of
$b_1,\dots ,b_m$ then $n \le m$. 
\end{corollary}

\pause

\begin{proof}
(By contradiction)
\end{proof}

\pause

\begin{corollary}
Two equivalent linear independent systems contain the same number of vectors.
\end{corollary}

\pause

\begin{proof}
Let $a_1,\dots,a_n$, $b_1,\dots,b_m$ are two equivalent linear independent systems.

\pause

Vectors $a_1,\dots,a_n$ can be expressed in terms of $b_1,\dots,b_m$.
Hence $n \le m$.

\pause

But $b_1,\dots,b_m$ can be expressed in terms of $a_1,\dots,a_n$.
Hence $m \le n$.

\pause

So, $m=n$

\end{proof}


Any linear independent subsystem equivalent to whole of system
is called {\em a base} (or {\em basis}) {\em of the system}.

% \begin{corollary}
% Любая ненулевая система векторов $a_1,\dots ,a_m$ имеет базу.
% \end{corollary}
% \begin{proof}
% Пусть $a_{i_1}$ --- некоторый ненулевой вектор из $V$. Система,
% состоящая из одного вектора $a_{i_1}$, линейно независима.
% Поэтому, если она эквивалентна исходной системе, то является ее
% базой. В противном случае найдется вектор $a_{i_2} \notin
% L(a_{i_1})$. По усиленному критерию линейной зависимости система
% $a_{i_1}, a_{i_2}$ --- независимая. Если она эквивалентна исходной
% системе, то является ее базой. В противном случае найдется вектор
% $a_{i_3} \notin L(a_{i_1}, a_{i_2})$ и т.\,д. Описанный процесс
% оборвется, так как исходная система конечна.
% \end{proof}

\begin{corollary}
Any two bases of a system $a_1,\dots,a_n$ contain the same number of vectors.
\end{corollary}

This number is called the {\em rank} of the system and is written 
$\rank\set{a_1,\dots,a_n}$.

% \begin{exercize}
% Докажите, что база --- это наибольшая (по числу векторов) линейно независимая подсистема
% данной системы.
% \end{exercize}
% 
% \begin{exercize}
% Докажите, что база --- это наименьшая (по числу векторов) подсистема
% данной системы, эквивалентная всей системе.
% \end{exercize}

\begin{example}

\end{example}




\newslide

\section{Basis of linear space}

Vector system $a_1,\dots ,a_n$ in $V$ is called {\em complete} in $V$ iff
every vector in $V$ is a linear combination of $a_1,\dots ,a_n$.

\pause

This is equivalent to the statement that $V=\Lin(a_1,\dots ,a_n)$. 

\pause

A space $V$ is said to be {\em finite-dimensional} iff
there exist vectors $a_1,\dots ,a_n$ such that $V=\Lin(a_1,\dots ,a_n)$.

\pause

Vectors $a_1,\dots ,a_n$ in $V$ are said to form a {\em basis} 
(or {\em base}) of $V$ iff
\begin{enumerate}
  \item[(1)] $a_1,\dots ,a_n$ is complete system in $V$.
  \item[(2)] $a_1,\dots ,a_n$ are linearly independent. 
\end{enumerate}

\newslide

% \index{Система векторов, полная}, если $V = L(a_1,\dots ,a_n)$.
% Линейное пространство, в котором существует полная система, называется
% {\em конечномерным}\index{Линейное пространство, конечномерное}.
% В противном случае пространство называется {\em бесконечномерным}.
% 
% {\em Базисом}\index{Базис линейного пространства} пространства $V$
% называется полная линейно независимая система.



\begin{proposition}
Every finite-dimensional space, except $\set{o}$, has a basis.
\end{proposition}

%Пусть $a_1$ --- некоторый ненулевой вектор из $V$. Система,
%состоящая из одного вектора $a_1$, линейно независима. Поэтому,
%вектор $a_2 \notin L(a_1)$. По усиленному критерию линейное
%зависимости система $a_1, a_2$ --- независимая. Если она полная,
%то образует базис. В противном случае найдется вектор $a_3 \notin
%L(a_1, a_2)$ и т.\,д.
%
%Описанный процесс оборвется, но это следует только из теоремы
%ниже --- поэтому так доказывать нельзя

\pause

\begin{proof}
$V$ is finite-dimensional hence $V = \Lin(a_1, \dots ,a_n)$
for certain vectors $a_1, \dots ,a_n$. As a basis of the space $V$ we can take
a basis of the system $a_1, \dots ,a_n$.
\end{proof}

\pause

\begin{proposition}
Any two bases for a space $V$ contain the same
number of vectors.
\end{proposition}

\pause

\begin{proof}
Let $a_1,\dots,a_n$ and $b_1,\dots,b_m$ be two bases for $V$.
Systems $a_1,\dots,a_n$ and $b_1,\dots,b_m$ are equivalent and linearly independent
hence $n=m$.
\end{proof}

\pause

This number is called the {\em dimension} of $V$. Notation: $\dim V$. 
Naturally we define $\dim \set{o} = 0$.

\newslide

\begin{proposition} \label{prop_basis1}
Linearly independent vector system in $V$ forms a basis iff any vector system containing 
more vectors in $V$ is linearly dependent.
\end{proposition}

% \begin{proposition}
% Для того, чтобы линейно независимая система $a_1,\dots ,a_n$ была базисом,
% необходимо и достаточно, чтобы любая система $b_1,\dots ,b_{n+1}$
% из $n+1$ вектора была линейно зависимой.
% \end{proposition}
\pause

\begin{proof}
\titlesc{Sufficiency.}
Let $a_1,\dots ,a_n$ form a basis. 
Vectors $b_1,\dots ,b_m$ are expressed in terms of
linearly independent vectors $a_1,\dots ,a_n$. If $m>n$ then by Lemma \ref{threplacementth}
vectors $b_1,\dots ,b_m$ are linearly dependent.

\pause

\titlesc{Necessity.} Let $b$ be a vector in $V$.
Consider vectors $a_1,\dots ,a_n, b$. By condition they are linearly dependent.
Hence $b \in \Lin(a_1,\dots ,a_n)$. Thus $V = \Lin\set{a_1,\dots,a_n}$.
\end{proof}

% \begin{note}
% Утверждение \ref{prop_basis1} позволяет дать следующее определение базиса, эквивалентное
% исходному: базис --- это наибольшая (по мощности) линейно независимая
% система. Заметим, что такое определение не означает,
% что базис пространства определен единственным образом.
% \end{note}

\newslide

\begin{proposition} \label{prop_basis2}
Let $V=\Lin\set{a_1,\dots ,a_n}$, i.e. the system $a_1,\dots ,a_n$ is complete.
Then $a_1,\dots ,a_n$ form a basis iff 
\begin{enumerate}
  \item[\rm (a)] $n=1$ and $a_1 \ne o$, 

or

  \item[\rm (b)] any system containing fewer vectors is not complete.
\end{enumerate}
\end{proposition}

\pause

% \begin{proposition}
% Для того, чтобы полная система $a_1,\dots ,a_n$ была базисом,
% необходимо и достаточно, чтобы либо $n=1$ и $a_1 \ne o$, либо
% любая система $b_1,\dots, b_{n-1}$ из $n-1$ вектора не была бы полной.
% \end{proposition}

\begin{proof}
\titlesc{Necessity.} Let $b_1,\dots ,b_m$ form complete system,
then linear independent system $a_1,\dots ,a_n$ is expressed in terms of
$b_1,\dots ,b_m$, whence, by Lemma \ref{threplacementth}, $m\ge n$.

\pause

\titlesc{Sufficiency.} For each $j=\set{1,\dots,n}$ vectors
$a_1,\dots ,a_{j-1},a_{j+1},\dots, a_n$ don't form the basis,
hence $a_j \notin \Lin(a_1,\dots ,a_{j-1},a_{j+1},\dots, a_n)$.
So by criterion of linear dependence vectors $a_1,\dots ,a_n$ 
are linear independent.
\end{proof}

% \begin{note}
% Утверждение \ref{prop_basis2} позволяет дать следующее определение базиса, эквивалентное
% исходному: базис --- это наименьшая (по мощности) полная
% система. Заметим, что такое определение не означает,
% что базис пространства определен единственным образом.
% \end{note}

\newslide

\begin{proposition}
Let $\dim V = n$ and vectors $a_1,\dots ,a_n$ are linearly independent
then system $a_1,\dots ,a_n$ is complete and, therefore, forms a basis.
\end{proposition}

\pause

\begin{proof}
Since $\dim V = n$, then any system containing more vectors is linearly dependent.
Hence the system $a_1,\dots ,a_n$ is complete by Proposition \ref{prop_basis1}.
\end{proof}

\pause

\begin{proposition}
Let $\dim V = n$ and system $a_1,\dots ,a_n$ is complete,
then it is linearly independent and, therefore,
forms a basis.
\end{proposition}

\pause

\begin{proof}
Since $\dim V = n$, then any system containg fewer vectors is not complete.
Hence the system $a_1,\dots ,a_n$ is linear independent by Proposition \ref{prop_basis2}.
\end{proof}

\newslide

\paragraph{Dimension and basis of arithmetical space.}
Let's consider the following system of vectors in $F^n$:
$$
e_1 = 
\left(
\begin{array}{c}
1\\0\\ \vdots \\ 0   
\end{array}
\right),
\quad e_2 =
\left(
\begin{array}{c}
0\\1\\ \vdots \\ 0   
\end{array}
\right),
\quad \dots,
\quad e_n =
\left(
\begin{array}{c}
0\\0\\ \vdots \\ 1   
\end{array}
\right),
\tag{fbasisstandardarith}
$$
where $j$-th component of $e_j$ is $1$ and all other components of $e_j$ are $0$
($j=1,2,\dots,n$). 

\pause
Let's show that $e_1, e_2,\dots, e_n$ form a basis of $F^n$
and, therefore, $\dim F^n = n$.

\newslide
 

Really, system (\ref{fbasisstandardarith}) is linearly independent since
by equating all components in l.h.s. and r.h.s. of equality
$$
\alpha_1 e_1 + \alpha_2 e_2 + \dots + \alpha_n e_n = o,
\tag{fcomb120938}
$$
we get $\alpha_1 = \alpha_2 = \dots = \alpha_n = 0$, so the linear combination
(\ref{fcomb120938}) is trivial.

\pause

The system (\ref{fbasisstandardarith}) is complete, since for any vector
$$
a =
\left(
\begin{array}{c}
\alpha_1 \\\alpha_2  \\ \vdots \\ \alpha_n   
\end{array}
\right)
\in F^n
$$
we have
$a=\alpha_1 e_1 + \alpha_2 e_2+ \dots +\alpha_n e_n$.

\pause

The system (\ref{fbasisstandardarith}) is called {\em standard basis
of arithmetical $n$-dimensional space}.

\newslide

\begin{exercize}
Prove that vectors
$$
\left(
\begin{array}{c}
1\\0\\ 0\\\vdots \\ 0   
\end{array}
\right),
\quad 
\left(
\begin{array}{c}
1\\1\\0\\ \vdots \\ 0   
\end{array}
\right),
\quad 
\left(
\begin{array}{c}
1\\1\\1\\ \vdots \\ 0   
\end{array}
\right),
\quad \dots,
\quad 
\left(
\begin{array}{c}
1\\1\\1\\ \vdots \\ 1   
\end{array}
\right)
$$
form a basis of $F^n$.
\end{exercize}


\newslide


\paragraph{Dimension and basis of geometric spaces.}

\pause

\begin{proposition} \ 

1. $\dim \VV_1 = 1$. A system containing one vector in $\VV_1$ 
forms  a basis iff the vector is not $o$.

2. $\dim \VV_2 = 2$. A system containing two vectors in $\VV_2$
forms a basis iff the vectors are not collinear.

3. $\dim \VV_3 = 3$. A system containing three vectors in $\VV_3$
forms a basis iff the vectors are not co-planar.

% 1. Любой ненулевой вектор пространства $\VV_1$ 
% образует базис, и, следовательно, $\dim \VV_1 = 1$.
% 
% 2. Любые два неколлинеарных вектора образуют базис пространства 
% $\VV_2$, и, следовательно, $\dim \VV_2 = 2$.
% 
% 3. Любые три некомпланарных вектора образуют базис пространства 
% $\VV_3$, и, следовательно, $\dim \VV_3 = 3$.
\end{proposition}

% \begin{proof} \ 
% 
% 1. Obvious.
% 
% 2. We have already proved that any two vectors in $\VV_2$
% are linearly dependent iff they are collinear.
% Покажем, что любые два неколлинеарных вектора $a$, $b$ образуют полную систему в пространстве
% $\VV_2$ и, следовательно, образуют базис этого пространства.
% Пусть $c$ --- произвольный вектор пространства $\VV_2$.
% Как обычно, все векторы отложены из полюса $O$.
% Проведем через конец вектора $c$ прямую, параллельную вектору $b$.
% Эта прямая пересечет прямую, на которой лежит вектор $a$ в некоторой точке $A$.
% Затем проведем через конец вектора $c$ прямую, параллельную вектору $a$.
% Эта прямая пересечет прямую, на которой лежит вектор $b$ в некоторой точке $B$.
% Будем иметь $c=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$,
% $\overrightarrow{OA}=\alpha a$, $\overrightarrow{OB}=\beta b$
% для некоторых $\alpha$ и $\beta$, откуда 
% откуда $c=\alpha a + \beta b$. Итак, любой вектор пространства $\VV_2$
% может быть выражен в виде линейной комбинации векторов $a$, $b$, и, следовательно,  
% $a$, $b$ --- полная система. 
% 
% 3. The proof is similar.
% \end{proof}


% \paragraph{Размерность пространства многочленов.}
% Покажем, что пространство $F[x]$ не является конечномерным.
% Действительно, предположим, что $f_1(x), f_2(x),\dots, f_n(x)$ ---
% некоторая полная система в пространстве $F[x]$, а $m$ --- максимум степеней многочленов
% из этой системы. Очевидно, что никакая их линейная комбинация
% не дает ни одного многочлена степени выше $m$. 
% Таким образом, система $f_1(x), f_2(x),\dots, f_n(x)$ полной не является.
% 
% Рассмотрим пространство многочленов степени не выше $n$.
% Очевидно, что система $1, x, x^2, \dots, x^n$ образует базис этого пространства,
% называемый стандартным.
% Таким образом, пространство многочленов степени не выше $n$ имеет конечную размерность,
% равную $n+1$.
% 
% 
% % \paragraph{Размерность пространства непрерывных функций.}
% % Так как $\RR[x]\subseteq\RR(a,b)$ и пространство $\RR[x]$ не конечномерно,
% % то $\RR(a,b)$ также не является конечномерным.

\newslide

NUll space (solution space)

Dimension of the space of all solutions to the homogenius sytem of linear equations.

Examples.

\newslide

\section{Vector coordinates}

Let $e_1,\dots ,e_n$ form a basis of space $V$ over field $F$. 
Then for any vector $a$ in $V$ there exist numbers 
$\alpha_1,\dots,\alpha_n$ in $F$ such that $a = \alpha_1 e_1 + \dots + \alpha_n e_n$.

\pause 

Coefficients $\alpha_1,\dots ,\alpha_n$ are called the {\em coordinates of 
$a$ in basis $e_1,\dots ,e_n$}.

\newslide

\begin{proposition}
Given basis $e_1,\dots ,e_n$ and a vector $a$
the coordinates of $a$ in $e_1,\dots ,e_n$ are unique.
\end{proposition}

\pause

\begin{proof}
Suppose that we have two representations:
$$
a = \alpha_1 e_1 + \dots + \alpha_n e_n =
    \beta_1 e_1 + \dots + \beta_n e_n.
$$
Then
$$
(\alpha_1 - \beta_1) e_1 + \dots + (\alpha_n - \beta_n) e_n = o.
$$
But vectors $e_1,\dots ,e_n$ be linearly independent, so
all coefficients in obtained linear conbination ar zeros, hence $\alpha_j = \beta_j$
($j=1,\dots ,n$).
\end{proof}

\newslide

Coordinates can be written in a column that's called
the {\em coordinate column} and denoted as $[a]_e$.
 
Thus, if $a = \alpha_1 e_1 + \dots + \alpha_n e_n$, then
$$
[a]_e =
\left(
\begin{array}{c}
\alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_n
\end{array}
\right).
$$

A coordinate column can be considered as
a vector in $F^n$. 

\newslide

%Имея в виду эту интерпретацию, получаем

\begin{proposition}\label{prop_coord_sum_prod}
For any vectors $a, b$ in $V$ and all $\alpha$ in $F$
$$
\begin{array}{l}
[a + b]_e = [a]_e + [b]_e,\\{}
[\alpha a]_e = \alpha [a]_e.
\end{array}
$$
% ThusТаким образом,
% при сложении векторов их координаты складываются, при умножении на число
% умножаются на это число.
\end{proposition}

\begin{proof}
Let
$$
\begin{array}{l}
a = \alpha_1 e_1 + \dots + \alpha_n e_n,\\
b = \beta_1 e_1 + \dots + \beta_n e_n.
\end{array}
$$
Then
$$
a + b = (\alpha_1 + \beta_1) e_1 + \dots + (\alpha_n + \beta_n) e_n,
$$
hence $[a + b]_e = [a]_e + [b]_e$. The proof of the second equality is similar.
\end{proof}

\newslide

% \section{Изоморфизм линейных пространств}
% 
% Пусть пространства $V$ и $V'$ заданы над одним и тем же полем $F$.
% Биекция $\varphi: V \to V'$ называется {\em изоморфизмом}\index{Изоморфизм
% линейных пространств}, если
% для любых векторов $a, b$ из $V$ и любого $\alpha$ из $F$ справедливо
% \begin{enumerate}
% \item $\varphi(a+b) = \varphi a  + \varphi b$,
% \item $\varphi(\alpha a) = \alpha (\varphi a)$.
% \end{enumerate}
% 
% \begin{note}
% Пусть $\dim V = n$. Из утверждения \ref{prop_coord_sum_prod} следует, что
% отображение $\varphi: V \to F^n$, ставящее в соответствие вектору из $V$
% столбец его координат в некотором фиксированном базисе, является
% изоморфизмом.
% \end{note}
% 
% \begin{property} \label{prop_sdkjhakqeo1}
% Отображение, обратное к изоморфизму, является изоморфизмом.
% \end{property}
% 
% \begin{proof}
% Отображение $\varphi^{-1}: V' \to V$, обратное к изоморфизму
% $\varphi: V \to V'$, является биекцией. Осталось показать выполнение свойств
% 1,\,2 для отображения $\varphi^{-1}$. Пусть $a'$, $b'$ --- произвольные
% векторы из $V'$, тогда $\varphi^{-1} a' \in V$ и $\varphi^{-1} b' \in V$.
% Из определения изоморфизма $\varphi$ имеем
% $$
% \begin{array}{c}
% \varphi (\varphi^{-1} a' + \varphi^{-1} b') =
% \varphi \varphi^{-1} a' + \varphi \varphi^{-1} b', \\
% \varphi (\varphi^{-1} a' + \varphi^{-1} b') =
% a' + b'.
% \end{array}
% $$
% Применяя к обеим частям последнего равенства отображение $\varphi^{-1}$,
% получаем
% $$
% \varphi^{-1} a' + \varphi^{-1} b' =
% \varphi^{-1} a' + \varphi^{-1} b'.
% $$
% Равенство $\varphi^{-1}(\alpha a) = \alpha (\varphi^{-1} a)$ доказывается
% аналогично.
% \end{proof}
% 
% 
% \begin{property} \label{prop_sdkjhakqeo2}
% Образом нулевого вектора пространства $V$ при изоморфизме $\varphi$ является
% нулевой вектор пространства $V'$, т.\,е.\footnote{Заметим, что в следующем
% равенстве $o$ в левой части --- вектор пространства $V$, тогда как $o$ в
% правой части --- вектор пространства $V'$.} $\varphi o = o$.
% \end{property}
% 
% \begin{proof}
% Из определения изоморфизма
% $$
% \varphi o = \varphi (0 a) = 0 \varphi a = o.
% $$
% \end{proof}
% 
% \begin{property} \label{prop_sdkjhakqeo3}
% При изоморфизме линейно зависимая система отображается в линейно зависимую
% систему.
% \end{property}
% 
% \begin{proof}
% Пусть система $a_1, \dots, a_n$ линейно зависимая, тогда найдутся такие числа
% $\alpha_1, \dots , \alpha_n$, что
% $$
% \alpha_1 a_1 + \dots + \alpha_n a_n = o, \tag{f1234jkl}
% $$
% причем $\alpha_j \ne 0$ для некоторого  $j \in \set{1,\dots,n}$.
% Применим отображение $\varphi$ к обеим частям равенства (\ref{f1234jkl}).
% Из определения изоморфизма получаем
% $$
% \alpha_1 (\varphi a_1) + \dots + \alpha_n (\varphi a_n) = o.
% $$
% Нами получена нетривиальная нулевая комбинация векторов
% $\varphi a_1, \dots , \varphi a_n$, значит векторы линейно зависимые.
% \end{proof}
% 
% \begin{property} \label{prop_sdkjhakqeo4}
% При изоморфизме линейно независимая система отображается в линейно независимую
% систему.
% \end{property}
% 
% \begin{proof}
% Утверждение является следствием свойств \ref{prop_sdkjhakqeo1}, \ref{prop_sdkjhakqeo3}.
% \end{proof}
% 
% \begin{property}
% При изоморфизме $\varphi: V \to V'$ базис пространства $V$ отображается в
% базис пространства $V'$.
% \end{property}
% 
% \begin{proof}
% По свойству \ref{prop_sdkjhakqeo3} базис отображается в линейно независимую систему.
% При этом по свойству \ref{prop_sdkjhakqeo4} любая линейно зависимая система отображается в линейно
% зависимую. Таким образом, базис отображается в наибольшую линейно независимую
% систему, т.\,е. в базис.
% \end{proof}
% 
% 
% Пространства $V$ и $V'$ называются {\em изоморфными}\index{Линейные пространства,
% изоморфные}, если между ними существует изоморфизм $\varphi: V \to V'$. Если
% $V$ и $V'$ изоморфны, то пишут $V \cong V'$.
% 
% \begin{example}
% Пусть $\dim V = n$, тогда, как следует из предыдущего примера, $V \cong F^n$.
% \end{example}
% 
% 
% \begin{proposition}
% Отношение изоморфности пространств является отношением эквивалентности.
% \end{proposition}
% 
% \begin{proof}
% \titlesc{Рефлексивность.} Очевидно, что тождественное преобразование
% $\varepsilon: V \to V'$, определяемое формулой $\varepsilon a = a$ является
% изоморфизмом. Таким образом, $V \cong V$.
% 
% 
% \titlesc{Симметричность.} Если $V \cong V'$, то $V' \cong V$ по свойству 1.
% 
% \titlesc{Транзитивность.} Докажем, что если $V \cong V'$ и $V' \cong V''$, то
% $V \cong V''$. Действительно, если $\varphi$ и $\varphi'$ --- изоморфизмы
% из $V$ в $V'$ и из $V'$ в $V''$, то произведение изоморфизмов
% $\psi = \varphi\varphi'$, определяемой формулой $\psi a = \varphi(\varphi' a)$
% есть изоморфизм $V$ в $V''$.
% \end{proof}
% 
% \begin{theorem}[Критерий изоморфности пространств]
% Для того, чтобы пространства $V$ и $V'$, заданные над одним и тем же полем
% $F$, были изоморфны, необходимо и достаточно, чтобы $\dim V = \dim V'$.
% \end{theorem}
% 
% \begin{proof}
% \titlesc{Необходимость} Необходимость следует из свойства 5.
% 
% \titlesc{Достаточность} Так как $V \cong F^n$ и $V' \cong F^n$, то, в силу
% симметричности и транзитивности отношения эквивалентности, имеем $V \cong V'$.
% \end{proof}
% 
% \section{Размерность подпространства}
% 
% \begin{proposition} \label{prop_ckodkwe}
% Любое подпространство $V_1$ конечномерного линейного
% пространства $V$ является конечномерным.
% \end{proposition}
% \begin{proof}
% Если $V_1=\set{o}$, то утверждение доказано.
% Пусть $a_1$ --- некоторый ненулевой вектор из $V_1$. Система,
% состоящая из одного вектора $a_1$, линейно независима.
% Поэтому, если $V_1 = \Lin(a_1)$, то система образует базис пространства
% $V_1$. В противном случае в $V_1$ найдется вектор $a_2 \notin \Lin(a_1)$. По
% усиленному критерию линейной зависимости система $a_1, a_2$ ---
% независимая. Поэтому, если $V_1 = \Lin(a_1, a_2)$, то система образует базис
% пространства $V_1$. В противном случае в $V_1$ найдется вектор
% $a_3 \notin \Lin(a_1, a_2)$ и т.\,д. Описанный процесс оборвется по крайней мере через $n$ шагов,
% где $n = \dim V$, так как любая система из $n + 1$ вектора линейно
% зависима.
% \end{proof}
% 
% \begin{proposition}
% Пусть $V_1$, $V_2$ --- конечномерные подпространства, причем $V_1 \subseteq
% V_2$, тогда $\dim V_1 \le \dim V_2$.
% \end{proposition}
% \begin{proof}
% Пусть $a_1,\dots ,a_l$, $b_1,\dots ,b_m$ --- базисы подпространств $V_1$ и
% $V_2$ соответственно. Так как $V_1 \subseteq V_2$, то первая система линейно
% выражается через вторую и поэтому по лемме о замене $l \le m$.
% \end{proof}
% 
% \begin{proposition}
% Пусть $V_1$, $V_2$ --- конечномерные подпространства, причем $V_1 \subseteq
% V_2$ и $\dim V_1 = \dim V_2$, тогда $V_1 = V_2$.
% \end{proposition}
% \begin{proof}
% Базис $a_1,\dots ,a_l$ подпространства $V_1$ является линейно независимой
% системой векторов из $V_2$. Так как $l=\dim V_1 = \dim V_2$, то
% $a_1,\dots ,a_l$ является базисом подпространства $V_2$ и, следовательно,
% $V_1 = \Lin(a_1,\dots ,a_l) = V_2$.
% \end{proof}
% 
% \section{Сумма и пересечение подпространств}
% 
% {\em Суммой подпространств}\index{Сумма подпространств} $V_1$ и $V_2$
% пространства $V$ называется множество
% $$
% V_1 + V_2 = \set{x = y + z: y \in V_1, z \in V_2}.
% $$
% {\em Пересечение подпространств}\index{Пересечение подпространств} понимается в
% обычном смысле:
% $$
% V_1 \cap V_2 = \set{x: x \in V_1, x \in V_2}.
% $$
% 
% \begin{proposition} \label{prop_sum_subspace}
% Сумма подпространств одного и того же пространства является подпространством.
% \end{proposition}
% \begin{proof}
% Так как $o \in V_1$, $o \in V_2$, то $o + o \in V_1 + V_2$ и $V_1 + V_2
% \ne \emptyset$. Докажем замкнутость относительно сложения векторов и умножения
% их на числа. Пусть $x \in V_1 + V_2$ и $x' \in V_1 + V_2$, тогда найдутся
% такие векторы $y$, $y'$ из $V_1$ и $z$, $z'$ из $V_2$, что $x = y + z$,
% $x' = y' + z'$. Так как $y + y' \in V_1$ и $z + z' \in V_2$, то
% $x + x' = (y + y') + (z + z') \in V_1 + V_2$.  Так как $\alpha y \in V_1$ и
% $\alpha z \in V_2$, то $\alpha x = \alpha y + \alpha z \in V_1 + V_2$.
% \end{proof}
% 
% \begin{proposition} \label{prop_intersect_subspace}
% Пересечение подпространств одного и того же пространства является
% подпространством.
% \end{proposition}
% \begin{proof}
% Так как $o \in V_1$, $o \in
% V_2$, то $o \in V_1 \cap V_2$ и $V_1 \cap V_2 \ne \emptyset$. Докажем
% замкнутость относительно сложения векторов и умножения их на числа. Пусть $x
% \in V_1 \cap V_2$ и $x' \in V_1 \cap V_2$.  Так как $x + x' \in V_1$ и $x + x'
% \in V_2$, то $x + x' \in V_1 \cap V_2$.  Так как $\alpha x \in V_1$ и $\alpha x
% \in V_2$, то $\alpha x \in V_1 \cap V_2$.
% \end{proof}
% 
% \begin{lemma} 
% Любую линейно независимую систему векторов можно дополнить до базиса
% конечномерного пространства.
% \end{lemma}
% \begin{proof}
% Утверждение доказывается аналогично доказательству утверждения \ref{prop_ckodkwe}.
% \end{proof}
% 
% \begin{theorem}[Размерность суммы подпространств]
% Если $V_1$, $V_2$ --- конечномерные подпространства пространства $V$, то
% $$
% \dim(V_1 + V_2) = \dim V_1 + \dim V_2 - \dim (V_1 \cap V_2)
% $$
% (формула Грассмана).
% \end{theorem}
% 
% \begin{proof}
% Пусть $a_1, \dots , a_k$ --- базис подпространства $V_1 \cap V_2$.
% Векторами $b_1, \dots , b_l$ дополним систему $a_1, \dots , a_k$ до базиса
% пространства $V_1$.
% Векторами $c_1, \dots , c_m$ дополним систему $a_1, \dots , a_m$ до базиса
% пространства $V_2$.
% Для доказательства теоремы покажем, что система
% $$
% a_1,\dots ,a_k, b_1,\dots ,b_l, c_1, \dots ,c_m
% $$
% образует базис пространства $V_1 + V_2$.
% 
% Легко проверить полноту системы. Для доказательства ее линейной независимости
% рассмотрим нулевую линейную комбинацию:
% $$
% \underbrace
% {
%   \alpha_1 a_1 + \dots + \alpha_k a_k
%   +
%   \beta_1 b_1 + \dots + \beta_l b_l
% }_{-c \in V_1}
% +
% \underbrace
% {
%   \gamma_1 c_1 + \dots + \gamma_m c_m
% }_{c \in V_2}
% = 0.            				\tag{frueqpiu1}
% $$
% Пусть
% $$
% c = \gamma_1 c_1 + \dots + \gamma_m c_m.        \tag{frueqpiu2}
% $$
% Очевидно, что $c \in V_2$
% и тогда по (\ref{frueqpiu1}) имеем $c \in V_1$. Следовательно,
% $c \in V_1 \cap V_2$ и поэтому найдутся такие $\delta_1, \dots , \delta_k$,
% что
% $$
% c = \delta_1 a_1 + \dots + \delta_k a_k.        \tag{frueqpiu3}
% $$
% Из (\ref{frueqpiu2}, \ref{frueqpiu3}) получаем два разложения
% вектора $c$ по базису пространства $V_2$:
% $$
% \begin{array}{l}
% c = 0 a_1 + \dots + 0 a_k + \gamma_1 c_1 + \dots + \gamma_m c_m, \\
% c = \delta_1 a_1 + \dots + \delta_k a_k + 0 c_1 + \dots + 0 c_m.
% \end{array}
% $$
% Так как разложение по базису единственно, то все коэффициенты в этих
% разложениях нулевые, поэтому $c=0$ и, следовательно, нулевая линейная
% комбинация (\ref{frueqpiu1}) --- тривиальная.
% \end{proof}
% 
% Понятие суммы и пересечения подпространств распространяется на
% произвольное конечное их число. А именно,
% под {\em суммой} $V_1+V_2+\dots+V_s$ подпространств $V_1,V_2,\dots,V_s$ понимается
% $$
% V_1+V_2+\dots+V_s = \set{a_1+a_2+\dots+a_s:~ a_i \in V_i~(i=1,2,\dots,s)}.
% $$
% Под {\em пересечением} $V_1\cap V_2\cap \dots\cap V_s$ понимается
% $$
% V_1\cap V_2\cap \dots\cap V_s = \set{a:~a\in V_i ~(i=1,2,\dots,s)}.
% $$
% Легко проверить справедливость утверждений \ref{prop_sum_subspace} и 
% \ref{prop_intersect_subspace} для таких сумм и пересечений соответственно.
% 
% 
% 
% \section{Прямая сумма подпространств}
% Сумма подпространств $V_1 + \dots + V_s$ называется {\em прямой}\index{Сумма
% подпространств, прямая}, если для произвольного вектора $x\in V_1 + \dots
% + V_s$ векторы $x_1,\dots ,x_s$, такие, что
% $$
% x=x_1+\dots +x_s,			\tag{fwqerfm23}
% $$
% где $x_i \in V_i$ ($i=1,\dots ,s$), определены единственным образом. Для прямой суммы
% будем использовать обозначение $V_1 \pp \dots \pp V_s$. Представление вектора
% $x$ в виде (\ref{fwqerfm23}) называют его {\em разложением по
% подпространствам}\index{Разложение вектора по подпространствам}.
% Таким образом, в случае прямой суммы это разложение определено единственным образом.
% 
% \begin{lemma}[Единственность разложения $o$]
% Для того, чтобы сумма $V_1 + \dots + V_s$ являлась прямой, необходимо и
% достаточно, чтобы из условий $o=x_1+\dots +x_s$, $x_i \in V_i$ ($i=1,\dots
% ,s$) следовало $x_i =o$ ($i=1,\dots ,s$).
% \end{lemma}
% 
% \begin{proof}
% \titlesc{Необходимость} следует из определения прямой суммы.
% 
% \titlesc{Достаточность.} Пусть для некоторого $x$ нашлось два разложения:
% $$
% x=x_1+\dots +x_s = y_1+\dots +y_s,
% $$
% где $x_i \in V_i$, $y_i \in V_i$ ($i=1,\dots ,s$). Тогда
% $$
% o =
% \underbrace{(x_1 - y_1)}_{\in V_1}
% + \dots +
% \underbrace{(x_s - y_s)}_{\in V_s}
% $$
% Из единственности разложения вектора $o$ теперь следует, что
% $x_i = y_i$ ($i=1,\dots ,s$).
% \end{proof}
% 
% \begin{theorem}[Критерий прямой суммы]
% Для того, чтобы сумма $V_1 + \dots + V_s$ конечномерных подпространств была
% прямой, необходимо и достаточно, чтобы
% $$
% \dim(V_1 + \dots + V_s) = \dim V_1 + \dots + \dim V_s.
% $$
% \end{theorem}
% 
% \begin{proof}
% Рассмотрим систему, состоящую из базисов пространств $V_i$:
% $$
% \left.
% \begin{array}{ll}
% \mbox{базис } V_1: & a_{11}, \dots , a_{1n_1}; \\
% \mbox{базис } V_2: & a_{21}, \dots , a_{2n_2}; \\
% \multicolumn{2}{c}{\dotfill}\\
% \mbox{базис } V_s: & a_{s1}, \dots , a_{sn_2}
% \end{array}
% \right\} \mbox{система } A.
% $$
% Для доказательства теоремы покажем, что для того, чтобы сумма
% $V_1 + \dots + V_s$ была прямой, необходимо и достаточно, чтобы
% совокупная система $A$ образовывала базис этой суммы.
% 
% \titlesc{Необходимость.}
% Легко видеть, что $A$ --- полная система. Докажем ее линейную независимость.
% Пусть
% $$
% \sum_{j=1}^{n_1} \alpha_{1j} a_{1j}
% + \dots +
% \sum_{j=1}^{n_s} \alpha_{sj} a_{sj}
% = o.                                    \tag{fiqwomn2qw}
% $$
% Проинтерпретируем приведенное равенство как разложение $o$ по подпространствам
% $V_i$. Так как сумма подпространств прямая, то данное разложение единственно, и
% поэтому
% $$
% \sum_{j=1}^{n_1} \alpha_{1j} a_{1j}
% = \dots =
% \sum_{j=1}^{n_s} \alpha_{sj} a_{sj}
% = o.
% $$
% Векторы в каждой из приведенных линейных комбинаций образуют базис,
% поэтому все коэффициенты равны нулю. Итак, линейная комбинация
% (\ref{fiqwomn2qw}) тривиальная.
% 
% \titlesc{Достаточность.}
% Для доказательства достаточности воспользуемся леммой. Для этого
% покажем, что если система $A$ линейно независима, то разложение $o$
% по подпространствам $V_i$ определяется единственным образом. Действительно, в противном
% случае найдутся такие векторы $a_i$, что
% $$
% o = a_1 + \dots + a_s,
% $$
% где $a_i \in V_i$ ($i=1,\dots ,s$) и $a_{i'} \ne 0$ для некоторого $i'$.
% Каждый вектор $a_i$ разложим по базису $a_{i1},\dots ,a_{in_i}$:
% $$
% o=
% \sum_{j=1}^{n_1} \alpha_{1j} a_{1j}
% + \dots +
% \sum_{j=1}^{n_s} \alpha_{sj} a_{sj}.
% $$
% В приведенной линейной комбинации найдутся ненулевые
% коэффициенты (среди чисел $\alpha_{{i'}1},\dots
% ,\alpha_{{i'}n_{i'}}$), поэтому система $A$ --- линейно зависима, что
% противоречит условию.
% \end{proof}
% 
% \begin{corollary}
% Сумма $V_1 + V_2$ прямая тогда и только тогда, когда $V_1 \cap V_2 = \emptyset$.
% \end{corollary}
% 
% \begin{proof}
% Утверждение следует из доказанного критерия и теоремы о размерности суммы
% подпространств.
% \end{proof}
% 
% 
% 
% 
% %\subsection{Проекция вектора на подпространство}
% 
% Пусть линейное пространство $V$ раскладывается в прямую сумму подпространств:
% $V=V_1\pp V_2$. Тогда для произвольного $x \in V$ определяются единственным
% образом векторы $y \in V_1$, $z \in V_2$, такие, что $x=y + z$. Вектор
% $y$ называется {\em проекцией}\index{Проекция вектора} вектора $x$ на
% подпространство $V_1$ параллельно $V_2$. 
% % Обозначение:  $y = \pr_{V_1
% % \parallel V_2} x$. Очевидно, что $z = \pr_{V_2 \parallel V_1} x$.
% 
% 
% 
% 
% 
% \section{Изменение координат вектора при замене базиса}
% 
% Пусть $e_1,\dots ,e_n$ и $e'_1, \dots, e'_n$ --- два базиса пространства $V$.
% Каждый вектор второго базиса, который также будем называть <<новым>>,
% разложим по первому базису, называемому также <<старым>>:
% $$
%    e'_j = \alpha_{1j} e_1 + \dots + \alpha_{nj} e_n
% \quad\mbox{т.\,е.}\quad
% [e_j']_e=
% \left(
% \begin{array}{c}
%    \alpha_{1j} \\ \alpha_{2j} \\ \vdots \\ \alpha_{nj}
% \end{array}
% \right)
%    \quad
%    (j=1,\dots ,n).    
% \tag{f_zamena_basis}
% $$
% Найдем связь координат произвольного вектора $x$ в этих базисах.
% Пусть
% $$
% x = x_1 e_1 + \dots + x_n e_n = x'_1 e'_1 + \dots + x'_n e'_n,
% $$
% т.\,е.
% $$
% [x]_e=
% \left(
% \begin{array}{c}
%    x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n
% \end{array}
% \right),
%    \qquad
% [x]_{e'}=
% \left(
% \begin{array}{c}
%    x'_1 \\ x'_2 \\ \vdots \\ x'_n
% \end{array}
% \right).
% $$
% Имеем
% $$
% x = \sum_{j=1}^{n} x'_j e'_j
%   = \sum_{j=1}^{n} x'_j \sum_{i=1}^n \alpha_{ij} e_i
%   = \sum_{i=1}^n
%     \underbrace
%     {
%       \left( \sum_{j=1}^{n} \alpha_{ij} x'_j \right)
%     }_{x_i}
%     e_i.
% $$
% Так как координаты вектора в любом фиксированном базисе определяются единственным образом,
% то
% $$
% x_i = \sum_{j=1}^{n} \alpha_{ij} x'_j \qquad (i=1,2,\dots,n)
% $$
% (формула, связывающая координаты одного и того же вектора в разных базисах).
% 
% \section{Системы координат}
% 
% В этом разделе векторы любых линейных пространств иногда будут называться точками.
% Такое изменение в названии аппелирует к геометрическим представлениям:
% как уже отмечалось, вектор пространства $\VV_3$, закрепленный в полюсе,  
% можно ассоциировать с точкой, являющейся его концом.
% 
% {\em Системой координат} линейного пространства $V$ назовем совокупность
% точки $O$ из $V$ и базиса $e_1, e_2, \dots, e_n$ этого пространства.
% {\em Координатами точки} $A\in V$ в этой системе координат назовем координаты
% вектора $A-O$ в базисе $e_1, e_2, \dots, e_n$, т.\,е.
% $[A]_{O,e}=[A-O]_e$. Исследуем как меняются координаты точки
% при изменении системы координат.
% 
% Пусть <<старая>> система координат $O, e_1,\dots ,e_n$ заменена на <<новую>>
% $O', e'_1, \dots, e'_n$, причем справедливы формулы \Ref{f_zamena_basis}
% и
% $$
% O'-O = \sum_{j=1}^n \gamma_j e_j, 
% \quad\mbox{т.\,е.}\quad
% [O']_{O,e}=[O'-O]_e=
% \left(
% \begin{array}{c}
%    \gamma_1 \\ \gamma_2 \\ \vdots \\ \gamma_n
% \end{array}
% \right).
% $$
% 
% Пусть $A$ --- произвольная точка пространства $V$, причем
% $$
% A-O'= x_1 e_1 + \dots + x_n e_n = x'_1 e'_1 + \dots + x'_n e'_n,
% $$
% т.\,е.
% $$
% [A-O']_e=
% \left(
% \begin{array}{c}
%    x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n
% \end{array}
% \right),
%    \qquad
% [A-O']_{e'}=[A]_{O',e'}=
% \left(
% \begin{array}{c}
%    x'_1 \\ x'_2 \\ \vdots \\ x'_n
% \end{array}
% \right).
% $$
% 
% Так как $A-O=(O'-O)+(A-O')$, то
% $$
% \begin{array}{c}
% \Sum_{i=1}^n x_i e_i = \Sum_{i=1}^n \gamma_i e_i + \Sum_{j=1}^n x'_j e_j'  
%                      = \Sum_{i=1}^n \gamma_i e_i + \Sum_{j=1}^n x'_j \Sum_{i=1}^n \alpha_{ij}e_i = \\[.5em]
%                      = \Sum_{i=1}^n \gamma_i e_i + \Sum_{i=1}^n \left(\Sum_{j=1}^n \alpha_{ij}x'_j\right)e'_i .
% \end{array}
% $$
% Так как координаты вектора в любом фиксированном базисе определяются единственным образом,
% то
% $$
% x_i = \gamma_i + \sum_{j=1}^{n} \alpha_{ij} x'_j  \qquad (i=1,2,\dots,n)
% $$
% (формула, связывающая координаты одной и той же точки в разных системах координат).


\newslide

\section{Rank of a matrix}

Let $F^{m\times n}$ be the set of all matrix with $m$ rows and $n$ columns.

Let $A \in F^{m\times n}$.

\pause 

Consider columns $a_1, \dots , a_n$ of
$A=(a_1, \dots , a_n)$ as vectors of $F^m$.

\pause

Consider rows $\widetilde{a}_1, \dots , \widetilde{a}_m$ of $A$ as vectors of $F^n$.

\pause

A basis of the system $a_1, \dots , a_n$ is called a {\em column basis} of $A$.

The rank of the system $a_1, \dots , a_n$ is called a {\em column rank} of $A$.

\pause

A basis of the system $\widetilde{a}_1, \dots , \widetilde{a}_n$ is called a {\em row basis} of $A$.
                                                                                                       
The rank of the system $\widetilde{a}_1, \dots , \widetilde{a}_n$ is called a {\em row rank} of $A$.

\newslide

$$
A=
\left(
\begin{array}{ccccccc}
  1 & 0 & 3 & 0 & 2 \\
  0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\
  0 & 0 & 0 & 1 & 6 \\
  0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{array}
\right)
\qquad
\begin{array}{c}
  \widetilde{a}_1 = (1, 0, 3, 0, 2),\\
  \widetilde{a}_2 = (0, 1, 1, 0, 1),\\
  \widetilde{a}_3 = (0, 0, 0, 1, 6),\\
  \widetilde{a}_4 = (0, 0, 0, 0, 0),\\
\end{array}
$$

$$
a_1 = 
\left(
\begin{array}{cccccc}
  1 \\
  0 \\
  0 \\
  0 \\
\end{array}
\right),~
a_2 = 
\left(
\begin{array}{cccccc}
  0 \\
  1 \\
  0 \\
  0 \\
\end{array}
\right),~
a_3 = 
\left(
\begin{array}{cccccc}
  3 \\
  1 \\
  0 \\
  0 \\
\end{array}
\right),~
a_4 = 
\left(
\begin{array}{cccccc}
  0 \\
  0 \\
  1 \\
  0 \\
\end{array}
\right),~
a_5 = 
\left(
\begin{array}{cccccc}
  2 \\
  1 \\
  6 \\
  0 \\
\end{array}
\right),~
$$

\pause

$a_1$, $a_2$, $a_4$ form a column base.
This sytem is l.i. and equivalent to the whole of system:
$
a_3 = 3a_1 + a_2,\quad
a_5 = 2a_1 + a_2 + 6a_4
$

\pause

$\widetilde{a}_1$, $\widetilde{a}_2$, $\widetilde{a}_3$ form a row base.
This sytem is l.i. and equivalent to the whole of system.


\begin{proposition}
The column rank of a matrix in r.r.e.f. is equal to its row rank.
\end{proposition}

\pause
% \newslide
\begin{proof}
{\footnotesize
$$ \renewcommand{\star}{*}\newcommand{\zz}{ }
A=
\left(
  \begin{array}{ccccccccccccccc}
      0   & \dots &    0   & 1 & \star & \dots & \star & 0 & \star & \dots & \star & 0 & \star & \dots & \star \\
      0   & \dots &    0   & 0 &   0   & \dots &   0   & 1 & \star & \dots & \star & 0 & \star & \dots & \star \\
\multicolumn{15}{c}{\dotfill} \\
      0   & \dots &    0   & 0 &   0   & \dots &   0   & 0 &   0   & \dots &   0   & 1 & \star & \dots & \star \\
      0   & \dots &    0   & 0 &   0   & \dots &   0   & 0 &   0   & \dots &   0   & 0 &  0    & \dots &   0   \\
\multicolumn{15}{c}{\dotfill} \\
      0   & \dots &    0   & 0 &   0   & \dots &   0   & 0 &   0   & \dots &   0   & 0 &  0    & \dots &   0   \\
  \end{array}
\right)
$$}%
\pause
Columns $j_1,\dots,j_r$ of a matrix in r.r.e.f. form a column base.

From the other hand, rows $1,2,\dots,r$ form a row base.

So row rank and column rank equal to $r$.
\end{proof}

% \begin{remark}
% Также легко видеть, что строчечный и столбцовый ранги 
% ступенчатой матрицы \Ref{f_step_matrix}
% раны $r$.
% \end{remark}

\newslide

\begin{proposition}
Let matrix $A'=(a'_1, \dots , a'_n)$ is row equivalent to
$A=(a_1, \dots , a_n)$.
If $a_{j_1}, \dots ,a_{j_r}$ form a column base of $A$, then 
$a'_{j_1}, \dots ,a'_{j_r}$ form a column base of $A'$.
\end{proposition}

\begin{proof}
Let's prove that vectors $a'_{j_1}, \dots ,a'_{j_r}$ are l.i.

Since vectors $a_{j_1}, \dots ,a_{j_r}$ are l.i. then the system of linear equations
(with unknowns $\alpha_1, \dots , \alpha_r$)
$$
\alpha_1 a_{j_1} + \dots + \alpha_r a_{j_r} = 0
\tag{fsystemeqli}
$$
has a unique (zero) solution. 

Let's perform the same row operation with the matrix of this system as with $A$. 

It's obvious that we get the system
$$
\alpha'_1 a_{j_1} + \dots + \alpha'_r a_{j_r} = 0.
$$
This system is equivalent to (\ref{fsystemeqli}), hence it also has the unique (zero)
solution that means that vectors $a'_{j_1}, \dots ,a'_{j_r}$ are l.i.

Now prove that for every $j \in \set{1,\dots,n}$ the vector $a'_j$
is expressed in terms of $a'_{j_1}, \dots ,a'_{j_r}$. 

The system
$$
\alpha_1 a_{j_1} + \dots + \alpha_r a_{j_r} = a_j
$$
is consistent, so the system
$$
\alpha_1 a'_{j_1} + \dots + \alpha_r a'_{j_r} = a'_j,
$$
is also consistent (because they are row equivalent).
\end{proof}

\pause

\begin{corollary}
Elementary row operations don't change the column rank of a matrix.
\end{corollary}

\begin{corollary}
Elementary column operations don't change the row rank of a matrix.
\end{corollary}

\newslide

\begin{example}
Find a column base of the matrix $A$ and
express its column as a linear conbination of columns in the base:
$$
A=
\left(
\begin{array}{rrrrr}
     1 &   2 &   3 &  -1 &   1 \\
    -3 &  -6 &  -9 &   3 &  -3 \\
     2 &   4 &   6 &   1 &   2 \\
     2 &   5 &   7 &  -1 &  -1 \\
\end{array}
\right).
$$

\newslide
Using elementary row operations transform the matrix to r.r.e.f.:
$$
A=
\left(
\begin{array}{rrrrr}
     1 &   2 &   3 &  -1 &   1 \\
    -3 &  -6 &  -9 &   3 &  -3 \\
     2 &   4 &   6 &   1 &   2 \\
     2 &   5 &   7 &  -1 &  -1 \\
\end{array}
\right)
\to
\left(
\begin{array}{rrrrr}
     1 &   2 &   3 &  -1 &   1 \\
     0 &   0 &   0 &   0 &   0 \\
     0 &   0 &   0 &   3 &   0 \\
     0 &~~ 1 &~~ 1 &   1 &  -3 \\
\end{array}
\right)
\to
$$
$$
\to
\left(
\begin{array}{rrrrr}
     1 &~~ 0 &~~ 1 &  -3 &   7 \\
     0 &   1 &   1 &   1 &  -3 \\
     0 &   0 &   0 &   3 &   0 \\
     0 &   0 &   0 &   0 &   0 \\
\end{array}
\right)
\to
\left(
\begin{array}{rrrrr}
     1 &~~ 0 &~~ 1 &~~ 0 &   7 \\
     0 &   1 &   1 &   0 &  -3 \\
     0 &   0 &   0 &   1 &   0 \\
     0 &   0 &   0 &   0 &   0 \\
\end{array}
\right).
$$
In the obtained matrix columns $1$, $2$, $4$ form a base.
Hence  $a_1$, $a_2$, $a_4$ form a base in $A$.

$a_3 = a_1 + a_2$, $a_5 = 7a_1 - 3a_2$.
\end{example}

\newslide

\begin{proposition}
Let $A'$ be row equivalent to $A$.
If $\widetilde a_1, \dots , \widetilde a_m$ are rows of $A$,
$\widetilde a'_1, \dots , \widetilde a'_m$ are rows of $A'$, 
then
$L(\widetilde a_1, \dots , \widetilde a_m) =
L(\widetilde a'_1, \dots , \widetilde a'_m)$.
So systems
$\widetilde a_1, \dots , \widetilde a_m$ 
and
$\widetilde a'_1, \dots , \widetilde a'_m$
are equivalent.
\end{proposition}

\begin{proof}
Let's consider the third kind of row transfromations
(add a multiple of a row to another row).
It is not hard to see that systems
$$
\begin{array}{c}
\widetilde a_1, \dots , \widetilde a_i, \dots , \widetilde a_j, \dots ,\widetilde a_m;\\
\widetilde a_1, \dots , \widetilde a_i + \alpha \widetilde a_j, \dots , \widetilde a_j, \dots ,\widetilde a_m
\end{array}
$$
are equivalent.
\end{proof}

\pause

\begin{corollary}
Elementary row operations don't change the row rank of a matrix.
\end{corollary}

\begin{corollary}
Elementary column operations don't change the column rank of a matrix.
\end{corollary}


\newslide

\begin{theorem}
The row rank of a matrix equals to its column rank.
\end{theorem}

\begin{proof}
A matrix can be reduced to r.r.e.f. by row operations.
But row and column ranks of a matrix in r.r.e.f. coincide.
Hence they coincide for the original matrix.
\end{proof}

The row rank (column rank) of a matrix is simply called
a {\em rank of the matrix}. Notation: $\rank A$.

% \begin{note}
% Как мы уже видели, для нахождения столбцовой базы удобно применять
% элементарные преобразования строк матрицы, приводящие ее к простейшему (или
% ступенчатому) виду. Это позволяет также сразу найти коэффициенты линейных
% комбинаций, выражающих столбцы матрицы через базу. Аналогично, для
% нахождения строчечной базы удобно применять элементарные преобразования
% столбцов матрицы. Если же нужно определить только ранг матрицы, то можно
% применять любые элементарные преобразования строк и столбцов.
% \end{note}
% 
% \begin{example}
% Найдем ранг матрицы
% $$
% A=\left(
% \begin{array}{rrrr}
% 25	& -75	& 50	& 25  \\
% -39	& 119	& -80	& -39 \\
% 18	& -57	& 39	& 18  \\
% 103	& -305	& 203	& 99  \\
% 97	& -293	& 191	& 117 \\
% \end{array}
% \right).
% $$
% Ко второму столбцу прибавим первый, умноженный на $3$;
% из третьего столбца вычтем первый, умноженный на $2$;
% из четвертого столбца вычтем первый. Получим:
% $$
% \left(
% \begin{array}{rrrr}
%     25 &     0 &     0 &     0  \\
%    -39 &     2 &    -2 &     0  \\
%     18 &    -3 &     3 &     0  \\
%    103 &     4 &    -3 &    -4  \\
%     97 &    -2 &    -3 &    20  \\
% \end{array}
% \right).
% $$
% К третьему столбцу прибавим второй:
% $$
% \left(
% \begin{array}{rrrr}
%     25 &     0 &     0 &     0 \\ 
%    -39 &     2 &     0 &     0 \\ 
%     18 &    -3 &     0 &     0 \\ 
%    103 &     4 &     1 &    -4 \\ 
%     97 &    -2 &    -5 &    20 \\ 
% \end{array}
% \right).
% $$
% К четвертому столбцу прибавим третий, умноженный на $4$:
% $$
% \left(
% \begin{array}{rrrr}
%     25 &     0 &     0 &     0 \\
%    -39 &     2 &     0 &     0 \\
%     18 &    -3 &     0 &     0 \\
%    103 &     4 &     1 &     0 \\
%     97 &    -2 &    -5 &     0 \\
% \end{array}
% \right)
% $$
% Ранг матрицы равен $3$.
% \end{example}
% 
% \begin{exercize}
% Показать, как с помощью элементарных преобразований строк найти строчечную базу матрицы $A$.
% \end{exercize}
% 
% \begin{dopiare}
% \begin{theorem}
% Пусть столбцы $a_{j_1}, \dots, a_{j_r}$ составляют столбцовую базу матрицы $A$.
% Тогда элементарными преобразованиями строк матрицу $A$ можно привести к простейшему виду,
% так, что на месте этих столбцов будут стоять векторы $e_1, e_2, \dots, e_r$.
% \end{theorem}
% \begin{proof}
% Переставим столбцы $a_{j_1}, \dots, a_{j_r}$ в начало матрицы и применим 
% к полученной матрице алгоритм Гаусса--Жордана. Этот алгоритм приводит матрицу
% к виду, который является и простейшим, и ступенчатым.
% Если на месте первых $r$ столбцов 
% не получены $e_1, e_2, \dots, e_r$, то эти столбцы не составляют базы полученной
% матрицы, а, следовательно, столбцы $a_{j_1}, \dots, a_{j_r}$ не составляют
% базы для исходной матрицы.
% \end{proof}
% \end{dopiare}

\newslide

\begin{theorem}[Kroneker, Capelli] \label{th_Kroneker_Capelli}
The system of linear equation is consistent iff
the rank of the coefficient matrix of the system equals 
to the rank of enlarged matrix of the system.
\end{theorem}

\begin{proof} 
% Рассмотрим два доказательства теоремы.
% 
% \titlesc{1-й способ.}
Using elementary row operations transform the enlarged matrix $(A, b)$
to r.r.e.f. $(A', b')$.

But a system is consistent iff the r.r.e.f. of the enlarged matrix doesn't
contain rows
$$
(0,0,\dots,0,1).
$$
So the system is consistent
iff $\rank(A', b')=\rank A'$, but $\rank (A', b')= \rank (A, b)$, $\rank A'= \rank A$,
that's equivalent to $\rank(A,b)=\rank A$.
% \titlesc{2-й способ.}
% Систему уравнений можно записать в виде $a_1 x_1 + \dots + a_n x_n = b$, где
% $a_1,\dots,a_n$ --- столбцы матрицы $A$. Очевидно, что совместность системы 
% эквивалентна условию $b \in L(a_1, \dots, a_n)$. Докажем, что это  
% эквивалентно условию $\rank \set{a_1, \dots, a_n} = 
% \rank \set{a_1, \dots, a_n, b}$. 
% 
% Если $b \in L(a_1, \dots, a_n)$,
% то $\rank \set{a_1, \dots, a_n} = \rank \set{a_1, \dots, a_n, b}$.
% 
% Пусть теперь $\rank \set{a_1, \dots, a_n} = \rank \set{a_1, \dots, a_n, b}$.
% Если $a_{j_1}, \dots a_{j_r}$ --- база системы  $a_1, \dots, a_n$, 
% то $\rank \set{a_{j_1}, \dots, a_{j_r}} = \rank \set{a_{j_1}, \dots, a_{j_r}, b}$,
% поэтому система $a_{j_1}, \dots, a_{j_r}, b$ линейно зависима,
% и, следовательно, найдется вектор в этой системе,
% линейно выражающийся через остальные. Так как 
% система $a_{j_1}, \dots, a_{j_r}$ линейно независима, то этим вектором
% может быть только $b$, т.\,е. $b\in L(a_{j_1}, \dots, a_{j_r}) = L(a_1, \dots, a_n)$.
\end{proof}

\pause

\begin{corollary}
The number of dependent unknowns of a consistent system of linear equations
equals to the rank of the matrix.
\end{corollary}

\newslide


\section{Null space of a matrix}

Consider a homogenius system of linear equations with coefficient matrix $A\in F^{m\times n}$.

Denote the set of all solutions to the system as $N(A)$.

\pause

We know that $N(A)$ is subspace in $F^n$.

It's call a {\em null space of a matrix}.

The dimension of $N(A)$ is called the {\em defect} (or {\em nullity}) of $A$.
Notation: $\defect A$

\newslide

\begin{exercize}
Consider the system
$$
\left\{
\begin{narrowarray}{rcrcrcrcrcr}
        x_1 & + & 3x_2 & + & 2x_3 & + & 4x_4 &  + & x_5 & = & 0,\\     
       3x_1 & + & 2x_2 & + & 2x_3 & + &  x_4 &  + & x_5 & = & 0.\\     
\end{narrowarray}
\right.
$$
The coefficient matrix can be transformd to the following r.r.e.f.:
$$
A=
\left(
\begin{array}{cccccc}
       1 &            3 &            2 &            4 &            1 \\     
       3 &            2 &            2 &            1 &            1 \\     
\end{array}
\right)
\to
\left(
\begin{array}{cccccc}
       1 &            0 &            \fraccc{2}{7} &          \fraccc{-5}{7} &         \fraccc{1}{7} \\    
       0 &            1 &            \fraccc{4}{7} &          \fraccc{11}{7} &         \fraccc{2}{7} \\    
\end{array}
\right).
$$
Thus the common solution to the system can written as
$$
\left(
\begin{array}{c}
  x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{c}
  -\fraccc{2}{7} \\ -\fraccc{4}{7} \\ 1 \\ 0 \\ 0
\end{array}
\right) \cdot t_1
+
\left(
\begin{array}{c}
  \fraccc{5}{7} \\ -\fraccc{11}{7} \\ 0 \\ 1 \\ 0
\end{array}
\right) \cdot t_2
+
\left(
\begin{array}{c}
 -\fraccc{1}{7} \\ -\fraccc{2}{7}  \\ 0 \\ 0 \\ 1
\end{array}
\right) \cdot t_3
$$
or (multiplying by $7$)
$$
\left(
\begin{array}{c}
  x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{c}
  -2 \\ -4 \\ 7 \\ 0 \\ 0
\end{array}
\right) \cdot \tau_1
+
\left(
\begin{array}{c}
  5 \\ -11 \\ 0 \\ 7 \\ 0
\end{array}
\right) \cdot \tau_2
+
\left(
\begin{array}{c}
 -1 \\ -2 \\ 0 \\ 0 \\ 7
\end{array}
\right) \cdot \tau_3
$$
$\tau_1, \tau_2, \tau_3 \in F$.

$\rank A = 2$ (the number of non-zero rows in r.r.e.f. $=$ the number of dependent unknowns), 

$\defect A = \dim N(A) = 3$ (the number of independent unknowns)

$$
\rank A + \defect A = n.
$$
\end{exercize}

\newpage


\begin{theorem}
Let $A \in F^{m\times n}$, $\rank A = r$.
Then $\defect A = n - r$.
\end{theorem}
% \begin{proof}
% Утверждение сразу следует из формул (\ref{fcommonsol1col}), описывающих 
% множество $M(A,0)$.
% \end{proof}

\pause

A basis of $N(A)$ is called a {\em fundamental system of solutions} 
to the homogenius system of equations.

\pause

\begin{corollary}
Any linearly independent system of $n-r$ partial solutions to a system of
homogenius linear equations forms a fundamental system of solutions.
\end{corollary}

\newslide


\section{Linear variety}

Let $V$ be a linear space over a field $F$. 

Let $a_0 \in V$.

$L$ is a subspace in $V$. 

Notation $a_0 + L$ means the set of all possible vectors $a_0 + x$, 
where $x$ is arbitrary vectors in $L$. 

$a_0 + L$ is called a {\em linear variety} (or {\em linear manifold})
generated form the vector $a_0$ and the subspace $V$.

The {\em dimension} of $a_0 + L$ is $\dim(a_0 + L) = \dim L$.

% Подпространство $V$ называется также
% {\em несущим} подпространством для многообразия $a_0 + L$.

% \begin{proposition}
% Следующие три утверждения эквивалентны:
% \begin{enumerate}
%   \item $a_0 + L = b_0 + L$,
%   \item $b_0 \in a_0 + L$,
%   \item $b_0 - a_0 \in L$.
% \end{enumerate}
% \end{proposition}
% 
% \begin{proof}
% Импликации $1 \to 2$, $2 \to 3$ очевидны. Докажем импликацию $3 \to 1$
% Пусть $b_0 - a_0 \in L$, тогда $b_0 = a_0 + l$ для некоторого $l \in L$.
% Рассмотрим произвольный вектор $a = a_0 + x$ из $a_0 + L$, $x \in L$.
% Имеем $a = b_0 + (x - l)$, поэтому $a \in b_0 + L$, откуда
% $a_0 + L \subseteq b_0 + L$. Аналогично можно показать, что
% $b_0 + L \subseteq a_0 + L$.
% \end{proof}
% 
% \begin{note} Импликация $2 \to 1$ означает, что многообразие порождается
% любым своим представителем. Эквивалентность $1 \sim 3$ дает критерий
% совпадения двух линейных многообразий с одинаковым несущим подпространством.
% \end{note}
% 
% \begin{proposition}
% Пусть $a_0$, $b_0$ --- векторы, $L$, $L'$ --- подпространства. Тогда,
% если $a_0 + L = b_0 + L'$, то $L = L'$.
% Таким образом, несущее подпространство
% линейного многообразия определяется единственным образом.
% \end{proposition}

% \begin{proof}
% Из предыдущего утверждения следует, что, если $a_0 + L = b_0 + L'$, то
% $a_0 + L = a_0 + L'$, поэтому для любого $x$ из $L$ найдется такой $y$
% из $L'$, что $a_0 + x = a_0 + y$, откуда $x = y$, т.\,е. $x \in L'$, а,
% следовательно, $L \subseteq L'$. Аналогично можно показать, что 
% $L' \subseteq L$.
% \end{proof}
% 
% Из доказанного утверждения следует корректность следующего определения.
% {\em Размерностью} линейного многообразия $a_0 + L$ называется размерность
% его несущего подпространства $L$: $\dim (a_0 + L) = \dim L$.
% 
% Линейное многообразие размерности $1$ называется {\em прямой},
% размерности $2$ --- {\em плоскостью}\footnote{Иногда плоскостью называют
% линейное многообразие произвольной размерности}, размерности $n-1$ ---
% {\em гиперплоскостью}.

\pause

\begin{proposition}
The set of all solutions to the consistent system of linear equtions 
is a linear variety.
\end{proposition}

\newslide

\begin{example}
Consider the system
$$
\left\{
\begin{narrowarray}{rcrcrcr}
        x_1 & + & 2x_2 & + &  x_3 & = & 2, \\     
       2x_1 & + & 3x_2 & + & 4x_3 & = & 1, \\     
\end{narrowarray}
\right.
$$
Transform its enlarged matrix to r.r.e.f.:
$$
\left(
\begin{array}{rrr|r}
       1 &            2 &            1 &            2 \\     
       2 &            3 &            4 &            1 \\     
\end{array}
\right)
\to
\left(
\begin{array}{rrr|r}
       1 &            0 &            5 &           -4 \\     
       0 &            1 &           -2 &            3 \\     
\end{array}
\right)
$$
The common solution is
$$
\left(
\begin{array}{c}
x_1\\ x_2\\ x_3
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{r}
4 \\ -3 \\ 0
\end{array}
\right)
+
\left(
\begin{array}{r}
-5 \\ 2 \\ 1
\end{array}
\right)
\cdot t,
\qquad t\in F
$$
The set of all solutions is linear variety $a_0 + L$, where
$$
a_0 = 
\left(
\begin{array}{r}
4 \\ -3 \\ 0
\end{array}
\right),
\qquad
L = \Lin\set{a_1},
\qquad
a_1 =
\left(
\begin{array}{r}
-5 \\ 2 \\ 1
\end{array}
\right).
$$
\end{example} 

\pause

\begin{theorem} \label{tmrslou}
Let $A \in F^{m\times n}$, $b \in F^m$, $\rank A = r$.
The set of all solutions to the consistent system of linear equtions with
enlarged matrix $(A, b)$
is a linear variety $a_0 + L$, where $a_0$ is any partial solution of the system,
and $L$ is the common solution to the corresponding homogenius system (i.e. null space of $A$).
Moreover, $\dim(a_0 + L) = n - r$.
\end{theorem}
% \begin{proof}
% Утверждение сразу следует из формул (\ref{fcommonsol1col}), описывающих 
% множество $M(A,b)$.
% \end{proof}
% 
% \begin{theorem}
% Пусть $A \in F^{m\times n}$, $b \in F^m$, $a_0 \in M(A,0)$, тогда
% $$
% M(A,b) = x_0 + M(A,0). \tag{f12hjkh}
% $$
% Таким образом, несущим подпространством множества
% решений системы линейных уравнений является линейное пространство
% решений соответствующей однородной системы.
% \end{theorem}
% 
% \begin{proof}
% Утверждение сразу следует из формул (\ref{fcommonsol1col}).
% \end{proof}
% 
% \begin{note}
% Можно дать следующую словесную формулировку теоремы: общее решение $M(A,b)$
% неоднородной системы уравнений есть ее частное решение $x_0$ плюс общее решение
% $M(A,0)$ соответствующей однородной системы.
% \end{note}
% 
% \begin{proposition}
% Для того, чтобы линейное уравнение являлось следствием
% совместной линейной системы необходимо и достаточно, чтобы
% оно являлось линейной комбинацией уравнений этой системы.
% \end{proposition}
% \begin{proof}
% Достаточность условий очевидна.
% Для доказательства необходимости заметим, что добавление уравнения-следствия
% к совместной линейной системе не должно менять ранга этой системы,
% откуда получаем требуемое.
% \end{proof}

\newslide

\section{Representing
linear subspaces and varieties as a set of all solutions
to a system of linear equations}

% Ранее мы видели, что множество решений однородной (соответственно неоднородной)
% системы линейных уравнений есть линейное подпространство (соответственно
% многообразие) арифметического пространства. В этом разделе мы покажем обратное: 
% любое линейное подпространство (соответственно многообразие) арифметического
% пространства является множеством решений некоторой однородной (соответственно
% неоднородной) системы линейных уравнений.

\begin{theorem} \label{th_dual_descr_lin_subspace}
Any linear subspace in $F^n$ can be represented as the set of all solutions
to a system of linear hoogenius equtions.
\end{theorem}

% \begin{proof}
% Пусть $L = L(b_1, \dots, b_s)$, где $b_i = (b_{i1},\dots,b_{in})\transpose$
% ($i=1,\dots,s$). Рассмотрим систему линейных однородных уравнений
% $$
% \left\{
% \begin{array}{l}
% b_{11} x_1 + b_{12} x_2 + \dots + b_{1n} x_n = 0;\\
% b_{21} x_1 + b_{22} x_2 + \dots + b_{2n} x_n = 0;\\
% \dotfill                                         \\
% b_{s1} x_1 + b_{s2} x_2 + \dots + b_{sn} x_n = 0.
% \end{array}
% \right.
% \tag{fqpwioeu1}
% $$
% Пусть векторы
% $$
% \left(
% \begin{array}{c}
% a_{11}\\
% a_{12}\\
% \vdots\\
% a_{1n}
% \end{array}
% \right),~
% \left(
% \begin{array}{c}
% a_{21}\\
% a_{22}\\
% \vdots\\
% a_{2n}
% \end{array}
% \right),~
% \dots ,~
% \left(
% \begin{array}{c}
% a_{m1}\\
% a_{m2}\\
% \vdots\\
% a_{mn}
% \end{array}
% \right)
% $$
% образуют фундаментальную систему решений для (\ref{fqpwioeu1}).
% Покажем, что матрица $A=(a_{ij})$ --- искомая. Иными словами,
% покажем, что множество решений системы (\ref{feqsystem1}) есть
% заданное линейное подпространство.
% Действительно, этой системе удовлетворяют координаты
% каждого вектора $b_1, \dots , b_s$, следовательно,
% этой системе удовлетворяют координаты произвольного вектора из $L$.
% Таким образом, $L \subseteq M(A,0)$. С другой стороны, ранг системы
% (\ref{fqpwioeu1}) равен размерности пространства $L$, поэтому
% размерность $m$ пространства решений системы (\ref{fqpwioeu1})
% равна $m = n - \dim L$. Откуда
% $$
% \dim M(A,0) = n - m = n - (n - \dim L) = \dim L.
% $$
% Итак, $L \subseteq M(A,0)$ и $\dim M(A,0) = \dim L$.
% Следовательно, $L = M(A,0)$.
% \end{proof}

\begin{example} \label{ex_dual_descr_ex}
Let $L=L(b_1, b_2)\subseteq\RR^4$, where
$$
b_1 = 
\left(
\begin{array}{c}
1\\ 1\\ 0\\ 0
\end{array}
\right),
\qquad
b_2 = 
\left(
\begin{array}{c}
1\\ 1\\ 1\\ 1
\end{array}
\right).
$$
Find a system of linear equations
whoes the set of solutions is $L$.

% \titlesc{1-й способ.}
% Воспользуемся методом, описанным в доказательстве теоремы \ref{th_dual_descr_lin_subspace}.
% Рассмотрим систему
% $$
% \left\{
% \begin{narrowarray}{ccccccccl}
% x_1 & + & x_2 &   &     &   &     & = & 0, \\
% x_1 & + & x_2 & + & x_3 & + & x_4 & = & 0. \\
% \end{narrowarray}
% \right.
% $$
% Фундаментальную систему ее решений составляют, например, векторы
% $$
% b_1 = 
% \left(
% \begin{array}{c}
% 1\\ -1\\ 0\\ 0
% \end{array}
% \right),
% \qquad
% b_2 = 
% \left(
% \begin{array}{c}
% 0\\ 0\\ 1\\ -1
% \end{array}
% \right),
% $$
% поэтому в качестве искомой системы можно взять
% $$
% \left\{
% \begin{narrowarray}{ccccccccl}
% x_1 & - & x_2 &   &     &   &     & = & 0, \\
%     &   &     &   & x_3 & - & x_4 & = & 0. \\
% \end{narrowarray}
% \right.  \tag{fex_dual_descr_ex}
% $$
% 
% \titlesc{2-й способ.}

Consider the matrix $B$, compounded of columns $b_1$, $b_2$,
and the matrix $\widetilde{B}$, compounded of $b_1$, $b_2$, $x$.
We have that $x\in L(b_1, b_2)$ iff $\rank B = \rank \widetilde{B}$. 
Using elementary operations with rows let's reduce $\widetilde{B}$
to row echelon form:
$$
\widetilde{B}=
\left(
\begin{array}{cc|c}
1 & 1 & x_1 \\
1 & 1 & x_2 \\
0 & 1 & x_3 \\
0 & 1 & x_4 \\
\end{array}
\right)
\to
\left(
\begin{array}{cc|c}
1 & 1 & x_1     \\
0 & 0 & x_2-x_1 \\
0 & 1 & x_3     \\
0 & 1 & x_4     \\
\end{array}
\right)
\to
\left(
\begin{array}{cc|c}
1 & 1 & x_1      \\
0 & 1 & x_3      \\
0 & 0 & x_2-x_1  \\
0 & 0 & x_4-x_3  \\
\end{array}
\right).
$$
The rank of the matrix without the last column is $2$.
The rank of whole of matrix is also $2$ iff $x_2-x_1=0$ and $x_4-x_3$. 
These equations are compounded the requiered system:
$$
\left\{
\begin{narrowarray}{ccccccccl}
x_1 & - & x_2 &   &     &   &     & = & 0, \\
    &   &     &   & x_3 & - & x_4 & = & 0  \\
\end{narrowarray}
\right.  \tag{fex_dual_descr_ex}
$$
\end{example}

\newslide

\begin{theorem}
Any linear variety $b_0 + L$ in $F^n$
can be represented as the set of solution to a system 
of linear equtions.
\end{theorem}

% \begin{proof}
% Для подпространства $L$ построим однородную систему линейных уравнений с матрицей
% $A$, такую, что $L = M(A, 0)$. Положим $b = A b_0$. Из теоремы \ref{tmrslou}
% следует, что $b_0 = M(A, b)$.
% \end{proof}

\begin{example}
Let $L$ is the same as in Example \ref{ex_dual_descr_ex}, and
$$
b_0 = 
\left(
\begin{array}{c}
1\\ 0\\ 0\\ 1
\end{array}
\right).
$$
Find the system of linear equtions whose the set of all solutions is $b_0+L$.

Substituring the components of $b_0$ into the l.h.s. of \Ref{fex_dual_descr_ex}
we get values $1$, $-1$ correspondingly, hence, the set of all solutions to the system
$$
\left\{
\begin{narrowarray}{ccccccccr}
x_1 & - & x_2 &   &     &   &     & = & 1, \\
    &   &     &   & x_3 & - & x_4 & = & -1  \\
\end{narrowarray}
\right.
$$
coincides with $b_0+L$.
\end{example}

\newslide

% Описание линейного многообразия с помощью системы линейных уравнений удобно
% для нахождении пересечения линейных многообразий.

\begin{example}
Find the intersection of linear varieties $a_0+L(a_1, a_2)$ and $b_0+L(b_1, b_2)$, where
$$
a_0 = 
\left(
\begin{array}{c}
3\\ 2\\ 0\\ 2
\end{array}
\right),
\quad
a_1 = 
\left(
\begin{array}{c}
1\\ 0\\ 1\\ 2
\end{array}
\right),
\quad
a_2 = 
\left(
\begin{array}{c}
1\\ 1\\ 0\\ 0
\end{array}
\right),
$$
$$
b_0 = 
\left(
\begin{array}{r}
-4\\ -3\\ 1\\ -2
\end{array}
\right),
\quad
b_1 = 
\left(
\begin{array}{r}
2\\ 1\\ 0\\ 2
\end{array}
\right),
\quad
b_2 = 
\left(
\begin{array}{r}
0\\ 0\\ 1\\ 0
\end{array}
\right).
$$

\pause
First, find the systems of linear equations describing each of the varieties:
$$
\left\{
\begin{narrowarray}{rcrcrcrcr}
 x_1 & - &  x_2 & - & x_3 &   &     & = & 1,\\
2x_1 & - & 2x_2 &   &     & - & x_4 & = & 0,
\end{narrowarray}
\right.
\qquad
\left\{
\begin{narrowarray}{rcrcrcr}
x_1 & - & 2x_2 &   &     & = & 2,\\
    & - & 2x_2 & + & x_4 & = & 4
\end{narrowarray}
\right.
$$

\newslide
The intersection of the linear varieties is described by the system
$$
\left\{
\begin{narrowarray}{rcrcrcrcr}
 x_1 & - &  x_2 & - & x_3 &   &     & = & 1,\\
2x_1 & - & 2x_2 &   &     & - & x_4 & = & 0,\\
 x_1 & - & 2x_2 &   &     &   &     & = & 2,\\
     & - & 2x_2 &   &     & + & x_4 & = & 4.
\end{narrowarray}
\right.
$$

\pause the set of all its solutions is the requiered linear varieties $c_0+L(c_1)$, where
$$
c_0 = 
\left(
\begin{array}{r}
 2\\  0\\ 1\\ 4 
\end{array}
\right),
\quad
c_1 = 
\left(
\begin{array}{r}
2\\ 1\\ 1\\ 2
\end{array}
\right).
$$
\end{example}



\newslide

\chapter{Lines and Planes}

\newslide

\section{Lines in the plane}

Consider a (straight) line $\ell$ in the plane
passing throw a point $r_0$ and parallel to a vector $a \ne o$.

\pause

\begin{center}
\psset{xunit=.7cm,yunit=.7cm}
  \begin{pspicture}(0,1)(6,3)
    \psline[arrows=->](1,3)(2,3.5)
    \rput[lt](2,3.5){$~a$}

    \psdots(1,0.5)
    \rput[lt](1,0.5){$~r_0$}

    \psdots(3,1.5)
    \rput[lt](3,1.5){$~r$}

    \psline(0,0)(6,3)
    \rput[rb](6,3){$\ell~$}

  \end{pspicture}
\end{center}

\pause

\phantom{$\Leftrightarrow$} A point $r$ is in the line $\ell$ 
         $\Leftrightarrow$  $r-r_0$ is collinear to $a$ \\
         $\Leftrightarrow$  there exists a real scalar $t$ such that $r-r_0 = t\cdot a$ \\
         $\Leftrightarrow$  $r=r_0 + t\cdot a$

The last equation is the {\em vectorial equation of the line}.\\
$a$ is called the {\em direction vector} of the line, $t$ is parameter

\pause

\begin{note}
Each non zero multiple of a direction vector is a direction vector
\end{note}


\newslide

A line is $1$-dimensional linear variety!

\pause

Take a coordinate system.
All vectors have unique coordinates.
Say 
$$
[r]=(x,y), \qquad 
[r_0]=(x_0,y_0), \qquad
[a]=(\alpha, \beta)
$$

\pause

From $r = r_0 + ta$ we have
$$
\left\{
\begin{narrowarray}{l}
   x = x_0 + t\alpha,\\
   y = y_0 + t\beta,
\end{narrowarray}
\right.
\qquad
t \in \RR.
$$
These are the {\em parametric} (or {\em explicit}) {\em equations} of the line $\ell$


\newslide

We can express $t$ in each of the equations:
$$
t = \frac{x-x_0}{\alpha}, \qquad
t = \frac{y-y_0}{\beta}.
$$
Eliminate $t$ out of the parametric equations:
$$
\frac{x-x_0}{\alpha} = \frac{y-y_0}{\beta}.
$$
This is the {\em canonical equation} of the line.
If one of the values $\alpha$, $\beta$ is zero, the corresponding numerator is zero.

\pause

Transforming the canonical equation we obtain
$$
\beta x - \alpha y - \beta x_0 + \alpha y_0 = 0.
$$

Denote $A = \beta$, $B = -\alpha$, $C =  - \beta x_0 + \alpha y_0$.
We get so called {\em general} (or {\em implicit}) {\em equation of the line in the plane}:
$$
Ax + By + C = 0.
$$

\newslide

\begin{proposition}
Let $\ell$ have equation $Ax + By + C = 0$.

The coordinates of a direction vector of $\ell$ satisfy
the equation $Ax + By = 0$.

So the line with equation $Ax + By = 0$ is parallel to 
the line $\ell$ and goes through the origin.
\end{proposition}

\pause

\begin{center}
\psset{xunit=.7cm,yunit=.7cm}
  \begin{pspicture}(0,0)(6,6)

    \psline(0,3)(6,6)
    % \rput[rb](6,6){$\ell~$}
    \rput[lt](6,6){~$Ax + By + C = 0$~}

    \psdots(3,4.5)

    \psline[arrows=->](3,4.5)(5,5.5)
    \rput[rb](5,5.5){$a$~~}

    \psline(0,0)(6,3)
    \rput[lt](6,3){~$Ax + By = 0$}

    \psdots(3,1.5)
    \rput[lt](3,1.5){$~O$}

    \psline[arrows=->](3,1.5)(5,2.5)
    \rput[rb](5,2.5){$a$~~}


  \end{pspicture}
\end{center}



\newslide

\begin{exercize}
$[A] = (1,2)$, $[B]=(3,1)$.
Lets find a direction vector, write parametric equation, canonical equation, and general equation.

$a=\vect{AB}$, $[a]=(2,-1)$

$r_0 = A$, $[r_0] = (1,2)$

Parametric (explicit) equation:
$$
\left\{
\begin{narrowarray}{ccccr}
   x & = & 1 & + & 2t,\\
   y & = & 2 & - & t,
\end{narrowarray}
\right.
\qquad
t \in \RR.
$$

Canonical equation:
$$
\frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{-1}.
$$

General (implicit) equation:
$$
x + 2y - 5 = 0.
$$
\end{exercize}

\newslide

\begin{exercize}
Draw lines

$2x+3y=6$

$2x-3y=6$

$-2x+3y=6$

$2x+3y=-6$

$x=2$

$y=-6$

$x = 0$

$y = 0$

$$
\frac{x-5}{2} = \frac{y+2}{-1}.
$$

$$
\frac{x}{1} = \frac{y}{-1}.
$$

$$
\left\{
\begin{narrowarray}{ccrcr}
   x & = & -1 & - & 3t,\\
   y & = &  2 & - & 2t,
\end{narrowarray}
\right.
$$
\end{exercize}

\newslide

\section{Normal vector of a line in the plane} 

\begin{proposition}
Let the system of coordinates be rectangular cartesian.
A line $\ell$ has equation $Ax + By + C = 0$.
Let $[n]=(A,B)$.

Then $n$ is orthogonal to all the vectors in line $\ell$
and the direction of $n$ is ortogonal to $\ell$ and to all
parallel lines.

$n$ is called a {\em normal vector} to the line $\ell$.
\end{proposition}

\pause

\begin{proof}
The line with equation $Ax + By = 0$ is parallel to $\ell$
and goes through the origin.

\pause

For each point $r'(x',y')$ we have

$r'$ is in $\ell$ $\Leftrightarrow$ $Ax'+By'=0$ $\Leftrightarrow$ $r'$ and $n$ are orthogonal
\end{proof}

% For each point P(a,a',a") we have 
%  
%         P(a,a',a") is in the plain ux + vy + wz = 0
% <=>
%                 u.a + v.a'+ w.a"= 0
% <=>
%         The vectors P(a,a',a") and N(u,v,w) are orthogonal
% 
% Hence, the vector N(u,v,w) is orthogonal to all the vectors P in plane ux + vy + wz = 0. 
% The direction of N is orthogonal to this plane and to all parallel planes. 
% N is called a normal vector to these planes. Conclusion:
% 
%  
%         The direction of vector N(u,v,w) is orthogonal
%                 to the plane ux + vy + wz + t = 0
%         This vector is a normal vector to that plane.

\newslide

\pause

\begin{center}
\psset{xunit=.7cm,yunit=.7cm}
  \begin{pspicture}(0,0)(8,8)

    \psline(2,7)(8,4)
    \rput[rt](2,7){$Ax + By + C = 0$~}

    \psline[arrows=->](5,5.5)(5.5,6.5)
    \rput[lt](5.5,6.5){$~n~$}

    \psline(0,3)(6,0)
    \rput[rt](0,3){~$Ax + By = 0$~}

    \psdots(3,1.5)
    \rput[rt](3,1.5){$~O~$}

    \psline[arrows=->](3,1.5)(3.5,2.5)
    \rput[lt](3.5,2.5){$~n~$}

    \psline[arrows=->](3,1.5)(5,0.5)
    \rput[b](5,0.9){$r'$}

  \end{pspicture}
\end{center}

\pause

\begin{note}
Normal vector is orthogonal to a direction vector of the line
\end{note}

\begin{note}
Each non zero multiple of a normal vector is a normal vector
\end{note}

Normal equation of the line $$(r-r_0,n)=0.$$

\newslide

\begin{exercize}
What are the direction vectors and normal vector of the following lines?

$2x+3y=6$

$2x-3y=6$

$-2x+3y=6$

$2x+3y=-6$

$x=2$

$y=-6$

$x = 0$

$y = 0$

$$
\frac{x-5}{2} = \frac{y+2}{-1}.
$$

$$
\frac{x}{1} = \frac{y}{-1}.
$$

$$
\left\{
\begin{narrowarray}{ccrcr}
   x & = & -1 & - & 3t,\\
   y & = &  2 & - & 2t,
\end{narrowarray}
\right.
$$
\end{exercize}

\newslide

\subsection{Distance from a point to a line in the plane}

We want to find the distance $\rho$ 
from a point $r'(x',y')$ to a line $Ax+By+C=0$.
Coordinate system is rectangular cartesian.


\begin{center}
\psset{xunit=.7cm,yunit=.7cm}
  \begin{pspicture}(0,0)(6,6)

    \psdots(5,5.5)
    \rput[lb](5,5.5){~$r'(x',y')$}


    \psline(0,3)(6,0)
    \rput[rt](0,3){~$Ax + By + C = 0$~}

    \psdots(3,1.5)

    \psline[linestyle=dashed](3,1.5)(5,5.5)
    \rput[rb](4,3.5){$\rho={?}$~}
  \end{pspicture}
\end{center}

$$
\rho = \frac{Ax'+By'+C}{\sqrt{A^2+B^2}}
$$

\newslide

\begin{proof}

Let the line $\ell$ has a normal equation $(r-r_0, n)=0$,
where $n(A,B)$ is a normal vector to the line $\ell$
and $r_0$ is a point in the line.

So $n$ is a direction vector of a line ortogonal to $\ell$.

\begin{center}
\psset{xunit=.7cm,yunit=.7cm}
  \begin{pspicture}(-3,0)(6,6)

    \psdots(5,5.5)
    \rput[lt](5,5.5){~$r'(x',y')$}


    \psline(0,3)(6,0)
    \rput[rt](0,3){~$(r-r_0, n)=0$~}

    \psdots(3,1.5)
    \rput[lb](3,1.5){~~$r''$}

    \psline[linestyle=dashed](2,-0.5)(6,7.5)
    \rput[lt](4,3.5){~~$r=r'+nt$~}
  \end{pspicture}
\end{center}

And the line passing through $r'$ and orthogonal to $\ell$ has
equation $r=r'+nt$.

\newslide

Let the dot where $\ell$ and $r=r'+nt$ intersect be $r''$.
Then the distance to be found is the distance between $r'$ and $r''$.

% Write the equation $r=r'+nt$ in the coordinate form:
% $$
% \left\{
% \begin{array}{l}
% x = x' + At \\
% y = y' + Bt
% \end{array}
% \right.
% $$

Substitute the equation $r=r'+nt$ into the equation of $\ell$:
$$
(r'+nt- r_0 , n) = 0
$$

Whence
$$
 t = \frac{(r'-r_0,n)}{(n,n)} = \frac{(r'-r_0,n)}{|n|^2}
$$

So
$$
r'' = r'+nt = r'+ n\cdot\frac{(r'-r_0,n)}{|n|^2}
$$
$$
\rho = |r''-r'|=\left|n\cdot\frac{(r'-r_0,n)}{|n|^2}\right|
=\frac{|n|\cdot(r'-r_0,n)}{|n|^2}=\frac{(r'-r_0,n)}{|n|}.
$$
But $(r'-r_0,n)=Ax'+By'-Ax_0-By_0=Ax'+By'+C$.
\end{proof}


\newslide
\section{Lines in space}

Consider a (straight) line $\ell$ in space
passing throw a point $r_0$ and parallel to a vector $a \ne o$.

\pause

\begin{center}
\psset{xunit=.7cm,yunit=.7cm}
  \begin{pspicture}(0,1)(6,3)
    \psline[arrows=->](1,3)(2,3.5)
    \rput[lt](2,3.5){$~a$}

    \psdots(1,0.5)
    \rput[lt](1,0.5){$~r_0$}

    \psdots(3,1.5)
    \rput[lt](3,1.5){$~r$}

    \psline(0,0)(6,3)
    \rput[rb](6,3){$\ell~$}

  \end{pspicture}
\end{center}

\pause

\phantom{$\Leftrightarrow$} A point $r$ is in the line $\ell$ 
         $\Leftrightarrow$  $r-r_0$ is collinear to $a$ \\
         $\Leftrightarrow$  there exists a real scalar $t$ such that $r-r_0 = t\cdot a$ \\
         $\Leftrightarrow$  $r=r_0 + t\cdot a$

The last equation is the {\em vectorial equation of the line}.\\
$a$ is called the {\em direction vector} of the line, $t$ is parameter

\newslide

\begin{note}
Each non zero multiple of a direction vector is a direction vector
\end{note}


\pause

A line is $1$-dimensional linear variety!

\newslide

Take a coordinate system.
All vectors have unique coordinates.
Say 
$$
[r]=(x,y,z), \qquad 
[r_0]=(x_0,y_0,z_0), \qquad
[a]=(\alpha, \beta, \gamma)
$$

\pause

From $r = r_0 + ta$ we have
$$
\left\{
\begin{narrowarray}{l}
   x = x_0 + t\alpha,\\
   y = y_0 + t\beta, \\
   z = z_0 + t\gamma,\\
\end{narrowarray}
\right.
\qquad
t \in \RR.
$$
These are the {\em parametric} (or {\em explicit}) {\em equations} of the line $\ell$


\newslide

We can express $t$ in each of the equations:
$$
t = \frac{x-x_0}{\alpha}, \qquad
t = \frac{y-y_0}{\beta}, \qquad
t = \frac{z-z_0}{\beta}, \qquad
$$
Eliminate $t$ out of the parametric equations:
$$
\frac{x-x_0}{\alpha} = \frac{y-y_0}{\beta} = \frac{z-z_0}{\gamma}.
$$
This is the {\em canonical equation} of the line in space.
If one of the values $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ is zero, the corresponding numerator is zero.

\newslide

Transforming the canonical equation 
$$
\frac{x-x_0}{\alpha} = \frac{y-y_0}{\beta} = \frac{z-z_0}{\gamma}.
$$
we obtain
$$
\left\{
\begin{array}{l}
    \beta x - \alpha y - \beta  x_0 + \alpha y_0 = 0,\\
    \gamma y - \beta z - \gamma y_0 + \beta  z_0 = 0.\\
\end{array}
\right.
$$
or
$$
\left\{
\begin{array}{l}
    A_1 x + B_1 y + C_1 z + D_1 = 0,\\
    A_2 x + B_2 y + C_2 z + D_2 = 0.\\
\end{array}
\right.
$$
These are so called {\em general} (or {\em implicit}) {\em equations of the line in space}.

\pause

\begin{note}
A line is $1$-dimensional linear variety and in space it can be represented
by implicit equation with rank equal to $2$.
\end{note}

\newslide

\begin{example}
Find the parametric, canonical and general equations of the line
passing throw the point $(1,3,2)$ parallel to the vector $(1,-1,-2)$.

$$
\left\{
\begin{narrowarray}{ccccr}
   x & = & 1 & + & t,  \\
   y & = & 3 & - & t,  \\
   z & = & 2 & - & 2t,
\end{narrowarray}
\right.
\qquad 
t\in \RR.
$$

$$
\frac{x-1}{1} = \frac{y-3}{-1} = \frac{z-2}{-2} 
$$

$$
\left\{
\begin{array}{l}
   -x+1 = y-3,\\
   -2y+6 = -z+2
\end{array}
\right.
\qquad
\Rightarrow
\qquad
\left\{
\begin{array}{l}
   x+y-4 = 0,\\
   2y-z-4 = 0
\end{array}
\right.
$$
\end{example}


\newslide

\begin{example}
Find the parametric, canonical and general equations of the line
passing throw points $A(1,3,2)$ and $B(2,3,1)$.

Vector $\vect{AB}$ can be taken as a direction vector of the line:
$
[\vect{AB}] = (1, 0, -1).
$

$$
\left\{
\begin{narrowarray}{cclcr}
   x & = & 1 & + & t,  \\
   y & = & 3,&   &     \\
   z & = & 2 & - & t,
\end{narrowarray}
\right.
\qquad 
t\in \RR.
$$

$$
\frac{x-1}{1} = \frac{y-3}{0} = \frac{z-2}{-1} 
\qquad
\Leftrightarrow
\qquad
\frac{x-1}{1} = \frac{z-2}{-1}, \quad y=3 
$$

$$
\left\{
\begin{array}{l}
   x+z-3=0,\\
   y=3
\end{array}
\right.
$$
\end{example}

\newslide

\begin{example}
Find parametric and canonical equations of the line
$$
\left\{
\begin{array}{l}
x-2y+4z+1 = 0,\\
x+3y-2z-4 = 0
\end{array}
\right.
$$

Find the general solution of the system:
$$
\left\{
\begin{narrowarray}{ccrcr}
    x & = & 1 & - & 8 t, \\
    y & = & 1 & + & 6 t, \\
    z & = &   &   & 5 t.
\end{narrowarray}  
\right.
$$
These are parametric equations of the line.

Canonical equations:
$$
\frac{x-1}{-8} = \frac{y-1}{6} = \frac{z}{5}. 
$$
\end{example}

\newslide

\section{Planes in space}

Take a plane passing through a point $r_0$
and parallel to non-collinear vectors $a_1$ and $a_2$.

\begin{center}

\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
  \begin{pspicture}(-6.5,-2.5)(7,3)

    \psdots(0,0)
    \rput[lb](0,0){$~r_0$}

    \psline[arrows=->](0,0)(-1.6,-1.5)
    \rput[rb](-1.6,-1.5){$a_1~$}

    \psline[arrows=->](0,0)(2,-1)
    \rput[lb](2,-1){$~a_2$}

   \psline(-6.5,-2.5)(3,-2.5)(7,1.25)(-2.5,1.25)(-6.5,-2.5)

    \psdots(-9,2)
    \rput[b](-9,2.5){$~O$}

    \psline[arrows=->](-9,2)(-10.6,0.5)
    \rput[rb](-10.6,-0.5){$a_1~$}

    \psline[arrows=->](-9,2)(-7,1)
    \rput[lb](-7,1){$~a_2$}


  \end{pspicture}

\end{center}

$r$ is in the plane 
   $\Leftrightarrow$ $r-r_0$, $a_1$, $a_2$ are coplanar \\
   $\Leftrightarrow$ there exist scalars $t_1$, $t_2$ such that $r-r_0 = t_1 a_1 + t_2 a_2$,
                       or $r = r_0 + t_1 a_1 + t_2 a_2$.
This is {\em vector parametric equations of the plane}.

It says that a plane in space is $2$-dimensional linear variety!

\newslide

Take a coordinate system.

$[r_0]=(x_0,y_0,z_0)$, 
$[a_1]=(\alpha_1,\beta_1,\gamma_1)$, 
$[a_2]=(\alpha_2,\beta_2,\gamma_2)$, 
$[r]=(x,y,z)$.

From $r = r_0 + t_1 a_1 + t_2 a_2$ we get parametric equations of the plane:
$$
\left\{
\begin{narrowarray}{ccccrcr}
   x & = & x_0 & + & \alpha_1 t_1 & + & \alpha_2 t_2,\\
   y & = & y_0 & + & \beta_1  t_1 & + & \beta_2  t_2,\\
   z & = & z_0 & + & \gamma_1 t_1 & + & \gamma_2 t_2,\\
\end{narrowarray}
\right.
\qquad
t_1\in\RR,~
t_2\in\RR.
$$

\pause

We know that each $2$-dimensional linear variety in $3$-dimensional space
can be represented as a set of all solution to a linear equation
$$
Ax+By+Cx+D = 0.
$$
This is the {\em general} ({\em implicit}) {\em equation} of the plane.

\newslide

Given parametric equations of a plane we can find its general
equation using the general technique (for representing linear varieties
as a set of solutions to linear systems), but in this particular case we can use
a special method.

Vectors $r-r_0$, $a_1$ and $a_2$ are coplanar 
$\Leftrightarrow$ their mixed product is $0$:
$$
(r-r_0,a_1,a_2) = 0
\qquad
\Leftrightarrow
\qquad
\left|
  \begin{array}{ccc}
     x - x_0  & y - y_0 & z - z_0  \\
     \alpha_1 & \beta_1 & \gamma_1 \\
     \alpha_2 & \beta_2 & \gamma_2 \\
  \end{array}
\right| = 0.
$$

This expression gets us the general equation of the plane.

\newslide

\begin{example}
Find parametric and general equations of the plane
passing throuh the point $(1,2,3)$ parallel to vectors
$(-2,1,-1)$, $(1,-1,2)$.

$$
\left\{
\begin{narrowarray}{ccccrcr}
   x & = & 1 & - & 2t_1 & + &  t_2, \\
   y & = & 2 & + &  t_1 & - &  t_2, \\
   z & = & 3 & - &  t_1 & + & 2t_2, \\
\end{narrowarray}
\right.
\qquad
t_1\in\RR,~
t_2\in\RR.
$$

Let's find a general equation:
$$
\left|
\begin{array}{ccc}
   x - 1         & y - 2          & z - 3         \\
   -2            & \phantom{+} 1  & -1            \\
   \phantom{+} 1 &            -1  & \phantom{+} 2
\end{array}
\right|
= x+3y+z-10 = 0.
$$

The general equation is $x+3y+z-10 = 0$.
\end{example}

\newslide

\begin{example}
Find parametric and general equations of the plane
passing throuh points $A(1,2,3)$, $B(2,1,1)$, $C(3,1,2)$.

We can take $\vect{AB}(1,-1,-2)$, $\vect{AC}(2,-1,-1)$ as direction vectors.

$$
\left\{
\begin{narrowarray}{ccccrcr}
   x & = & 1 & + &  t_1 & + & 2t_2, \\
   y & = & 2 & - &  t_1 & - &  t_2, \\
   z & = & 3 & - & 2t_1 & - &  t_2, \\
\end{narrowarray}
\right.
\qquad
t_1\in\RR,~
t_2\in\RR.
$$

General equation:
$$
\left|
\begin{array}{ccc}
   x - 1         & y - 2          & z - 3         \\
   1             &            -1  & -2            \\
   2             &            -1  & -1
\end{array}
\right|
= -x-3y+z+4=0.
$$
\end{example}

\newslide

\begin{example}
Find parametric equations of the plane
$2x-3y+z-2=0$.

Solving the equation we obtain:
$$
\left\{
\begin{narrowarray}{ccccccr}
    x & = &   &   &  t_1, &   &      \\
    y & = &   &   &       &   &  t_2, \\
    z & = & 2 & - & 2t_1  & + & 3t_2,
\end{narrowarray}
\right.
\qquad
t_1\in\RR,~
t_2\in\RR.
$$
\end{example}

\newslide

\section{Normal equation of a plane in space}

\begin{proposition}
Let the system of coordinates be rectangular cartesian.
A plane has equation $Ax + By + Cz + D = 0$.
Let $[n]=(A,B,C)$.

Then $n$ is orthogonal to all the vectors in the plane
and the direction of $n$ is ortogonal to the plane and to all
parallel planes.

$n$ is called a {\em normal vector} to the plane.
\end{proposition}


\begin{center}

\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
  \begin{pspicture}(-6.5,-2.5)(15,3)

    \psdots(0,0)
    % \rput[lt](0,-0.4){$~O$}

    \psline[arrows=->](0,0)(-1.6,-1.5)
    \rput[rb](-1.6,-1.5){$a_1~$}

    \psline[arrows=->](0,0)(2,-1)
    \rput[lb](2,-1){$~a_2$}

    \psline[arrows=->](0,0)(0,3)
    \rput[rb](0,3){$n~$}

   \psline(-6.5,-2.5)(3,-2.5)(7,1.25)(-2.5,1.25)(-6.5,-2.5)

    \rput[l](9,3){$a_1, a_2$ are direction vectors}
    \rput[l](9,2){$n$ is a normal vector}

  \end{pspicture}
\end{center}

\newpage

$r$ is in the plane $\Leftrightarrow$ $r-r_0$ is perpendicular to $n$
$\Leftrightarrow$ $(r-r_0,n)=0$

\begin{center}

\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
  \begin{pspicture}(-6.5,-2.5)(17,3)

    \psdots(0,0)
    % \rput[lt](0,-0.4){$~O$}

    \rput[tr](0,0){$r_0~$}

    \psdots(2,-1)
    \rput[lb](2,-1){$~r$}

    \psline[arrows=->](0,0)(0,3)
    \rput[rb](0,3){$n~$}

    \psline(-6.5,-2.5)(3,-2.5)(7,1.25)(-2.5,1.25)(-6.5,-2.5)

  \end{pspicture}
\end{center}

$(r-r_0,n)=0$ is {\em normal equation} of the plane

Let a coordinate system be rectangular.
$[r]=(x,y,z)$,
$[r_0]=(x_0,y_0,z_0)$,
$[n]=(A,B,C)$

Then $A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0) = 0$
or $Ax+By+Cz-Ax_0-By_0-Cz_0=0$.
Denote $D=-Ax_0-By_0-Cz_0$ then the normal equation has the form
$Ax+By+Cz+D=0$


\newslide

\begin{example}
Find the normal vector of the plane $5x+z-1=0$
(coordinate system is rectangular).

$[n]=(5,0,1)$
\end{example}

\newslide

\begin{example}
Find the normal vector of the plane 
$$
\left\{
\begin{narrowarray}{ccccrcr}
  x & = & 1 & - & 2t_1 & + & 3t_2,\\
  y & = & 1 & + &  t_1 & - & 4t_2,\\
  z & = & 1 &   &      & + & 2t_2,\\
\end{narrowarray}
\right.
$$

Direction vectors are $[a_1]=(-2,1,0)$, $[a_2]=(3,-4,2)$

Vector $n=[a_1, a_2]$ (cross product of $a_1$ and $a_2$)
is orthogonal to $a_1$ and $a_2$, hence it orthogonal
to each vector parallel to the plane.

$$
n = [a_1, a_2] =
\left|
  \begin{array}{ccc}
     e_1  &  e_2  &  e_3  \\
     -2   &   1   &   0   \\
      3   &  -4   &   2   \\
  \end{array}
\right|
 = 2e_1 + 4e_2 + 5e_3 
$$

$[n]=(2, 4, 5)$
\end{example}


\subsection{Distance from a point to a plane}

\begin{center}

\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
  \begin{pspicture}(-6.5,-2.5)(7,6)

    \psdots(0,0)
    \psdots(0,5)
    \rput[rb](0,5){$r_1~$}
    \psline[linestyle=dashed](0,0)(0,5)
    \rput[l](0,2.5){$~\rho = {}?$}

    \psline(-6.5,-2.5)(3,-2.5)(7,1.25)(-2.5,1.25)(-6.5,-2.5)
  \end{pspicture}
\end{center}


$(r-r_0,n)=Ax+By+Cz+D = 0$,
$[r_1] = (x_1, y_1, z_1)$

$$
\rho = \frac{(r_1-r_0,n)}{|n|} = \frac{|Ax_1+By_1+Cz_1+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}
$$

\subsection{Distance from a point to a line in space}

\begin{center}

\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
  \begin{pspicture}(-2,-3.5)(5,3.5)

    \psline(-2,-3.5)(5,0)

    \psdots(0,2)
    \rput[rb](0,2){$r_1~$}
    \psline[linestyle=dashed](0,2)(1.75,-1.5)

    \psdots(0,-2.5)
    \rput[rb](0,-2.5){$r_0~$}

    \psline[arrows=->](0,-2.5)(3,-1)
    \rput[t](3,-1.5){$~a$}

    % \psline(0,2)(0,-2.5)
    % \psline(0,2)(3,3.5)
    % \psline(3,-1)(3,3.5)


    \rput[l](0.5,1.5){$~\rho = {}?$}
  \end{pspicture}
\qquad
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
  \begin{pspicture}(-2,-3.5)(5,3.5)

    \psline(-2,-3.5)(5,0)

    \psdots(0,2)
    \rput[rb](0,2){$r_1~$}
    \psline[linestyle=dashed](0,2)(1.75,-1.5)

    \psdots(0,-2.5)
    \rput[rb](0,-2.5){$r_0~$}

    \psline[arrows=->](0,-2.5)(3,-1)
    \rput[t](3,-1.5){$~a$}

    \psline(0,2)(0,-2.5)
    \psline(0,2)(3,3.5)
    \psline(3,-1)(3,3.5)


    \rput[l](0.5,1.5){$~\rho = {}?$}
  \end{pspicture}
\end{center}


$\rho$ is a height of the parallelogramm generated from
vectors $a$ and $r_1-r_0$

$$
\rho = \frac{S}{|a|} = \frac{\bigl|[r_1-r_0,a]\bigr|}{|a|}
$$

\newslide

\begin{example}
$[r_1]=(1,2,3)$,
$$
\left\{
\begin{narrowarray}{ccrcr}
    x & = & -1 & + &  t, \\
    y & = &  1 & + & 2t, \\
    z & = &  2 & - & 3t, \\ 
\end{narrowarray}
\right.
$$
$[r_0]=(-1,1,2)$, $[a]=(1,2,-3)$

$$
[r_1-r_0,a] = 
\left|
\begin{array}{ccc}
   e_1 & e_2 & e_3 \\
    2  &  1  &  1  \\
    1  &  2  & -3
\end{array}
\right|
= -5e_1 + 7e_2 + 3e_3
$$

$$
\rho = \frac{\bigl|[r_1-r_0,a]\bigr|}{|a|} = 
\frac{\sqrt{(-5)^2 + 7^2 + 3^2}}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-3)^2}} =
\sqrt{\frac{83}{14}}.
$$
\end{example}

\newslide

\subsection{Distance between two lines in space}

$$
  r = r_1 + a_1 t,\qquad r = r_2 + a_2 t
$$

$$
\rho = \frac{\Bigl|(r_1 - r_2, a_1, a_2)\Bigr|}{\Bigl|[a_1, a_2]\Bigr|}
$$

\newslide

\begin{example}
$$
\left\{
\begin{narrowarray}{ccrcr}
    x & = &  1 & + &  t, \\
    y & = &  2 & + & 2t, \\
    z & = &  3 & - & 3t, \\ 
\end{narrowarray}
\right.
\qquad
\left\{
\begin{narrowarray}{ccrcr}
    x & = &    &   &  t, \\
    y & = &  1 & + &  t, \\
    z & = &  2 & - & 3t, \\ 
\end{narrowarray}
\right.
$$

$[r_1]=(1,2,3)$, $[a_1]=(1,2,-3)$, $[r_2]=(0,1,2)$, $[a_2]=(1,1,-3)$

$$
(r_1 - r_2, a_1, a_2)
=
\left|
\begin{array}{ccc}
   1 & 1 &  1 \\
   1 & 2 & -3 \\
   1 & 1 & -3
\end{array}
\right| = -4
\qquad
[a_1, a_2]
=
\left|
\begin{array}{ccc}
   e_1 & e_2 & e_3 \\
    1  &  2  & -3  \\
    1  &  1  & -3
\end{array}
\right| = -3e_1 -e_3
$$

$$
\rho = \frac{\Bigl|(r_1 - r_2, a_1, a_2)\Bigr|}{\Bigl|[a_1, a_2]\Bigr|}
     = \frac{4}{\sqrt{(-3)^2 + (-1)^2}} = \frac{4}{\sqrt{10}}
$$


\end{example}









%\newslide
%\chapter{Groups, Rings, Fields}
%\thispagestyle{empty}
%
%\newslide
%\section{Algebraic operations}
%
%Let $A$ be any non-empty set and $\circ$ be a mapping
%$$
%   \circ:~ A\times A \to A,
%$$
%i.e. {\em for any pair of elements $a$, $b$ in $A$ 
%the mapping $\circ$  
%puts into correspondence some element $c$ in $A$.}
%
%\pause
%We denote $c=a\circ b$ where $a$ is the first {\em operand}
%and $b$ is the second one.
%
%\pause
%\begin{example}
%Let
%$A=\ZZ$, $\circ = +$
%
%If $a, b \in \ZZ$ then the operation ``$+$''
%puts into correspondence to pair $a$, $b$ their sum $a+b$. 
%\end{example}
%
%\newslide
%Then $\circ$ is called a {\em binary algebraic operation} 
%and we say that $A$ is {\em closed} under the operation $\circ$\footnote{The
%operation is called {\em bi}nary because it has $2$ operands.
%The term {\em algebraic} indicates that the set is closed under the operation.}.
%
%\pause
%
%\begin{exercize}
%Is square rooting $\sqrt{\alpha}$ algebraic operation for the set of all
%non-negative real numbers $\RR_{\ge 0}$:
%$$
%\RR_{\ge 0} = \set{\alpha \in \RR:~ \alpha \ge 0}?
%$$
%\end{exercize}
%
%\newslide
%
%\begin{example} \ 
%
%$\NN$ is closed under binary operations $+$ and $\times$:
%$$
%a\in\NN,~b\in\NN \Rightarrow a+b \in \NN
%$$
%$$
%a\in\NN,~b\in\NN \Rightarrow a\times b \in \NN, 
%$$ 
%but it is not closed under $-$ and $/$: 
%
%$$
%1-2 \notin \NN,
%$$ 
%$$
%1/2 \notin \NN.
%$$
%
%% (it is suffices to give the only counterexamle to disprove that
%% $\NN$ is closed under $-$)
%
%\pause
%
%$\ZZ$, $\QQ$, $\RR$ all are closed under $+$, $-$, $\times$, 
%but they are not closed under $/$:
%
%we can not divide by $0$
%
%\pause
%
%$\QQ\setminus\set{0}$ and $\RR\setminus\set{0}$ 
%both are closed under $\times$, $/$.
%\end{example}
%
%\newslide
%
%\begin{example} \label{example_PhiM}
%Let $M$ be some set. 
%A mapping $\varphi:~M \to M$ is called a {\em transformation} of $A$.
%Let $\Phi(A)$ be the set of all transformations of $A$.
%Consider $\varphi \in \Phi(A)$, $\psi \in \Phi(A)$.
%The {\em product} (or {\em composition}) $\cdot$ of $\varphi$ and $\psi$
%is a transformation $\varphi\psi \in \Phi(A)$ defined by the rule\footnote{The
%sign of operation $\cdot$ will be often omitted as the sign $\cdot$ or $\times$
%for multiplication of numbers.}:
%$$
%	(\varphi\psi) x = \varphi (\psi x).
%$$
%The set $\Phi$ is closed under operation $\cdot$, so the operation $\cdot$ is algebraic.
%
%Let $M=\set{1,2}$. For our purposes instead of $1$, $2$ we can take any other elements, 
%for example, $a$, $b$.
%Enumerate all transformations of $M$:
%$$
%\varepsilon = 
%\left(
%  \begin{array}{cc}
%      1 & 2 \\
%      1 & 2 	
%  \end{array}
%\right),
%\quad 
%\nu = 
%\left(
%  \begin{array}{cc}
%      1 & 2 \\
%      2 & 1 	
%  \end{array}
%\right), 
%\quad 
%\alpha = 
%\left(
%  \begin{array}{cc}
%      1 & 2 \\
%      1 & 1 	
%  \end{array}
%\right),
%\quad 
%\beta = 
%\left(
%  \begin{array}{cc}
%      1 & 2 \\
%      2 & 2 	
%  \end{array}
%\right). 
%$$
%
%In the first row of each table all elements of $M$ are enumerated.
%The second row indicates the image of all elements in $M$.
%For instance, the transformation
%$$
%\nu = 
%\left(
%  \begin{array}{cc}
%      1 & 2 \\
%      2 & 1 	
%  \end{array}
%\right)
%\qquad 
%\begin{array}{ccc}
%  1  & & 2 \\
%\downarrow & & \downarrow \\
%  2  & & 1
%\end{array}
%$$
%maps $1$ into $2$ and $2$ into $1$. It is a so called {\em inversion}.
%The transformation $\varepsilon$ maps each element of $M$ into the same one.
%It is an {\em identity} transformation.
%The transformation $\alpha$ maps each element of $M$ into $a$.
%The transformation $\beta$ maps each element of $M$ into $b$.
%
%Let's find the products for all pairs of transformations:
%$$
%\begin{array}{c|cccc}
%             & \varepsilon & \nu         & \alpha & \beta  \\
%\hline                                                     
%\varepsilon  & \varepsilon & \nu         & \alpha & \beta  \\
%\nu          & \nu         & \varepsilon & \alpha & \beta  \\
%\alpha       & \alpha      & \alpha      & \alpha & \alpha \\
%\beta        & \beta       & \beta       & \beta  & \beta  \\
%\end{array}
%$$
%Check, for example, that $\alpha\beta = \alpha$:
%$$
%\begin{array}{cccc}
%       &   1        & & 2          \\
%\beta  & \downarrow & & \downarrow \\
%       &   2        & & 2          \\
%\alpha & \downarrow & & \downarrow \\
%       &   1        & & 1
%\end{array},
%$$
%i.e.
%$(\alpha\beta)1 = \alpha (\beta 1) = \alpha 2 = 1$,
%$(\alpha\beta)2 = \alpha (\beta 2) = \alpha 2 = 1$.
%You can see that $\alpha\beta = \alpha$.
%\end{example}
%
%\newslide
%
%\section{Semigroups and groups}
%
%A {\em semigroup} $\oset{G, \circ}$ is a nonempty set $G$, 
%closed under a binary operation $\circ$ satisfying the 
%axiom:
%\begin{enumerate}
%  \item[\Ax{1}:] $a \circ (b \circ c) = (a \circ h) \circ c$ for all $a, b, c$ in $A$
%			({\em associativity})\footnote{Parenthesis in formulae 
%			indicate the order of 
%			performing operations: for instance, in left-hand side 
%			$a \circ (b \circ c)$ first we perform the operation $\circ$ 
%			under $b$ and $c$ obtaining the result, say, $f$;
%			and then perform the operation $\circ$ under $a$ and $f$.}.
%\end{enumerate}
%
%If the operation $\circ$ is {\em commutative}, i.e.
%\begin{enumerate}
%  \item[\Ax{2}:] $a \circ b = b \circ a$ for all $a,b$ in $A$
%			({\em commutativity}),
%\end{enumerate}
%then the semigroup $A$ is called {\em commutative semigroup}.
%
%\newslide
%
%\begin{example}
%$\oset{\NN, +}$, $\oset{\NN, \times}$,
%$\oset{\ZZ, +}$, $\oset{\ZZ, \times}$,
%$\oset{\QQ, +}$, $\oset{\QQ, \times}$,
%$\oset{\RR, +}$, $\oset{\RR, \times}$,
%are commutative semigroups.
%\end{example}
%
%\begin{exercize}
%Why 
%$\oset{\ZZ, -}$,
%$\oset{\QQ, -}$,
%$\oset{\RR, -}$
%are not semigroups?
%\end{exercize}
%
%
%\begin{example}
%It is easy to verify that operation $\cdot$ for $\Phi(M)$ 
%is associative: since by definition of a product of transformations
%$$
%\bigl(\varphi (\psi \vartheta)\bigr) x = \varphi \bigl(\psi (\vartheta x)\bigr) 
%	= \varphi \bigl((\psi \vartheta) x\bigr) = \bigl(\varphi (\psi \vartheta)\bigr) x  
%$$
%for all $x$ in $M$ then $\varphi(\psi\vartheta) = (\varphi\psi)\vartheta$.
%
%So, $\Phi(M)$ is the semigroup for any $M$.
%But if $|M| \ge 2$ then $\Phi(M)$ is not commutative:
%in example \ref{example_PhiM} we've seen that $\alpha\beta\ne\beta\alpha$.
%\end{example}
%
%\newslide
%
%
%A semigroup is a {\em group} if it satisfies the additional axioms:
%
%\begin{enumerate}
%  \item[\Ax{3}:] there is an element $e$ such that $e\circ a = a \circ e = a$
%                      for all $a$ in $G$;
%  \item[\Ax{4}:] for all $a$ in $G$, there is an element $a^{-1}$ such that 
%			$a\circ a^{-1} = a^{-1} \circ a = e$.
%\end{enumerate}
%
%The element $e$ is called an {\em identity} element.
%
%The element $a^{-1}$ is called an {\em inverse} of $a$.
%
%\newslide
%
%\begin{proposition}
%The identity element $e$ in a group $G$ is unique.
%\end{proposition}
%\begin{proof}
%Let $e'$ and $e''$ both be two identity elemets in $G$ then
%$$
%	e' = e' e'' = e''.
%$$
%\end{proof}  
%
%\begin{proposition}
%For any $a$ in a group $G$ the inverse element of $a$ is unique.
%\end{proposition}
%\begin{proof}
%Let $a'$ and $a''$ be two inverses of $a$ then
%$$
%	a' = a' e = a' (a a'') = (a' a) a'' = e a'' = a''.
%$$
%\end{proof} 
%
%\newslide 
%
%If the operation is commutative then a group 
%is called an {\em abelian} group (or, {\em commutative} group).
%
%\newslide
%
%\begin{example}
%$\oset{\NN, +}$ is not a group because it does not contain an identity element.
%
%$\oset{\NN \cup \set{0}, +}$ contains an identity element ($0$), but it is not a group because
%some elements does not have inverses (in fact only $0$ has an inverse: 
%the inverse of $0$ w.r.t. addition is $0$).
%
%$\oset{\NN, \times}$ and $\oset{\NN\cup \set{0}, \times}$
%are not groups.
%
%$\oset{\ZZ, +}$ is an abelian group. The element $0$ is identity element because $a+0=0+a$
%for all $a$ in $\ZZ$. The element $-a$ is inverse to $a$ because $a+(-a) = (-a)+a = 0$.
%
%$\oset{\ZZ, \times}$ contains an identity element ($1$),
%but it is not a group because
%some elements does not have inverses (in fact only $1$ has an inverse: 
%the inverse of $1$ w.r.t. multiplication is $1$).
%
%$\oset{\QQ, +}$ and 
%$\oset{\RR, +}$ are abelian groups; $0$ is identity element, $-a$ is inverse of $a$.
%
%$\oset{\QQ, \times}$ and  
%$\oset{\RR, \times}$ are not groups because $0$ doesn't contain inverse (w.r.t. multiplication),
%but 
%$\oset{\QQ\setminus\oset{0}, \times}$ and  
%$\oset{\RR\setminus\oset{0}, \times}$ are abelian groups: $1$ is an identity element 
%and $a^{-1}=\fracc{1}{a}$ is inverse of $a$ (w.r.t. multiplication).
%\end{example}
%
%\newslide
%
%If the operation in a group is denoted by $+$ (and called addition)
%then an identity element is normally denoted by $0$ and inverse of $a$
%is denoted by $-a$.
%
%
%If the operation in a group is denoted by $\times$ (and called multiplication)
%then an identity element is normally denoted by $1$ and inverse of $a$
%is denoted by $a^{-1}$.
%
%\newslide
%
%\begin{example}
%The semigroup $\oset{\Phi(M), \cdot}$ has an identity element.
%
%This is an {\em identity transformation} $\varepsilon$ 
%which puts into correspondens to any element $a$ in $M$
%the same element $a$.
%
%But if $|M|>1$ then $\oset{\Phi(M), \cdot}$ is not a group because
%some elements in $\Phi(M)$ doesn't have an inverse. In example \ref{example_PhiM}
%$\alpha$ and $\beta$ doesn't have inverses.
%\end{example}
%
%\newslide
%
%\begin{example}
%Consider the set $S(M)$ of all bijections of $M$ into $M$.
%
%It is not hard to see that $\oset{S(M), \cdot}$ is a group.
%It is called a {\em symmetric group}.
%
%In particular, $\varepsilon$ is identity element and $\varphi^{-1}$
%is an bijection inverse to $\varphi$.
%
%For example, let $M=\set{1,2}$. The bijections of $M$ into $M$ are
%$$
%\varepsilon = 
%\left(
%  \begin{array}{cc}
%      1 & 2 \\
%      1 & 2 	
%  \end{array}
%\right),
%\qquad 
%\nu = 
%\left(
%  \begin{array}{cc}
%      1 & 2 \\
%      2 & 1 	
%  \end{array}
%\right), 
%$$
%so $S(M)=\set{\varepsilon, \nu}$.
%
%We have $\varepsilon^{-1} = \varepsilon$ and $\nu^{-1} = \nu$.
%
%If $|M|\le 2$ then $\oset{S(M), \cdot}$ is an abelian group.
%
%If $|M|> 2$ then the group $\oset{S(M), \cdot}$ is not abelian.
%\end{example}
%
%
%
%\newslide
%
%\section{Rings and fields}
%
%A {\em ring} $\oset{K, +, \times}$ is a nonempty set $R$ closed under two binary operations 
%$+$ and $\times$ such that 
%
%$\oset{K, +}$ is an abelian group (i.e. axioms \Ax{1}--\Ax{4} hold w.r.t. $+$),
%
%$\oset{K, \times}$ is a semigroup (i.e. axiom \Ax{1} holds w.r.t. $\times$),
%
%and which satisfies the additional axiom
%
%\begin{enumerate}
%  \item[\Ax{5}:] $(a+b)c=ac + bc$ and $a(b+c)=ab+ac$ for all $a$ in $K$.
%\end{enumerate}
%
%A {\em commutative ring} is a ring in which $\times$ is commutative 
%(i.e. axiom \Ax{4} holds with respect to $\times$). 
%
%\begin{example}
%   $\oset{\ZZ, +, \times}$, $\oset{\QQ, +, \times}$, $\oset{\RR, +, \times}$ are commutative rings.
%
%   $\oset{\NN, +, \times}$ is not a ring because $\oset{\NN, +}$ is not a group.
%\end{example}
%
%A ring $\oset{F, +, \times}$ is called a {\em field} if
%$\oset{F\setminus\set{0}, \times}$ is an abelian group
%(i.e. axioms \Ax{1}--\Ax{4} hold w.r.t. operation $\times$).
%In other words, a field is a commutafive ring in which every nonzero 
%element has a multiplicative inverse. 
%
%\begin{example}
%   $\oset{\QQ, +, \times}$, $\oset{\RR, +, \times}$ are fields.
%
%   $\oset{\ZZ, +, \times}$ is not a field because $\oset{\ZZ\setminus\set{0}, \times}$
%   is not a group.
%\end{example}
%
%
%
%\chapter{Complex Numbers}
%\thispagestyle{empty}
%
%\newslide
%
%\section{Numerical sets}
%
%We suppose that you know the following notation for numerical sets:
%
%\pause
%
%The set of {\em natural numbers}
%$$
%\NN = \set{1,2,3,\dots}.
%$$
%
%\pause
%
%The set of {\em integer numbers}
%$$
%\ZZ = \set{\dots,~-3,~-2,~-1,~0,~1,~2,~3,~\dots}.
%$$
%
%\pause
%
%The set of {\em rational numbers}
%$$
%\QQ = \set{\frac{p}{q}:~ p\in\ZZ,~ q\in\ZZ,~ q\ne 0}
%$$
%
%\pause
%
%The set of real numbers $\RR$.
%
%\pause
%
%Notice that
%$$
%\NN \subset \ZZ \subset \QQ \subset \RR.
%$$
%
%$$
%(\mbox{and} \quad \NN \ne \ZZ, ~ \ZZ \ne \QQ, ~ \QQ \ne \RR)
%$$
%\pause
%\begin{exercize}
%Give an example of the number $\alpha$,
%such that
%$$
%\alpha \in \RR, \quad\mbox{but}\quad \alpha \notin \QQ.
%$$
%\end{exercize}
%

\newslide

\chapter{Matrices}

\newslide

Let $F$ be a field.
\pause

Let's recall that the rectangular table of the form
$$
A=
\left(
\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\
\multicolumn{4}{c}{\dotfill}	   \\
a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \\
\end{array}
\right),
$$
where $a_{ij} \in F$, is called $m\times n$ {\em matrix}
(or matrix with $m$ rows and $n$ columns). 

\pause
Scalars $a_{ij}$ are called {\em elements} or {\em entries} of the matrix.

\pause
Expression $A=(a_{ij})$ means that the element $a_{ij}$ in the $i$-th row and $j$-th column 
($(i,j)$ element) equals to $a_{ij}$.

\pause
The set of all $m\times n$ matrices with elements in $F$ is denoted as $F^{m\times n}$.

\pause
Two matrices $A$ and $B$ are called {\em equal} if they have the same sizes and corresponding elements are equal,
i.\,e. $A=(a_{ij})\in F^{m\times n}$, $B=(b_{ij})\in F^{m\times n}$ and
$$
a_{ij} = b_{ij} \qquad (i=1,2,\dots,m;~j=1,2,\dots,n).
$$


\newslide

If $m=n$ then the matrix is called {\em square matrix} of {\em order} $n$.
\pause
Elements $a_{11}, a_{22}, \dots, a_{nn}$ of a square matrix form its {\em diagonal}. 
\pause
Elements $a_{1n}, a_{2,n-1}, \dots, a_{n1}$ form its {\em secondary diagonal}.

\pause

In particular, $m\times 1$ matrix is called {\em column}.


\pause

$1\times n$ matrix is called {\em row}.

\newslide

\section{Scalar multiple of a matrix and~addition of~matrices}

Let $A = (a_{ij}) = \in F^{m\times n}$, $B = (b_{ij}) = \in F^{m\times n}$, $\alpha \in F$.
\pause

The {\em scalar multiple} of $A$ with scalar $\alpha$ is a matrix denoted as $\alpha A$
and obtained by multiplying each element of $A$ by $\alpha$, i.\,e.
the product $\alpha A$ is a matrix $C=(c_{ij})\in F^{m\times n}$ such that 
$$
c_{ij}=\alpha a_{ij} \qquad (i=1,2,\dots,m;~ j=1,2,\dots,n).
$$

\pause


The {\em sum} $A+B$ of the matrices $A$, $B$ is a matrix denoted as $A+B$
and obtained by adding corresponding elements of $A$ and $B$, i.\,e.
the sum $A+B$ is a matrix $C=(c_{ij})\in F^{m\times n}$ such that
$$ 
c_{ij}=a_{ij}+b_{ij} \qquad (i=1,2,\dots,m;~ j=1,2,\dots,n).
$$

\newslide
It is easy to prove the following properties of the above operations.


\pause

\begin{proposition}
Let $A$, $B$, $C$ be matrices in $F^{m\times n}$.
Let $\alpha$, $\beta$ be scalars in $F$. 
{\small Then}
\begin{enumerate}
  \item[1)] $A+(B+C)=(A+B)+C$;
  \item[2)] $A+B=B+C$;
  \item[3)] $A+O=A$, where $O$ is {\em zero} $m\times n$ matrix, 
        i.\,e. the matrix in which all elements are zeros;
  \item[4)] for any matrix $A$ there exists a matrix $B$ 
        called {\em opposite} or {\em additive inverse}
        and denoted as $-A$, such that $A+B=O$; 
        the elements of $-A$ equal to $b_{ij} = -a_{ij}$.        
  \item[5)] $(\alpha \beta)A=\alpha(\beta A)$;
  \item[6)] $1 \cdot A= A$;
  \item[7)] $(\alpha + \beta)A = \alpha A + \beta A$;
  \item[8)] $\alpha(A+B)=\alpha A + \alpha B$.
\end{enumerate}
\end{proposition}

% \begin{proof}
% Все свойства проверяются непосредственно.
% \end{proof}

\newslide

\begin{corollary}
With respect to multiplication with a scalar and sum of matrices
the set $F^{m\times n}$ is a vector space over the filed $F$.
The dimension of $F^{m\times n}$ is $mn$.
%In particular, $F^{m\times n}$ is isomorphic to arithmetic space $F^{mn}$.
\end{corollary}

\pause

All results obtained for general vector spaces are valid for $F^{m\times n}$.
In particular in $F^{m\times n}$ the operation of matrix subtraction is introduced etc.

\newslide

\section{Product of matrices}

% Матрицу с $n$ столбцами можно умножать на матрицу с $n$ строками.
Let $A=(a_{ij})\in F^{m\times n}$, $B=(b_{jl}) \in F^{n\times k}$.
The {\em product} of $A$ by $B$ is a matrix 
$C=(c_{il})\in F^{m\times k}$, such that
$$
  c_{il} = \sum_{j=1}^n a_{ij} b_{jl} = a_{i1}b_{1l} + a_{i2}b_{2l} + \dots + a_{in}b_{nl}. \tag{mat_prod}
$$

\pause
Remark that two matrices can be multiplied iff the number of columns of the first matrix equals to
the number of the second one.  (In this case they say that ``sizes of operands agree'').

\pause
The notations for product of matrices are $A\cdot B$, $A\times B$ or simply $AB$.

\pause
Sometimes they say that matrices are multiplied
``row by column'' meaning that formula \Ref{mat_prod} saus that in order to find
the element of $i$-th row and $l$-th column of the product $AB$ one should multiply
each elements in $i$-th row of $A$ by the corresponding element in $l$-th column of $B$
and then add all these products.

\newslide

\begin{example}
$$
(a_1, a_2, \dots, a_n) 
\cdot 
\left(
\begin{array}{c}
  b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n
\end{array}
\right)
= \sum_{j=1}^n a_j b_j = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \dots + a_n b_n;
$$

\pause
$$
\left(
\begin{array}{c}
  a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n
\end{array}
\right)
\cdot 
(b_1, b_2, \dots, b_n) 
= 
\left(
\begin{array}{cccc}
  a_1 b_1 & a_1 b_2 & \dots & a_1 b_n \\
  a_2 b_1 & a_2 b_2 & \dots & a_2 b_n \\
\multicolumn{4}{c}{\dotfill} \\
  a_m b_1 & a_m b_2 & \dots & a_m b_n \\
\end{array}
\right);
$$

\pause
$$
\left(
\begin{array}{cc}
  a_{11} & a_{12} \\
  a_{21} & a_{22} \\
\end{array}
\right)
\cdot
\left(
\begin{array}{cc}
  b_{11} & b_{12} \\
  b_{21} & b_{22} \\
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{cc}
  a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22} \\
  a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22} \\
\end{array}
\right).
$$

\newslide
$$
\left(
\begin{array}{cccc}
  a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\
  a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\
\multicolumn{4}{c}{\dotfill} \\
  a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \\
\end{array}
\right)
\cdot
\left(
\begin{array}{c}
  b_1 \\
  b_2 \\
  \vdots \\
  b_n \\
\end{array}
\right)
=
b_1
\left(
\begin{array}{c}
  a_{11} \\
  a_{21} \\
  \vdots \\
  a_{m1} \\
\end{array}
\right)
 + b_2
\left(
\begin{array}{c}
  a_{12} \\
  a_{22} \\
  \vdots \\
  a_{m2} \\
\end{array}
\right)
+\dots+
b_n
\left(
\begin{array}{c}
  a_{1n} \\
  a_{2n} \\
  \vdots \\
  a_{mn} \\
\end{array}
\right);
$$

\pause
$$
\begin{array}{l}
(a_1,\,a_2,\,\dots,\,a_m)
\cdot
\left(
\begin{array}{cccc}
  b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1n} \\
  b_{21} & b_{22} & \dots & b_{2n} \\
\multicolumn{4}{c}{\dotfill} \\
  b_{m1} & b_{m2} & \dots & b_{mn} \\
\end{array}
\right)=
\\
\qquad
= a_1 \cdot (b_{11},\,b_{12},\,\dots,\,b_{1n}) 
+ a_2 \cdot (b_{21},\,b_{22},\,\dots,\,b_{2n}) 
+ \dots + a_m \cdot (b_{m1},\,b_{m2},\,\dots,\,b_{mn}).
\end{array}
$$
\end{example}

\newslide

\begin{example}
Let $A=(a_{ij})\in F^{m\times n}$, $b=(b_i)\in F^{m}$, $x=(x_j)\in F^n$.
\pause
Now we can write the system of linear equations
$$
\left\{
\begin{narrowarray}{rcrcccrcr}
a_{11} x_1 & + & a_{12} x_2 & + & \dots & + & a_{1n} x_n & = & b_1;\\
a_{21} x_1 & + & a_{22} x_2 & + & \dots & + & a_{2n} x_n & = & b_2;\\
\multicolumn{9}{c}{\dotfill}                                       \\
a_{m1} x_1 & + & a_{m2} x_2 & + & \dots & + & a_{mn} x_n & = & b_m
\end{narrowarray}
\right.
$$
in the following matrix notation: $Ax=b$.
\end{example}

\pause

The square matrix of order $n$ in which all off-diagonal elements are $0$'s and diagonal elements are $1$'s
is called an {\em identity matrices} and denoted as $I_n$ or (if there is no ambiguity) simply $I$.
\pause

Identity matrix:
$$
I = 
\left(
\begin{array}{cccc}
	1 & 0 & \dots & 0 \\
	0 & 1 & \dots & 0 \\
	\multicolumn{4}{c}{\dotfill} \\
	0 & 0 & \dots & 1 \\
\end{array}
\right).
$$


\newslide

\begin{proposition} \ 
\begin{enumerate}
  \item[1)] If $A\in F^{m\times n}$, $B\in F^{n\times p}$, $C\in F^{p\times q}$, then $(AB)C=A(BC)$ (associativity);
  \item[2)] If $A\in F^{m\times n}$, $B\in F^{n\times p}$, $C\in F^{n\times p}$, then $A(B+C)=AB+AC$ (distributivity I);
  \item[3)] If $A\in F^{m\times n}$, $B\in F^{m\times n}$, $C\in F^{n\times p}$, then $(A+B)C=AC+BC$ (distributivity II);
  \item[4)] If $A\in F^{m\times n}$, $B\in F^{n\times p}$, then $\alpha (AB)= (\alpha A) B$.
  \item[5)] If $A\in F^{m\times n}$, then $AI_n=A$ and $I_mA=A$, 
            where $I_n$, $I_m$ are {\em identity matrices} of order 
            $n$ and $m$ correspondingly.
\end{enumerate}
\end{proposition}

\newslide

\begin{proof}
All properties can be verified directly.
\pause

For example let's prove the first one.
\pause

First, note that all operations in LHS and RHS of 
$$
(AB)C=A(BC)
$$ 
can be performed (sizes agree).
\pause


Second, sizes of the matrix in LHS coincide with sizes of the matrix in RHS and equal to $m\times q$.

\pause
Finally, let's prove that corresponding elements if matrices in LHS and RHS equal.
\pause
Let
$$
  A=(a_{ij}), \qquad B=(b_{jk}), \qquad C=(c_{kl}).
$$ 
\pause
Denote
$$
D=AB=(d_{ik}), \quad  
G=BC=(g_{jl}), \quad
F=(AB)C=(f_{il}), \quad
H=A(BC)=(h_{il}).
$$

\newslide
By definition of products of matrices,
$
  d_{ik} = \Sum_{j=1}^n a_{ij}b_{jk}.
$
\pause
Substituting this expression into the formula for $f_{il}$, we will have
$$
  f_{il} = \sum_{k=1}^p d_{ik}c_{kl} = \sum_{k=1}^p \left(\sum_{j=1}^n a_{ij}b_{jk}\right)c_{kl} =
           \sum_{k=1}^p \sum_{j=1}^n a_{ij}b_{jk}c_{kl}.
$$
\pause
By definition of products of matrices,
$
  g_{jl} = \Sum_{k=1}^p b_{jk}c_{kl}.
$
\pause
Substituting this expression into the formula for $h_{il}$, we will have
$$
  h_{il} = \sum_{j=1}^n a_{ij}g_{jl} = \sum_{j=1}^n a_{ij}\left(\sum_{k=1}^p b_{jk}c_{kl}\right) =
           \sum_{k=1}^p \sum_{j=1}^n a_{ij}b_{jk}c_{kl}.
$$
\pause
Now we have $f_{il} = h_{il}$ ($i=1,2,\dots,m$, $l=1,2,\dots,q$), hence $F=H$.
\end{proof}

\newslide

\begin{proposition}\label{prop_columns_and_rows_of_matrix_product}
The $j$-th column of the product $AB$ is the linear combination of columns of $A$
with coefficients taken from the $j$-th column of $B$.

The $i$-th column of the product $AB$ is the linear combination of rows of $A$
with coefficients taken from the $i$-th row of $A$.
\end{proposition}

\pause

\begin{corollary} \label{cor_rank_prod_matrix}
If $A\in F^{m\times n}$ and $B \in F^{n\times p}$, then
$$
\rank(AB)\le\rank A, \qquad
\rank(AB)\le\rank B.
$$
\end{corollary}

\newslide

It is obvious that both products $AB$ and $BA$ are defined if and only if 
$A$ and $B$ are square with the same order.
\pause
It is easy to find an example when $AB\ne BA$.
\pause
For instance,
$$
\left(
\begin{array}{cc}
  1 & 1 \\
  0 & 0 \\
\end{array}
\right)
\cdot
\left(
\begin{array}{cc}
  0 & 0 \\
  1 & 1 \\
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{cc}
  1 & 1 \\
  0 & 0 \\
\end{array}
\right),
\qquad
\left(
\begin{array}{cc}
  0 & 0 \\
  1 & 1 \\
\end{array}
\right)
\cdot
\left(
\begin{array}{cc}
  1 & 1 \\
  0 & 0 \\
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{cc}
  0 & 0 \\
  1 & 1 \\
\end{array}
\right).
$$
\pause
Hence in general $AB\ne BA$.
\pause
Thus, the set $F^{n\times n}$ of all square matrices is closed under
operation of multiplication but the multiplication does not possess the commutativity.

\newslide

\section{Elementary operations as matrix multiplication}

Let $E_{ij}$ be a matrix obtained from identity matrix by interchanging its 
$i$-th and $j$-th rows:
$$
E_{ij}=
  \left(
  \begin{array}{ccccccccccc}
  1   &       &     &        &      &       &      \\
      &\ddots &     &        &      &       &      \\
      &       & 0   &        &  1   &       &      \\
      &       &     & \ddots &      &       &      \\
      &       & 1   &        &  0   &       &      \\
      &       &     &        &      &\ddots &      \\
      &       &     &        &      &       &   1
  \end{array}
  \right).
$$

\newslide
Let $E_{i}(\alpha)$ be a matrix obtained from the identity matrix by multiplying
its $i$-th row with $\alpha$:
$$
E_{i}(\alpha)=
  \left(
  \begin{array}{ccccccc}
      1   &       &       &       &       &       &           \\
          &\ddots &       &       &       &       &           \\
          &       &   1   &       &       &       &           \\
          &       &       &\alpha &       &       &           \\
          &       &       &       &   1   &       &           \\
          &       &       &       &       &\ddots &           \\
          &       &       &       &       &       &     1
  \end{array}
  \right).
$$

\newslide
Let $E_{ij}(\alpha)$ matrix obtained from the identity matrix by adding
the $j$-th row multiplied with $\alpha$
to the $i$-th row:
$$
E_{ij}(\alpha)=
  \left(
  \begin{array}{ccccccc}
      1   &       &       &       &       &       &           \\
          &\ddots &       &       &       &       &           \\
          &       &   1   & \dots &\alpha &       &           \\
          &       &       &\ddots &\vdots &       &           \\
          &       &       &       &   1   &       &           \\
          &       &       &       &       &\ddots &           \\
          &       &       &       &       &       &     1
  \end{array}
  \right).
$$
\pause
Matrices $E_{ij}$, $E_{i}(\alpha)$, $E_{ij}(\alpha)$
are called the {\em matrices of elementary operations}.

% E_{ij}=
%   \left(
%   \begin{array}{ccccccccccc}
%   1   &       &      &      &      &       &      &      &      &       &      \\
%       &\ddots &      &      &      &       &      &      &      &       &      \\
%       &       &  1   &      &      &       &      &      &      &       &      \\
%       &       &      &  0   &      &       &      &  1   &      &       &      \\
%       &       &      &      &  1   &       &      &      &      &       &      \\
%       &       &      &      &      &\ddots &      &      &      &       &      \\
%       &       &      &      &      &       &  1   &      &      &       &      \\
%       &       &      &  1   &      &       &      &  0   &      &       &      \\
%       &       &      &      &      &       &      &      &  1   &       &      \\
%       &       &      &      &      &       &      &      &      &\ddots &      \\
%       &       &      &      &      &       &      &      &      &       &   1
%   \end{array}
%   \right),        \\

\newslide
\begin{proposition} \label{prop_el_preobraz_matrix}
Elementary operations {\em with rows} of a matrix $A\in F^{m\times n}$ 
can be performed by multiplying $A$ {\em from the left} with matrices of elementary operations.
More precisely, 
\begin{itemize}
\item multiplying with $E_{ij}$ performs the interchanging the rows $i$ and $j$,
\item multiplying with $E_{i}(\alpha)$ performs the multiplication the $i$-th row by $\alpha$,
\item multiplying with $E_{ij}(\alpha)$ performs the addition the $j$-th row multiplied by $\alpha$ to the $i$-th row.
\end{itemize}

Elementary operations {\em with columns} of a matrix $A\in F^{m\times n}$ 
can be performed by multiplying $A$ {\em from the right} with matrices of elementary operations.
More precisely, 
\begin{itemize}
\item multiplying with $E_{ij}$ performs the interchanging the columns $i$ and $j$,
\item multiplying with $E_{i}(\alpha)$ performs the multiplication the $i$-th column by $\alpha$,
\item multiplying with $E_{ij}(\alpha)$ performs the addition the $i$-th column multiplied by $\alpha$ 
               to the $j$-th column.
\end{itemize}
\end{proposition}

\newslide
\begin{proof}
The proposition follows from proposition \ref{prop_columns_and_rows_of_matrix_product}.
\end{proof}

\pause
Thus, an elementary operation with rows of $A$ is equivalent to
multiplying $A$ form the left with a matrix that can be obtained from the identity matrix with the same elementary operation.

\pause
Similarly for column operations but one should multiply from the right.

\pause
As illustration let's consider the $3\times 3$ case, the third type of elementary operations with rows:
$$
\left(
\begin{array}{ccc}
	1 & \alpha & 0 \\
	0 & 1 & 0 \\
	0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right)
\cdot
\left(
\begin{array}{ccc}
	a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
	a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
	a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{ccc}
	a_{11}+\alpha a_{21} & a_{12}+\alpha a_{22} & a_{13}+\alpha a_{23} \\
	a_{21}               & a_{22}               & a_{23}               \\
	a_{31}               & a_{32}               & a_{33}               \\
\end{array}
\right)
$$

\pause

\begin{exercize}
Consider all other elementary operations with columns and rows of $3\times 3$ matrix.
\end{exercize}

\newslide


\section{Matrix transpose}

Let $A=(a_{ij})\in F^{m\times n}$.
\pause
 
The matrix $B=(b_{ji})\in F^{n\times m}$ with $b_{ji}=a_{ij}$,
is called {\em transposed} to $A$ and denoted as $A\transpose$.

\begin{example}
$$
\left(
\begin{array}{rrr}
	 1 &  2 & -3 \\
	 0 & -3 &  7 \\
	-5 & -1 &  4 \\
\end{array}
\right)\transpose
=
\left(
\begin{array}{rrr}
	 1 &  0 & -5 \\
	 2 & -3 & -1 \\
	-3 &  7 &  4 \\
\end{array}
\right).
$$
\end{example}

\newslide

\begin{proposition} \ 
\begin{enumerate}
  \item[1)] 
If $A\in F^{m\times n}$, $B\in F^{m\times n}$, then $(A+B)\transpose = A\transpose + B\transpose$.
  \item[2)]
If $A\in F^{m\times n}$, $B\in F^{n\times k}$, then $(AB)\transpose = B\transpose A\transpose$.
\end{enumerate}
\end{proposition}
\begin{proof}
The first property is obvious.
Let's prove the second property.
\pause
First, note that sizes of matrices in LHS and RHS of the equality to prove coincide.
\pause
Second, let
$A=(a_{ij})$, 
$B=(b_{jk})$, 
$C=AB=(c_{ik})$,
$D=(AB)\transpose=(d_{ki})$, 
then
$$
d_{ki} = c_{ik} = \sum_{j=1}^n a_{ij} b_{jk}.
$$
\pause
$F=A\transpose=(f_{ji})$, $G=B\transpose=(g_{kj})$, $H=B\transpose A\transpose = (h_{ki})$,
then
$$
f_{ji}=a_{ij},\quad 
g_{kj}=b_{jk},\quad 
h_{ki} = \sum_{j=1}^n g_{kj} f_{ji} = \sum_{j=1}^n b_{jk} a_{ij}.
$$
\pause
Now we have that $d_{ki}=h_{ki}$ ($k=1,2,\dots,k$; $i=1,2,\dots,m$).
\end{proof}



\newslide
\chapter{Determinants}

\newslide

\section{Definitions}

\pause

Recall that the determinant of the $2$-d order is
$$
\left|
\begin{array}{cc}
  a_{11} & a_{12} \\
  a_{21} & a_{22}
\end{array}
\right|
= a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}.
$$
\pause

The determinant of the $3$-d order can be expressed through the determinants of the $2$-d order as follows:

$$
\left|
\begin{array}{ccc}
  a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
  a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
  a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
\end{array}
\right|
= 
a_{11} \cdot 
\left|
\begin{array}{cc}
  a_{22} & a_{23} \\
  a_{32} & a_{33}
\end{array}
\right|
- a_{12} \cdot 
\left|
\begin{array}{cc}
  a_{21} & a_{23} \\
  a_{31} & a_{33}
\end{array}
\right|
+ a_{13} \cdot 
\left|
\begin{array}{cc}
  a_{21} & a_{22} \\
  a_{31} & a_{32}
\end{array}
\right|.
$$

\newslide
Similarly we can define the determinant of the $4$-th order:

$$
\left|
\begin{array}{cccc}
  a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\
  a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\
  a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\
  a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \\
\end{array}
\right|
= 
$$
$$
=
a_{11} \cdot 
\left|
\begin{array}{ccc}
  a_{22} & a_{23} & a_{24} \\
  a_{32} & a_{33} & a_{34} \\
  a_{42} & a_{43} & a_{44} \\
\end{array}
\right|
 - a_{12} \cdot 
\left|
\begin{array}{ccc}
  a_{21} & a_{23} & a_{24} \\
  a_{31} & a_{33} & a_{34} \\
  a_{41} & a_{43} & a_{44} \\
\end{array}
\right|
 + a_{13} \cdot 
\left|
\begin{array}{ccc}
  a_{21} & a_{22} & a_{24} \\
  a_{31} & a_{32} & a_{34} \\
  a_{41} & a_{42} & a_{44} \\
\end{array}
\right|
 - a_{14} \cdot 
\left|
\begin{array}{ccc}
  a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
  a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
  a_{41} & a_{42} & a_{43} \\
\end{array}
\right|.
$$

\pause

And so on...

\pause

Let's consider this more formally.

\newslide

We'll give a definition of the determinant {\em by induction}.

\pause

{\em Base of the induction}
\pause
Define the determinant of the $1\times 1$ matrix $A = (a_{11}) \in F^{1\times 1}$ to be $a_{11}$
(determinant of the $1$-st order).

\pause

{\em Step of the induction}

\pause
Assume that we know what is the determinant of $(n-1)\times(n-1)$ matrix
(determinant of the $(n-1)$-th order).
Let $A \in F^{n\times n}$.

\pause

Let $\MM_{ij}(A)$ (or simply $\MM_{ij}$ if it's clear what matrix $A$ meant)
denote the determinant of the matrix obtained by deleting
the $i$-th row and the $j$-th column of $A$.

\pause
$\MM_{ij}(A)$ is called {\em minor} of $A$ at location $(i,\,j)$.

\pause

Then the determinant of $A$ (determinant of the $n$-th order) is
$$
\det A = a_{11} \MM_{11} - a_{12} \MM_{12} + \dots + (-1)^{n+1} a_{1n} \MM_{1n} = \Sum_{j=1}^n (-1)^{1+j} a_{1j} \MM_{1j}.
$$ 

\pause
This formula is also called {\em the first-row expansion of the determinant}.

\newslide

The determinant $\det A$ of the matrix $A$ is also denoted as
$$
\left|
\begin{array}{cccc}
    a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\
    a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\
    \multicolumn{4}{c}{\dotfill} \\
    a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \\
\end{array}
\right|
$$

\newslide

\section{Determinant of a triangular matrix}

A matrix $A=(a_{ij})\in F^{n\times n}$ is called {\em lower-triangular}, if $a_{ij} = 0$ for all $i$, $j$, 
such that $i<j$,
i.\,e.
\pause
$$
A=
\left(
\begin{array}{cccc}
    a_{11} &    0   & \dots &   0    \\
    a_{21} & a_{22} & \dots &   0    \\
    \multicolumn{4}{c}{\dotfill} \\
    a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \\
\end{array}
\right).
$$

\pause

A matrix $A=(a_{ij})$ is called {\em upper-triangular}, if $a_{ij} = 0$ for all $i$, $j$, such that $i>j$,
i.\,e.
\pause

$$
A=
\left(
\begin{array}{cccc}
    a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\
      0    & a_{22} & \dots & a_{2n} \\
    \multicolumn{4}{c}{\dotfill} \\
      0    &   0    & \dots & a_{nn} \\
\end{array}
\right).
$$

\pause
\begin{theorem}
The determinant of a lower-triangular matrix is equal to the product of diagonal elements:
$$
\det A = a_{11}a_{22}\dots a_{nn}.
$$
The same is for upper-triangular matrices.
\end{theorem}

\pause

\begin{proof}
Expanding by the first row:
$$
\left|
\begin{array}{ccccc}
    a_{11} &    0   &    0   & \dots &   0    \\
    a_{21} & a_{22} &    0   & \dots &   0    \\
    a_{31} & a_{32} & a_{33} & \dots &   0    \\
    \multicolumn{5}{c}{\dotfill}              \\
    a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \dots & a_{nn} \\
\end{array}
\right|
=a_{11}\cdot 
\left|
\begin{array}{cccc}
    a_{22} &    0   & \dots &   0    \\
    a_{32} & a_{33} & \dots &   0    \\
    \multicolumn{4}{c}{\dotfill}              \\
    a_{n2} & a_{n3} & \dots & a_{nn} \\
\end{array}
\right|
=a_{11}\cdot a_{22}\cdot 
\left|
\begin{array}{ccc}
    a_{33} & \dots &   0          \\
    \multicolumn{3}{c}{\dotfill}  \\
    a_{n3} & \dots & a_{nn}       \\
\end{array}
\right| =
$$
$$
= \dots = a_{11}a_{22}\dots a_{nn}.
$$
\end{proof}



\newslide


\section{Expanded form of the determinant}

\pause
$$
\left|
\begin{array}{cc}
  a_{11} & a_{12} \\
  a_{21} & a_{22}
\end{array}
\right|
= a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}.
$$

\pause

$$
\left|
\begin{array}{ccc}
  a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
  a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
  a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
\end{array}
\right|
= a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32}
- a_{13}a_{22}a_{31} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32}.
$$

\pause

These are {\em expanded forms of the determinants}.

\pause

We can also try to obtain the expanded form of the $4$-th order determinant,
expanding each $3$-th order determinant in the first-row expansion of the $4$-th order determinant:
\newslide

$$
\left|
\begin{array}{cccc}
  a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\
  a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\
  a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\
  a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \\
\end{array}
\right|
= 
$$
$$
=
a_{11} \cdot 
\left|
\begin{array}{ccc}
  a_{22} & a_{23} & a_{24} \\
  a_{32} & a_{33} & a_{34} \\
  a_{42} & a_{43} & a_{44} \\
\end{array}
\right|
 - a_{12} \cdot 
\left|
\begin{array}{ccc}
  a_{21} & a_{23} & a_{24} \\
  a_{31} & a_{33} & a_{34} \\
  a_{41} & a_{43} & a_{44} \\
\end{array}
\right|
 + a_{13} \cdot 
\left|
\begin{array}{ccc}
  a_{21} & a_{22} & a_{24} \\
  a_{31} & a_{32} & a_{34} \\
  a_{41} & a_{42} & a_{44} \\
\end{array}
\right|
 - a_{14} \cdot 
\left|
\begin{array}{ccc}
  a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
  a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
  a_{41} & a_{42} & a_{43} \\
\end{array}
\right| =
$$
$$
\begin{narrowarray}{cl}
= &
a_{11}\cdot (a_{22}a_{33}a_{44} + a_{23}a_{34}a_{42} + a_{24}a_{32}a_{43} 
           - a_{24}a_{33}a_{42} - a_{23}a_{32}a_{44} - a_{22}a_{34}a_{43}) \\
- &
a_{12}\cdot (a_{21}a_{33}a_{44} + a_{23}a_{34}a_{41} + a_{24}a_{31}a_{43} 
           - a_{24}a_{33}a_{41} - a_{23}a_{31}a_{44} - a_{21}a_{34}a_{43}) \\
+ &
a_{13}\cdot (a_{21}a_{32}a_{44} + a_{22}a_{34}a_{41} + a_{24}a_{31}a_{42} 
           - a_{24}a_{32}a_{41} - a_{22}a_{31}a_{44} - a_{21}a_{34}a_{42}) \\
- &
a_{14}\cdot (a_{21}a_{32}a_{43} + a_{22}a_{33}a_{41} + a_{23}a_{31}a_{42} 
           - a_{23}a_{32}a_{41} - a_{22}a_{31}a_{43} - a_{21}a_{33}a_{42}) =
\end{narrowarray}
$$
$$
\begin{array}{l}
 =
  a_{11}a_{22}a_{33}a_{44} + a_{11}a_{23}a_{34}a_{42} + a_{11}a_{24}a_{32}a_{43} 
           - a_{11}a_{24}a_{33}a_{42} - a_{11}a_{23}a_{32}a_{44} - a_{11}a_{22}a_{34}a_{43} \\
- a_{12}a_{21}a_{33}a_{44} - a_{12}a_{23}a_{34}a_{41} - a_{12}a_{24}a_{31}a_{43} 
           + a_{12}a_{24}a_{33}a_{41} + a_{12}a_{23}a_{31}a_{44} + a_{12}a_{21}a_{34}a_{43} \\
+ a_{13}a_{21}a_{32}a_{44} + a_{13}a_{22}a_{34}a_{41} + a_{13}a_{24}a_{31}a_{42} 
           - a_{13}a_{24}a_{32}a_{41} - a_{13}a_{22}a_{31}a_{44} - a_{13}a_{21}a_{34}a_{42} \\
- a_{14}a_{21}a_{32}a_{43} - a_{14}a_{22}a_{33}a_{41} - a_{14}a_{23}a_{31}a_{42} 
           + a_{14}a_{23}a_{32}a_{41} + a_{14}a_{22}a_{31}a_{43} + a_{14}a_{21}a_{33}a_{42}.
\end{array}
$$
%$24$ terms.

\newslide

In the general case we have the following theorem.

\pause

\begin{theorem}[Expanded form of the determinant]
The $n$-th order determinant is equal to the sum of $n!$ products
$
\pm a_{1j_1}a_{2j_2} \dots a_{nj_n},
$
where $(j_1,\,j_2,\,\dots, j_n)$ is a permutation of $(1,2,\dots,n)$
and the sign is $+$ if the number $\sigma(j_1,\,j_2,\,\dots, j_n)$
of inversions in $(j_1,\,j_2,\,\dots, j_n)$ is {\em even} and 
the sign is $-$ if the number of inversions is {\em odd}
$($the {\em inversion} occurs iff $j_i > j_{i'}$ but $i < i'$$)$.
\pause
This can be written as
$$
\det A = \Sum_{(j_1,\,j_2,\,\dots, j_n)} (-1)^{\sigma(j_1,\,j_2,\,\dots, j_n)} a_{1j_1}a_{2j_2} \dots a_{nj_n},
$$
where the sum is over all permutations $(j_1,\,j_2,\,\dots, j_n)$ of $(1,2,\dots,n)$
and $\sigma(j_1,\,j_2,\,\dots, j_n)$ denotes the number of inversions in the permutation.
\end{theorem}

\pause
For example, in the permutation $(2, 3, 1, 4)$ we have $2$ (even) inversions: $(2,\,1)$ and $(3,\,1)$.

\pause
In the permutation $(2, 4, 1, 3)$ we have $3$ (odd) inversions: $(2,\,1)$, $(4,\,1)$, $(4,\,3)$.

\pause
\begin{proof}
Omitted
\end{proof}

\pause

\begin{exercize}
Verify the theorem for $n=2,3,4$.
\end{exercize}

\newslide

\section{Row and column expansions of the determinant}

\pause

\begin{theorem}[Row and column expansions of the determinant]\label{th_rcexpansion}
Let $A\in F^{n\times n}$.

For any row $i$
$$
\det A = (-1)^{i+1} a_{i1} \MM_{i1} + (-1)^{i+2} a_{i2} \MM_{i2} + \dots + (-1)^{i+n} a_{in} \MM_{in}
       = \Sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij}\MM_{ij}
$$
(the $i$-th row expansion).

For any column $j$
$$
\det A = (-1)^{1+j} a_{1j} \MM_{1j} + (-1)^{2+j} a_{2j} \MM_{2j} + \dots + (-1)^{n+j} a_{nj} \MM_{nj}
       = \Sum_{i=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij}\MM_{ij}
$$
(the $j$-th column expansion).
\end{theorem}

\pause
\begin{proof}
Omitted
\end{proof}

\newslide
\begin{example}
$2$-nd row expansion of the $3$-d order determinant:
$$
\left|
\begin{array}{ccc}
  a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
  a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
  a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
\end{array}
\right|
= 
-a_{21} \cdot 
\left|
\begin{array}{cc}
  a_{12} & a_{13} \\
  a_{32} & a_{33}
\end{array}
\right|
+ a_{22} \cdot 
\left|
\begin{array}{cc}
  a_{11} & a_{13} \\
  a_{31} & a_{33}
\end{array}
\right|
- a_{23} \cdot 
\left|
\begin{array}{cc}
  a_{11} & a_{12} \\
  a_{31} & a_{32}
\end{array}
\right|.
$$

\pause
$3$-rd column expansion of the $3$-rd order determinant:
$$
\left|
\begin{array}{ccc}
  a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
  a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
  a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
\end{array}
\right|
= 
a_{13} \cdot 
\left|
\begin{array}{cc}
  a_{21} & a_{22} \\
  a_{31} & a_{32}
\end{array}
\right|
- a_{23} \cdot 
\left|
\begin{array}{cc}
  a_{11} & a_{12} \\
  a_{31} & a_{32}
\end{array}
\right|
+ a_{33} \cdot 
\left|
\begin{array}{cc}
  a_{11} & a_{12} \\
  a_{21} & a_{22}
\end{array}
\right|.
$$
\end{example}

\pause

$(-1)^{i+j}\MM_{ij}(A)$ is called {\em cofactor} at location $(i,\,j)$ and denoted as $\CCC_{ij}(A)$ 
(or $\CCC_{ij}$ if there is no ambiguity).

\pause

Now we can write formulas in Theorem \ref{th_rcexpansion} as follows
$$
\det A = \Sum_{j=1}^n a_{ij}\CCC_{ij}, \qquad
\det A = \Sum_{i=1}^n a_{ij}\CCC_{ij}.
$$

\newslide

\begin{theorem}
A matrix and its transpose have equal determinants, i.e.
$$
\det A = \det A\transpose.
$$
\end{theorem}

\pause

\begin{proof}
Induction by $n$.
\pause
{\em Base of the induction:} $n=1$. 
For a matrix of size $1$, the transpose and the matrix itself are equal, so their determinants are equal too.
\pause
{\em Step of the induction.}
Suppose that theorem is true for matrices of size $n-1$. Hence
$$
\det A = a_{11} \CCC_{11}(A) + a_{12} \CCC_{12}(A) + \dots + a_{1n}\CCC_{1n}(A) 
= a_{11} \CCC_{11}(A\transpose) + a_{12} \CCC_{21}(A\transpose) + \dots + a_{1n}\CCC_{n1}(A\transpose). 
$$
The last expression is the first-column expansion of $\det(A\transpose)$.
\end{proof}

\newslide

\begin{theorem}
If two rows or columns are interchanged, the determinant changes sign.
\end{theorem}

\pause

\begin{corollary}
The determinant of a matrix with two equal rows or columns is zero.
\end{corollary}

\newslide

\begin{theorem}\label{th_rcexpansion_another_row}
Let $A=(a_{ij})\in F^{n\times n}$.
If $i\ne k$
$$
  \Sum_{j=1}^n a_{kj}\CCC_{ij} = 0. \tag{f_th_row_expansion other}
$$
If $j\ne k$
$$
  \Sum_{i=1}^n a_{ik}\CCC_{ij} = 0.
$$
\end{theorem}

\pause
\begin{proof}
Let $B$ be the matrix obtained from $A$ by replacing $i$-th row by $k$-th row.

\pause
$\det B = 0$ since $B$ has two identical rows.

\pause
Expanding $\det B$ along $i$-th row we get \Ref{f_th_row_expansion other}.

\pause
Similarly for columns.
\end{proof}

\begin{theorem}
Determinant is a linear function of each row,
i.\,e.
$$
\left|
\begin{array}{cccc}
    a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\
    \multicolumn{4}{c}{\dotfill} \\
    a'_{i1}+a''_{i1} & a'_{i2}+a''_{i2} & \dots & a'_{in}+a''_{in} \\
    \multicolumn{4}{c}{\dotfill} \\
    a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \\
\end{array}
\right|
=
\left|
\begin{array}{cccc}
    a_{11}  & a_{12}  & \dots & a_{1n} \\
    \multicolumn{4}{c}{\dotfill} \\
    a'_{i1} & a'_{i2} & \dots & a'_{in} \\
    \multicolumn{4}{c}{\dotfill} \\
    a_{n1}  & a_{n2}  & \dots & a_{nn} \\
\end{array}
\right|
+
\left|
\begin{array}{cccc}
    a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\
    \multicolumn{4}{c}{\dotfill} \\
    a''_{i1} & a''_{i2} & \dots & a''_{in} \\
    \multicolumn{4}{c}{\dotfill} \\
    a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \\
\end{array}
\right|,
$$
$$
\left|
\begin{array}{cccc}
    a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\
    \multicolumn{4}{c}{\dotfill} \\
    \alpha a'_{i1} & \alpha a'_{i2} & \dots & \alpha a'_{in} \\
    \multicolumn{4}{c}{\dotfill} \\
    a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \\
\end{array}
\right|
=
\alpha \cdot
\left|
\begin{array}{cccc}
    a_{11}  & a_{12}  & \dots & a_{1n} \\
    \multicolumn{4}{c}{\dotfill} \\
    a'_{i1} & a'_{i2} & \dots & a'_{in} \\
    \multicolumn{4}{c}{\dotfill} \\
    a_{n1}  & a_{n2}  & \dots & a_{nn} \\
\end{array}
\right|.
$$
Similarly for columns.
\end{theorem}

\pause

\begin{proof}
\newslide
Expand the first determinant about the $i$-th row:
$$
\left|
\begin{array}{cccc}
    a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\
    \multicolumn{4}{c}{\dotfill} \\
    a'_{i1}+a''_{i1} & a'_{i2}+a''_{i2} & \dots & a'_{in}+a''_{in} \\
    \multicolumn{4}{c}{\dotfill} \\
    a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \\
\end{array}
\right| = 
(a'_{i1}+a''_{i1})\CCC_{i1} + (a'_{i2}+a''_{i2})\CCC_{i2} + \dots + (a'_{in}+a''_{in})\CCC_{in} =
$$
\pause
$$
=
(a'_{i1}\CCC_{i1} + \dots + a'_{in}\CCC_{in}) +
(a''_{i1}\CCC_{i1} + \dots + a''_{in}\CCC_{in}) =
\left|
\begin{array}{cccc}
    a_{11}  & a_{12}  & \dots & a_{1n} \\
    \multicolumn{4}{c}{\dotfill} \\
    a'_{i1} & a'_{i2} & \dots & a'_{in} \\
    \multicolumn{4}{c}{\dotfill} \\
    a_{n1}  & a_{n2}  & \dots & a_{nn} \\
\end{array}
\right|
+
\left|
\begin{array}{cccc}
    a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\
    \multicolumn{4}{c}{\dotfill} \\
    a''_{i1} & a''_{i2} & \dots & a''_{in} \\
    \multicolumn{4}{c}{\dotfill} \\
    a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \\
\end{array}
\right|.
$$
\pause
The proof of the second equality is similar.
\end{proof}

\newslide

\begin{corollary}
Adding a row multiplied by a scalar
of a square matrix to another row of the same matrix does not change the determinant.
\pause
Similarly for columns
\end{corollary}

\pause
\begin{proof}
Let's add the $j$-th row multiplied with $\alpha$ to the $i$-th row:
$$
\left|
\begin{array}{cccc}
    a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\
    \multicolumn{4}{c}{\dotfill} \\
    a_{j1}+\alpha a_{i1} & a_{j2}+\alpha a_{i2} & \dots & a_{jn}+\alpha a_{in} \\
    \multicolumn{4}{c}{\dotfill} \\
    a_{i1} & a_{i2} & \dots & a_{in} \\
    \multicolumn{4}{c}{\dotfill} \\
    a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \\
\end{array}
\right| = 
\left|
\begin{array}{cccc}
    a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\
    \multicolumn{4}{c}{\dotfill} \\
    a_{j1} & a_{j2} & \dots & a_{jn} \\
    \multicolumn{4}{c}{\dotfill} \\
    a_{i1} & a_{i2} & \dots & a_{in} \\
    \multicolumn{4}{c}{\dotfill} \\
    a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \\
\end{array}
\right|
+
\alpha\cdot
\left|
\begin{array}{cccc}
    a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\
    \multicolumn{4}{c}{\dotfill} \\
    a_{i1} & a_{i2} & \dots & a_{in} \\
    \multicolumn{4}{c}{\dotfill} \\
    a_{i1} & a_{i2} & \dots & a_{in} \\
    \multicolumn{4}{c}{\dotfill} \\
    a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \\
\end{array}
\right|
$$
\pause
The last determinant is zero because it has two equal rows.
\end{proof}

\newslide

The convenient way to evaluate the determinant of a matrix is to reduce it to row-echelon form,
recording any sign changes caused by row interchanges
and recording all factors cased by multiplying rows with scalars.

\pause

\begin{example}
Evaluate the determinant
$$
\Delta = 
\left|
\begin{array}{rrrr}
 2 & -1 &  3 &  2 \\
 1 &  2 &  3 &  4 \\
 3 &  1 & -2 &  3 \\
 1 &  2 & -3 & -1 \\
\end{array}
\right|.
$$
\pause
Interchange the first and the second rows.
The determinant changes sign.
Subtract the first row from all other rows with suitable multipliers
($2$, $3$, $1$ correspondingly) in order to annul entries below the diagonal:
$$
\Delta =
-\left|
\begin{array}{rrrr}
 1 &  2 &  3 &  4 \\   
 0 & -5 & -3 & -6 \\
 0 & -5 &-11 & -9 \\
 0 &  0 & -6 & -5 \\
\end{array}
\right|.
$$
\newslide
Subtract the second row from the third one:
$$
\Delta =
-\left|
\begin{array}{rrrr}
 1 &  2 &  3 &  4 \\   
 0 & -5 & -3 & -6 \\
 0 &  0 & -8 & -3 \\
 0 &  0 & -6 & -5 \\
\end{array}
\right|.
$$
\pause
Subtract the third row multiplied with $\fracc{6}{8}=\fracc{3}{4}$ from the forth one:
$$
\Delta =
- \left|
\begin{array}{rrrr}
 1 &  2 &  3 &  4  \\   
 0 & -5 & -3 & -6  \\
 0 &  0 & -8 & -3  \\
 0 &  0 &  0 &-\fracc{11}{4}\\   
\end{array}
\right| = -1\cdot(-5)\cdot(-8)\cdot\left(-\fracc{11}{4}\right) = 110
$$
\end{example}

\newslide

\section{Vandermonde determinant}

Let $x_1, x_2, \dots, x_n$ be some scalars in $F$.
{\em Vandermonde determinant} is
$$
W(x_1, x_2, \dots, x_n)=
\left|
\begin{array}{ccccc}
1 & x_1 & x_1^2 & \dots & x_1^{n-1} \\
1 & x_2 & x_2^2 & \dots & x_2^{n-1} \\
\multicolumn{5}{c}{\dotfill}        \\
1 & x_n & x_n^2 & \dots & x_n^{n-1} \\
\end{array}
\right|.              \tag{f_W_f}
$$
\pause

\begin{theorem}  \label{prop_Wander}
$$
W(x_1, x_2, \dots, x_n) = \prod_{1 \le i < j \le n} (x_j - x_i).  \tag{f_W_ff}
$$
\end{theorem}
\begin{proof}
Induction by $n$.
\pause

If $n=2$ then
$$
W(x_1, x_2) =
\left|
\begin{array}{cc}
1 & x_1  \\
1 & x_2  \\
\end{array}
\right| = x_2 - x_1. 
$$

\newslide
Suppose that \Ref{f_W_ff} holds for Vandermonde determinants of the $(n-1)$-th order.
Let's prove it for determinants of the $n$-th order.

\pause
Subtract the $(n-1)$-th column multiplied with $x_1$ from the $n$-th column;
then subtract the $(n-2)$-th column multiplied with $x_1$ from the $(n-2)$-th column and so on.
We obtain
$$
W(x_1, x_2, \dots, x_n)=\left|
\begin{array}{ccccc}
1 & 0         & 0             & \dots & 0                         \\
1 & x_2 - x_1 & x_2^2-x_2x_1  & \dots & x_2^{n-1} - x_2^{n-2} x_1 \\
\multicolumn{5}{c}{\dotfill}                                      \\
1 & x_n - x_1 & x_n^2-x_nx_1  & \dots & x_n^{n-1} - x_n^{n-2} x_1 \\
\end{array}
\right|.              
$$
\pause
Expanding the determinant about the first row we obtain
$$
W(x_1, x_2, \dots, x_n)=\left|
\begin{array}{cccc}
 x_2 - x_1 & x_2^2-x_2x_1  & \dots & x_2^{n-1} - x_2^{n-2} x_1 \\
\multicolumn{4}{c}{\dotfill}                                      \\
 x_n - x_1 & x_n^2-x_nx_1  & \dots & x_n^{n-1} - x_n^{n-2} x_1 \\
\end{array}
\right|.              
$$
\newslide
Taking out factors $(x_2-x_1), (x_3-x_1), \dots, (x_n-x_1)$ of all rows we obtain:
$$
W(x_1, x_2, \dots, x_n)=
(x_2-x_1)(x_3-x_1)\dots(x_n-x_1)     
\left|
\begin{array}{ccccc}
1 & x_2 & x_2^2 & \dots & x_2^{n-2} \\
1 & x_3 & x_3^2 & \dots & x_3^{n-2} \\
\multicolumn{5}{c}{\dotfill}        \\
1 & x_n & x_n^2 & \dots & x_n^{n-2} \\
\end{array}
\right|
$$
$$
=(x_2-x_1)(x_3-x_1)\dots(x_n-x_1)\cdot W(x_2,x_3,\dots,x_n).
$$
\pause
It remains to apply inductive hypothesis to $W(x_2, x_3, \dots, x_n)$: 
$$
W(x_1, x_2, \dots, x_n)= 
(x_2-x_1)(x_3-x_1)\dots(x_n-x_1)\prod_{2 \le i < j \le n} (x_j - x_i) = \prod_{1 \le i < j \le n} (x_j - x_i).
$$
\end{proof}

\pause

\begin{corollary} \label{cor_Wandermond}
Vandermonde determinant $W(x_1, x_2, \dots, x_n)$
is zero if and only if there are at least two equal numbers among $x_1,x_2,\dots,x_n$.
\end{corollary}

\newslide

\begin{example}
$$
\left|
\begin{array}{ccccc}
1 & x_1 & x_1^2 \\
1 & x_2 & x_2^2 \\
1 & x_3 & x_3^2 \\
\end{array}
\right| = (x_2-x_1)(x_3-x_1)(x_3-x_2).
$$
\end{example}

\newslide

\section{Non-singular matrices}

Let $A\in F^{n\times n}$.

If $\rank A < n$ then $A$ is called {\em singular}.

If $\rank A = n$ then $A$ is called {\em non-singular}.

\pause
\begin{lemma} \label{lemma_sing_matrix}
Let $A\in F^{n\times n}$.
and $A'$ is obtained from $A$ by means of row elementary operations.
Then
$\det A = 0$ if and only if $\det A' = 0$.
\end{lemma}
\pause
\begin{proof}
Interchanging the rows changes only sign of the determinant.
\pause

Multiplication of the row by a scalar $\alpha \ne 0$ multiplies the determinant by $\alpha$.
But if the determinant was $0$ it remains to be $0$.
If it was not $0$ it remains to be not $0$.
\pause

Adding a row to another row does not change the determinant.
\end{proof}

\newslide

\begin{theorem}
Let $A\in F^{n\times n}$. Then
$\det A = 0$ if and only if $A$ is singular.
\end{theorem}

\pause

\begin{proof}
Let $A'$ be r.r.e.f. of $A$.
\pause

$A'$ can be obtained from $A$ by means of row elementary operations, hence
by Lemma \ref{lemma_sing_matrix}
$\det A = 0$ if and only if $\det A' = 0$.
\pause

It's clear that $\det A' = 0$ if and only if $\rank A < n$ because $A'$ is r.r.e.f.
\end{proof}

\pause

\begin{exercize}
Evaluate the value of the determinant
$$
\left|
\begin{array}{ccccc}
2 & 1 & 0 \\
1 & 2 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
\end{array}
\right|
$$
\end{exercize}

\begin{exercize}
Evaluate the value of the determinant
$$
\left|
\begin{array}{ccccc}
2 & 3 & 4 & 5 \\
3 & 3 & 4 & 5 \\
4 & 4 & 4 & 5 \\
5 & 5 & 5 & 5 \\
\end{array}
\right|
$$
\end{exercize}

\begin{exercize}
Evaluate the value of the determinant
$$
\left|
\begin{array}{ccccc}
1 & 1 & 1 & -1 \\
1 & 1 & -1 & 1 \\
1 & -1 & 1 & 1 \\
-1 & 1 & 1 & 1 \\
\end{array}
\right|
$$
\end{exercize}

\begin{exercize}
Evaluate the value of the determinant
$$
\left|
\begin{array}{ccccc}
-1 & 2 & 0 & 1 \\
1 & -1 & 2 & 0 \\
0 & 1 & -1 & 2 \\
2 & 0 & 1 & -1 \\
\end{array}
\right|
$$
\end{exercize}

\begin{exercize}
Evaluate the value of the determinant
$$
\left|
\begin{array}{ccccc}
1 & -1 & 1 & -1 \\
-1 & 1 & -1 & 1 \\
1 & -1 & 1 & -1 \\
-1 & 1 & -1 & 1 \\
\end{array}
\right|
$$
\end{exercize}

\begin{exercize}
Evaluate the value of the determinant
$$
\left|
\begin{array}{ccccc}
2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\
\end{array}
\right|
$$
\end{exercize}


\begin{exercize}
Evaluate the value of the determinant
$$
\left|
\begin{array}{ccccc}
1 & 0  & \dots & 0                         \\
0 & 2  & \dots & 0 \\
\multicolumn{4}{c}{\dotfill}                                      \\
0 & \dots  & 0 & n \\
\end{array}
\right|              
$$
\end{exercize}

\begin{exercize}
Evaluate the value of the determinant
$$
\left|
\begin{array}{ccccc}
0 & \dots & 0 & 0 & 1                         \\
0 & \dots & 0 & 1 & 0 \\
\multicolumn{5}{c}{\dotfill}                                      \\
1 & 0 &0 & \dots & 0 \\
\end{array}
\right|              
$$
\end{exercize}

\begin{exercize}
Evaluate the value of the determinant
$$
\left|
\begin{array}{ccccc}
0 & \dots & 0 & 0 & 1                         \\
0 & \dots & 0 & 2 & 0 \\
\multicolumn{5}{c}{\dotfill}                                      \\
n & 0 & 0 & \dots & 0 \\
\end{array}
\right|              
$$
\end{exercize}

\begin{exercize}
Evaluate the value of the determinant
$$
\left|
\begin{array}{ccccc}
1 & 2 &\dots & 2 & 2                         \\
2 & 1 & 2 & \dots & 2 \\
\multicolumn{5}{c}{\dotfill}                                      \\
2 & \dots &2 & 2 & 1 \\
\end{array}
\right|              
$$
\end{exercize}

\begin{exercize}
Evaluate the value of the determinant
$$
\left|
\begin{array}{cccccc}
1 & 2 & 0 & \dots &0 &0  \\
2 & 1 & 2 & \dots & 0 & 0 \\
0 & 2 & 1 & 2 & \dots & 0 \\
\multicolumn{6}{c}{\dotfill} \\
0 & \dots & 0 & 2 & 1 & 2 \\                                      
0 & \dots & 0 & 0 & 2 & 1  \\
\end{array}
\right|              
$$
\end{exercize}

\begin{exercize}
Evaluate the value of the determinant
$$
\left|
\begin{array}{ccccccc}
a & b & 0 & \dots & 0 & 0 & 0\\
c & a & b  & \dots & 0 & 0 & 0\\
0 & c & a  & b & \dots & 0 & 0\\
\multicolumn{7}{c}{\dotfill} \\
0 & 0 & 0 & \dots  & c & a & b\\                                      
0 & 0 & 0 & \dots & 0 & c & a \\
\end{array}
\right|              
$$
\end{exercize}









\newslide

\section{Matrix inverse}

Let $A \in F^{n\times n}$.
\pause

The transpose of the matrix composed from cofactors of $A$ is called the {\em adjoint} of $A$.
The adjoint of $A$ is denoted by $\adj A$:
$$
\adj A =
\left(
\begin{array}{cccc}
	\CCC_{11} & \CCC_{21} & \dots & \CCC_{n1} \\
	\CCC_{12} & \CCC_{22} & \dots & \CCC_{n2} \\
	\multicolumn{4}{c}{\dotfill}              \\
	\CCC_{1n} & \CCC_{2n} & \dots & \CCC_{nn} \\
\end{array}
\right).
$$

\newslide

\begin{theorem} \label{th_adj_matrix}
If $A \in F^{n\times n}$ then
$$
    A \cdot \adj A = \adj A \cdot A = \det A \cdot I.
$$
\end{theorem}

\begin{proof}
Let's prove that $A \cdot \adj A = \det A \cdot I$.
\pause
Consider the $(i, j)$ element of $A \cdot \adj A = (b_{ij})$.
\pause
$$
b_{ij} = a_{i1} \CCC_{j1} + a_{i2} \CCC_{j2} + \dots + a_{in} \CCC_{jn} 
=
\left\{
  \begin{array}{ll}
	    \det A, & \mbox{if $i  =  j$,}\\
	       0,   & \mbox{if $i \ne j$}\\
  \end{array}
\right.
$$
by Theorems \ref{th_rcexpansion}, \ref{th_rcexpansion_another_row}.
\pause
Thus, $A \cdot \adj A = \det A \cdot I$.
\pause
Equality $\adj A \cdot A = \det A \cdot I$ is proved similarly.
\end{proof}

\pause

Let $A \in F^{n\times n}$.
The matrix $B \in F^{n\times n}$ such that $AB = BA = I$ is called {\em inverse} of $A$.

\pause
The inverse of $A$ is denoted by $A^{-1}$.

\newslide

\begin{theorem}
If $\det A \ne 0$ ($A$ is non-singular) then the inverse $A^{-1}$ of $A$ is unique and
$$
    A^{-1} = \frac{1}{\det A} \cdot \adj A.          \tag{f_inv_matrix_form}
$$
\pause
If $\det A = 0$ ($A$ is singular) then the inverse does not exist.
\end{theorem}
\pause

\begin{proof}
Let $\det A \ne 0$. Then by Theorem \ref{th_adj_matrix}
$$
A \cdot \frac{1}{\det A} \cdot \adj A = \frac{1}{\det A} \cdot \adj A \cdot A = I,
$$
hence $(1/\det A) \cdot \adj A$ is the inverse.
\pause

Let's prove that if $\det A \ne 0$ then the inverse is unique.
Assume the contrary: let both $B$ and $B'$ are inverses of $A$.
\pause
Then
$
B\cdot A\cdot B' = B    %\tag{f_inv_matrix_proof1}
$
since $A\cdot B' = I$.
\pause
On the other hand,
$
B\cdot A\cdot B' = B'   %\tag{f_inv_matrix_proof2}
$
since $B\cdot A = I$.
\pause
%From \Ref{f_inv_matrix_proof1} and \Ref{f_inv_matrix_proof2}
Now we have $B=B'$.

\newslide
It remains to prove that if $\det A = 0$ then the inverse does not exist.
\pause
Really, since $\det A = 0$ then $\rank A < n$.
\pause
If $A\cdot B = I$ then by Corollary \ref{cor_rank_prod_matrix}
$$
n > \rank A \ge \rank I = n.
$$
Contradiction.
\end{proof}

\newslide
\begin{example}
Find the inverse of $2\times 2$ matrix
$$
\left(
\begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array}
\right).
$$
\pause
$$
\left(
\begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array}
\right)^{-1}
=
\frac{1}{ad-bc} \cdot
\left(
\begin{array}{cc}
 d & -b \\
-c &  a
\end{array}
\right).
$$
\end{example}

\newslide
\begin{example}  \label{ex_inv_marix_1}
Evaluate inverse of 
$$
A=
\left(
\begin{array}{rrr}
   2 &  4 &  1 \\
  -1 &  2 &  3 \\
   3 & -5 & -3 
\end{array}
\right).
$$
\pause
$$
\det A = 41, \quad
\CCC_{11} = 
\left|
\begin{array}{rr}
  2 &  3   \\
 -5 & -3   \\
\end{array}
\right|=9,
\quad
\CCC_{12} = 
-\left|
\begin{array}{rr}
 -1 &  3   \\
  3 & -3   \\
\end{array}
\right|=6,
\quad
\CCC_{13} = 
\left|
\begin{array}{rr}
 -1 &  2  \\
  3 & -5   \\
\end{array}
\right|=-1,
$$
\pause
$$
\CCC_{21} = -
\left|
\begin{array}{rr}
  4 &  1   \\
 -5 & -3   \\
\end{array}
\right|=7,
\quad
\CCC_{22} = 
\left|
\begin{array}{rr}
  2 &  1   \\
  3 & -3   \\
\end{array}
\right|=-9,
\quad
\CCC_{23} = -
\left|
\begin{array}{rr}
  2 &  4  \\
  3 & -5   \\
\end{array}
\right|=22,
$$
\pause
$$
\CCC_{31} = 
\left|
\begin{array}{rr}
  4 &  1   \\
  2 &  3   \\
\end{array}
\right|=10,
\quad
\CCC_{32} = 
-\left|
\begin{array}{rr}
  2 &  1   \\
 -1 &  3   \\
\end{array}
\right|=-7,
\quad
\CCC_{33} = 
\left|
\begin{array}{rr}
  2 &  4  \\
 -1 &  2   \\
\end{array}
\right|=8,
$$
\pause
Hence
$$
A^{-1}= \frac{1}{41} \cdot
\left(
\begin{array}{rrr}
   9  &  7  &  10  \\
   6  & -9  &  -7  \\
  -1  & 22  &   8 
\end{array}
\right).
$$
\end{example}


\begin{proposition} \label{prop_ainvinv}
Let $A\in F^{n\times n}$, $B\in F^{n\times n}$.
\pause
If $AB = I$ then $BA = I$, i.\,e. $B=A^{-1}$ and $A=B^{-1}$.
\end{proposition}
\pause
\begin{proof}
Since $AB=E$ and $\rank E = n$, then by corollary \ref{cor_rank_prod_matrix}
$\rank A = \rank B = n$, hence $\det A \ne 0$ and $\det B \ne 0$.
Thus, there exist matrices $A^{-1}$ and $B^{-1}$.

\pause
Multiplying both parts of $AB=E$ from the left by $A^{-1}$ we get
$A^{-1} A B = A^{-1}$, hence $B=A^{-1}$. 

\pause
Multiplying both parts of $AB=E$ from the right by $B^{-1}$ we get $A = B^{-1}$.
\end{proof}

\newslide

\begin{proposition}
Let $A\in F^{n\times n}$, $B\in F^{n\times n}$, $\det A \ne 0$, $\det B \ne 0$, then
$$
(A^{-1})^{-1} = A, \quad
(A B)^{-1} = B^{-1} A^{-1}, \quad
(A\transpose)^{-1} = (A^{-1})\transpose.
%,  \quad
%\det(A^{-1}) = \fracc{1}{\det A}.
$$ 
\end{proposition}
\begin{proof}
The first property is proved in Proposition \ref{prop_ainvinv}.
\pause
Let's prove that $(A\transpose)^{-1} = (A^{-1})\transpose$.
\pause
This is equivalent to proposition that $(A^{-1})\transpose$ is the inverse of $A\transpose$.
Verify this:
$$
(A^{-1})\transpose A\transpose =(A A^{-1})\transpose = I.
$$
\pause
The equality $(A B)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$ can be proved similarly.
\end{proof}

\newslide
\begin{note}  \label{n_pract_inv_matrix}
The formula \Ref{f_inv_matrix_form} is convenient for finding the inverse
only for small $n$ or in special cases.
\pause
As a rule in order to find the matrix inverse one use the method of elementary operations.

\pause
Let $\det A \ne 0$ then $A$ can be reduced to identity matrix $I$ using elementary row operations. 
It turns out that if one perform the same sequence of elementary operations with the identity matrix, then
one gets $A^{-1}$.

\newslide
Really, by Proposition \ref{prop_el_preobraz_matrix} 
each elementary operation with rows of $A$ is equivalent to multiplying $A$ from the left 
by a matrix of special form. Hence the sequence of elementary operations is equivalent to
multiplying by such matrices $S_1, S_2, \dots, S_t$.

\pause
If this sequence of elementary operations reduce the matrix to the identity matrix then
$$
S_t \cdot(S_{t-1}\cdot\dots \cdot(S_2\cdot(S_1\cdot A))\dots)=I.    \tag{f_SSS_inv}
$$ 

\pause
Let $B=S_tS_{t-1}\dots S_2S_1$, then from \Ref{f_SSS_inv} we get $B=A^{-1}$. 

\pause
Hence performing the same operations with the identity matrix
we obtain 
$$
S_t \cdot(S_{t-1}\cdot\dots \cdot(S_2\cdot(S_1\cdot I))\dots)=B=A^{-1}.
$$

\pause
As a rule for implementation of this algorithm one write
matrix $(A,I)$. 
By means of elementary operations with rows of this matrix one can obtain the identity matrix on the place of $A$,
then on the place of $I$ there will be $A^{-1}$.
\end{note}

\newslide

\begin{example}
Find the inverse of the matrix in Example \ref{ex_inv_marix_1}.
%Attach the identity matrix to $A$:
$$
(A,E)=
\left(
\begin{array}{rrr|rrr}
   2  &  4  &  1  \quad & \quad       1  &  \phantom{-}0  &  \phantom{-}0 \\
  -1  &  2  &  3  \quad &             0  &             1  &  0            \\
   3  & -5  & -3  \quad &             0  &             0  &  1            \\
\end{array}
\right)
\to
\begin{array}{l}
	R_1 \leftrightarrow R_2\\
	R_1 \gets -R_1 \\
	R_2 \gets R_2 - 2R_1 \\
	R_3 \gets R_2 - 3R_1
\end{array}
$$
$$
\to
\left(
\begin{array}{rrr|rrr}
   1  & -2  & -3  \quad & \quad       0  &            -1  &  \phantom{-}0 \\
   0  &  8  &  7  \quad &             1  &             2  &  0            \\
   0  &  1  &  6  \quad &             0  &             3  &  1            \\
\end{array}
\right)
\to
\begin{array}{l}
	R_2 \leftrightarrow R_3\\
	R_1 \gets R_1 + 2R_2 \\
	R_3 \gets R_3 - 8R_2
\end{array}
$$
$$
\to
\left(
\begin{array}{rrr|rrr}
   1  &  \phantom{-}0  &  9  \quad & \quad       0  &             5  &  2            \\
   0  &             1  &  6  \quad &             0  &             3  &  1            \\
   0  &             0  & -41 \quad &             1  &           -22  & -8            \\
\end{array}
\right)
\to
\begin{array}{l}
	R_3 \gets -R_3/41\\
	R_1 \gets R_1 - 9R_3 \\
	R_2 \gets R_2 - 6R_3
\end{array}
\to
\left(
\begin{array}{rrr|rrr}
   1  &  0  &  0  &  \fracc{9}{41}  &  \fracc{7}{41}   &  \fracc{10}{41} \\
   0  &  1  &  0  &  \fracc{6}{41}  & -\fracc{9}{41}   & -\fracc{7}{41}  \\
   0  &  0  &  1  & -\fracc{1}{41}  &  \fracc{22}{41}  &  \fracc{8}{41}  \\
\end{array}
\right).
$$
To the right from the vertical line we have $A^{-1}$.
\end{example}

\newslide

\begin{theorem}
Let $A$, $B$ be matrices in $F^{n\times n}$. Then
$$
\det (AB) = \det A \cdot \det B.
$$
\end{theorem}
\begin{proof}
Omitted
\end{proof}
\pause

\begin{corollary}
If $\det A \ne 0$, then
$$
\det (A^{-1}) = \frac{1}{\det A}.
$$
\end{corollary}

\newslide

\section{Cramer's rule}

Let's consider the system of linear equations $Ax=b$ with square non-singular matrix $A\in F^{n\times n}$.
\pause

\begin{theorem}
If $A\in F^{n\times n}$ and $\det A \ne 0$ ($A$ is non-singular), 
then the unique solution $x\in F^n$ of the system $Ax=b$
can be found as
$$
x = A^{-1} b.
$$
\end{theorem}
\pause
\begin{proof}
Since $\det A \ne 0$ then there exists $A^{-1}$ and
the unique solution $x\in F^n$ of $Ax=b$ can be found by multiplying both part of this equality by $A^{-1}$ 
from the left.
We obtain
$$
A^{-1} A x = A^{-1} b.
$$
\pause 
Taking into account that $A^{-1} A = I$ we get $x = A^{-1} b$.
\end{proof}
\newslide

\begin{theorem}[Cramer's rule]
If $A\in F^{n\times n}$ and $\det A \ne 0$ ($A$ is non-singular), 
then the components of the unique solution $x\in F^n$ of the system $Ax=b$
can be found as
$$
x_j = \frac{\Delta_j}{\Delta},
$$
where $\Delta = \det A$ and $\Delta_j$ is the determinant of the matrix obtained from $A$ replacing
the $j$-th column by $b$.
\end{theorem}
\pause
\begin{proof}
We have $x = A^{-1} b$.
\pause

The $j$-th component of $x$ equals to the product of the $j$-th column of $A$ and $b$.
Using formula \Ref{f_inv_matrix_form} we get
$$
x_j = \frac{1}{\det A} \cdot (\CCC_{1j}, \CCC_{2j}, \dots, \CCC_{nj}) \cdot b 
   = \frac{1}{\Delta} \cdot (\CCC_{1j} b_1 + \CCC_{2j} + b_2 + \dots + \CCC_{nj}b_n) = \frac{\Delta_j}{\Delta}.
$$
\end{proof}
\pause

The Cramer's rule has theoretical significance.
In practice it is used for small $n$ (for example $n=2,3$) or for systems of special form.

\newslide

\begin{example}
Let's apply the Cramer's rule to the $2\times 2$ system
$$
\left\{
\begin{array}{l}
    a_{11} x_1 + a_{12} x_2 = b_1 , \\
    a_{21} x_1 + a_{22} x_2 = b_2 . \\
\end{array}
\right.
$$
\pause
If $\Delta = a_{11} a_{22} - a{12}a_{21} \ne 0$ then the (unique) solution of the system
has components
$$
x_1 = \frac{
\left|
\begin{array}{cc}
	b_1 & a_{12} \\
	b_2 & a_{22}
\end{array}
\right|}{\left|
\begin{array}{cc}
	a_{11} & a_{12} \\
	a_{21} & a_{22}
\end{array}
\right|} = \frac{b_1 a_{22} - b_2 a_{12}}{a_{11} a_{22} - a_{12}a_{21}},
\qquad
x_2 = \frac{
\left|
\begin{array}{cc}
	a_{11} & b_1 \\
	a_{21} & b_2
\end{array}
\right|}{\left|
\begin{array}{cc}
	a_{11} & a_{12} \\
	a_{21} & a_{22}
\end{array}
\right|} = \frac{a_{11} b_2 - b_1 a_{21}}{a_{11} a_{22} - a_{12}a_{21}}.
$$
\end{example}

\newslide

\section{Change of basis}

\pause

Suppose that
$$
\ee  = \langle e_1,  e_2, \dots,  e_n \rangle, \qquad
\ee' = \langle e'_1, e'_2, \dots, e'_n\rangle
$$
are two bases of a vector space $V$.
We can call $\ee$ an {\em old} basis,
and $\ee'$ a {\em new} basis.

\pause
There are unique coefficients $\alpha_{ij}$ such that
$$
e'_j = \alpha_{1j} e_1 + \alpha_{2j} e_n + \dots + \alpha_{nj} e_n,
\qquad
\mbox{i.\,e.}\qquad
[e'_j]_{\ee} = 
\left(
\begin{array}{c}
	  \alpha_{1j} \\ \alpha_{2j} \\ \vdots \\ \alpha_{nj}
\end{array}
\right)
 \qquad (j=1,2,\dots,n). \tag{f_zamena_basis}
$$

\pause
The matrix
$
[\ee']_{\ee} = (\alpha_{ij})
$
is called the {\em matrix of basis change}.

\pause
In other words, the matrix of basis change is the matrix composed from coordinate columns of vectors of the new basis:
$$
[\ee']_{\ee} = ([e'_1]_{\ee}, [e'_2]_{\ee}, \dots, [e'_n]_{\ee}).
$$

\newslide
\begin{example}
Let in $\VV_2$ there be two right orthonormal bases $\ee=\langle e_1, e_2 \rangle$ and $\ee'=\langle e'_1, e'_2 \rangle$.
\pause
Let vectors $e'_1$ and $e'_2$ obtained from $e_1$, $e_2$ correspondingly by rotating on the angle $\alpha$.
\pause
Let's write the matrix of basis change.
\pause

\begin{center}

\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.6cm}
  \begin{pspicture}(-4,-1)(8,8)

    \psdots(0,0)
    \rput[t](0,0){$\strut O$}

    %\psline(0.5821,0.1455)(0.4366,0.7276)(-0.1455,0.5821)
    %\rput[lb](0.4366,0.7276){$\pi/2$}
    
    \psline[arrows=->](0,0)(7.21,0)
    \rput[lb](7.21,0){$~e_1$}
    
    \psline[arrows=->](0,0)(0,7.21)
    \rput[lb](0,7.21){$e_2~$}

    \psline[arrows=->](0,0)(6,4)
    \rput[lb](6,4){$~e_1'$}

    \psline[arrows=->](0,0)(-4,6)
    \rput[rb](-4,6){$e_2'~$}
    
    \psarc(0,0){1.4}{0}{33.69}
    \rput[lb](2.6,.6){$\alpha$}

    \psarc(0,0){1.4}{90}{123.69}
    \rput[rb](-.6,2.6){$\alpha$}
    
    \psline[linestyle=dashed](6,0)(6,4)(0,4)
    \psline[linestyle=dashed](-4,0)(-4,6)(0,6)
    \psline(0,0)(-4,0)
 
  \end{pspicture}

\end{center}

\pause
$$
e'_1 =  \cos\alpha \cdot e_1 + \sin\alpha \cdot e_2, \qquad
e'_2 = -\sin\alpha \cdot e_1 + \cos\alpha \cdot e_2. \qquad
$$
\pause
$$
[\ee']_{\ee} = 
\left(
\begin{array}{rr}
	\cos\alpha & -\sin\alpha \\
	\sin\alpha &  \cos\alpha \\
\end{array}
\right)
$$
\end{example}

\newslide

Find the connection between coordinates of a vector $x$ in old and new bases.

\pause
Let
$$
x = x_1 e_1 + \dots + x_n e_n = x'_1 e'_1 + \dots + x'_n e'_n,
\qquad
\mbox{i.\,e.}
\qquad
[x]_{\ee}=
\left(
\begin{array}{c}
   x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n
\end{array}
\right),
   \qquad
[x]_{\ee'}=
\left(
\begin{array}{c}
   x'_1 \\ x'_2 \\ \vdots \\ x'_n
\end{array}
\right).
$$
\pause

We have
$$
x = \sum_{j=1}^{n} x'_j e'_j
  = \sum_{j=1}^{n} x'_j \sum_{i=1}^n \alpha_{ij} e_i
  = \sum_{i=1}^n
    \underbrace
    {
      \left( \sum_{j=1}^{n} \alpha_{ij} x'_j \right)
    }_{x_i}
    e_i.
$$
\pause

Since the coordinates of the vector are unique (if a basis is fixed) then
$$
x_i = \sum_{j=1}^{n} \alpha_{ij} x'_j \qquad (i=1,2,\dots,n).  \tag{f_basis_change}
$$
\pause

Formulas \Ref{f_basis_change} can be written in matrix notation as
$
[x]_{\ee} = [\ee']_{\ee} [x]_{\ee'}.
$

\newslide
\begin{example}[Continuation]

$$
\left\{
\begin{array}{l}
    x_1 = x_1' \cos\alpha - x_2' \sin\alpha,\\
    x_2 = x_1' \sin\alpha + x_2' \cos\alpha.\\
\end{array}
\right.
$$
\end{example}

\newslide

Since columns of $[\ee']_{\ee}$ are linear independent then
$\rank [\ee']_{\ee} = n$ and $[\ee']_{\ee}$ is non-singular.

\pause
Multiplying both parts of equation $[x]_{\ee} = [\ee']_{\ee} [x]_{\ee'}$ from the left by
$[\ee']_{\ee} ^{-1}$ we get 
$$
[x]_{\ee'} = [\ee']_{\ee} ^{-1} [x]_{\ee}.
$$
\pause
Hence
$$
[\ee]_{\ee'} = [\ee']_{\ee} ^{-1}.
$$

\newslide

\section{Change of coordinate system}


In this section sometimes vectors of vector space will called points.
This change in names appeals to geometric interpretation:
a radius-vector in $\VV_3$ can be associated with the its endpoint.

\pause

{\em Coordinate system} of a linear space $V$ is an aggregate of a point $\Ocal$ (called {\em origin}) in $V$ 
and basis $\ee=\langle e_1, e_2, \dots, e_n \rangle$ of $V$.

\pause
The {\em coordinates of a point} $\Acal\in V$ in this coordinate system are the coordinates of the vector
$\Acal-\Ocal$ in basis $e_1, e_2, \dots, e_n$. 
\pause

The column of coordinates of the point $\Acal$ is denoted by
$[\Acal]_{\Ocal,\ee}$, i.\,e. by definition
$$
[\Acal]_{\Ocal,\ee}=[\Acal-\Ocal]_e.
$$ 

\newslide
Let's find the connection between coordinates of a point in different coordinate systems.
\pause

Let there be an old coordinates system $\Ocal, e_1,\dots ,e_n$ 
and new coordinate system $\Ocal', e'_1, \dots, e'_n$, 
with formulas \Ref{f_zamena_basis} holding and

$$
\Ocal'-\Ocal = \sum_{j=1}^n \gamma_j e_j, 
\quad\mbox{i.\,e.}\quad
[\Ocal']_{\Ocal,\ee}=[\Ocal'-\Ocal]_{\ee}=
\left(
\begin{array}{c}
   \gamma_1 \\ \gamma_2 \\ \vdots \\ \gamma_n
\end{array}
\right).
$$

\pause

Let $\Acal$ be a point in $V$, with
$$
\Acal-\Ocal'= x_1 e_1 + \dots + x_n e_n = x'_1 e'_1 + \dots + x'_n e'_n,
$$
i.\,e.
$$
[\Acal]_{\Ocal,{\ee}}=[\Acal-\Ocal]_{\ee}=
\left(
\begin{array}{c}
   x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n
\end{array}
\right),
   \qquad
[\Acal]_{\Ocal',\ee'}=[\Acal-\Ocal']_{\ee'}=
\left(
\begin{array}{c}
   x'_1 \\ x'_2 \\ \vdots \\ x'_n
\end{array}
\right).
$$

\newslide
Since $\Acal-\Ocal=(\Ocal'-\Ocal)+(\Acal-\Ocal')$, then
$$
[\Acal]_{\Ocal,\ee} = [\Acal-\Ocal]_{\ee} = [\Ocal'-\Ocal]_{\ee} + [\Acal-\Ocal']_{\ee} 
                  = [\Ocal']_{\Ocal,\ee} + [\Acal-\Ocal']_{\ee} = [\Ocal']_{\Ocal,\ee} + [e']_{\ee} [\Acal-\Ocal']_{\ee'}.
$$
\pause
Thus,
$$
[\Acal]_{\Ocal,\ee} = [\Ocal']_{\Ocal,\ee} + [e']_{e} [\Acal]_{\Ocal',\ee'},
$$
\pause
or
%$$
%\begin{array}{c}
%\Sum_{i=1}^n x_i e_i = \Sum_{i=1}^n \gamma_i e_i + \Sum_{j=1}^n x'_j e_j'  
%                     = \Sum_{i=1}^n \gamma_i e_i + \Sum_{j=1}^n x'_j \Sum_{i=1}^n \alpha_{ij}e_i = \\[.5em]
%                     = \Sum_{i=1}^n \gamma_i e_i + \Sum_{i=1}^n \left(\Sum_{j=1}^n \alpha_{ij}x'_j\right)e'_i .
%\end{array}
%$$
%Так как координаты вектора в любом фиксированном базисе определяются единственным образом, то
$$
x_i = \gamma_i + \sum_{j=1}^{n} \alpha_{ij} x'_j  \qquad (i=1,2,\dots,n).
$$

\newslide
\begin{example}[Continuation]
Let $O, e_1, e_2$ and $O', e'_1, e'_2$ be two coordinate systems in $\VV_2$.
\pause

The coordinates of $O'$ in the old coordinate system are $(4, 1)$.
\pause

$e'_1, e'_2$ obtained from $e_1, e_2$ correspondingly by rotating on the angle $\pi/6$.
\pause

\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=2cm}
  \begin{pspicture}(0,0)(5,2)

    \psdots(0,0)
    \rput[t](0,0){$\strut O$}

    %\psline(0.5821,0.1455)(0.4366,0.7276)(-0.1455,0.5821)
    %\rput[lb](0.4366,0.7276){$\pi/2$}
    
    \psline[arrows=->](0,0)(1,0)
    \rput[lb](1,0){$~e_1$}
    
    \psline[arrows=->](0,0)(0,1)
    \rput[lb](0,1){$e_2~$}

    \psdots(4,1)
    \rput[t](4,1){$\strut O'$}

    \psline[arrows=->](4,1)(4.866,1.5)
    \rput[lb](4.866,1.5){$~e_1'$}

    \psline[arrows=->](4,1)(3.5,1.866)
    \rput[rb](3.5,1.866){$e_2'~$}
    
%    \psarc(0,0){1.4}{0}{33.69}
%    \rput[lb](2.6,.6){$\alpha$}

%    \psarc(0,0){1.4}{90}{123.69}
%    \rput[rb](-.6,2.6){$\alpha$}
    
%    \psline[linestyle=dashed](6,0)(6,4)(0,4)
%    \psline[linestyle=dashed](-4,0)(-4,6)(0,6)
%    \psline(0,0)(-4,0)
 
  \end{pspicture}
\end{center}

\pause

Let's find the connection between coordinates of a point in these coordinate systems.
\pause
$$
\left\{
\begin{array}{l}
    x_1 = \gamma_1 + x_1' \cos\alpha - x_2' \sin\alpha = 4 + \fracc{\sqrt{3}}{2} x_1' - \fracc{1}{2} x_2',\\
    x_2 = \gamma_2 + x_1' \sin\alpha + x_2' \cos\alpha = 1 + \fracc{1}{2} x_1' + \fracc{\sqrt{3}}{2} x_2'.\\
\end{array}
\right.
$$

\end{example}


\newslide
\chapter{Linear transformations}\ 
\newslide

\section{Definitions and examples}
\pause

Let $V$ and $W$ be two linear spaces over the same field $F$.
A function $\varphi: V \to W$ is called a {\em linear transformation} from $V$ to $W$
if for all vectors $x$, $y$ in $V$ and scalars $\alpha$ in $F$, 
\begin{enumerate}
\item[1)] $\varphi (x+y)=\varphi x + \varphi y $;
\item[2)] $\varphi (\alpha x) = \alpha\cdot\varphi x$.
\end{enumerate}

%Из определения следует, что изоморфизм\index{изоморфизм} --- это линейное отображение, являющееся биекцией.
%Отображение $\varphi: V \to V$ называется {\em преобразованием} пространства $V$\index{Преобразование
%линейных пространств}. 
\pause

The set of all linear transformations mapping $V$ to $W$ is denoted by $\Phi(V, W)$.

\pause
By induction we get
$$\varphi \left( \sum _{i=1} ^ s \alpha_i a_i \right)
      = \sum _{i=1} ^ s \alpha_j \varphi a_i, \tag{flinear}$$
where $a_i \in V$, $\alpha_i \in F$ $(i=1,2,\dots,s)$.

\pause
In property 2) putting $\alpha=0$, we obtain
$
\varphi o = o.
$
\pause
Note that in LHS and RHS of this equation $o$ denotes zero vectors in different (if $V\ne W$) spaces.

\newslide
Consider a few examples of linear transformations.

\pause

Define a map $\theta:~V\to W$ by equality $\theta x = o$ for all $x \in V$.
It is obvious that $\theta$ is a linear transformation. 
It is called a {\em zero} transformation.
Note, that a map $\psi$, such that $\psi x = a$, where $a$ is a fixed non-zero vector in $W$, 
is not a linear transformation.

\pause

Define a map $\varepsilon:\,V\to V$ by equality
$\varepsilon x = x$ for all $x \in V$.
The map $\varepsilon$ is obviously linear transformation.
It is called the {\em identity} transformation.

%Пусть пространство $V$ есть прямая сумма подпространств $V_1$ и $V_2$.
%Преобразование $\varphi: V \to V$, ставящее в соответствие вектору $x$ его
%проекцию $y$ на $V_1$ параллельно $V_2$, называется {\em преобразованием проектирования}.
%Докажем его линейность.
%Пусть $x=x_1+x_2$, $y=y_1+y_2$; $x_1, y_1 \in V_1$,
%$x_2, y_2 \in V_2$. Тогда $x+y = (x_1+y_1)+(x_2+y_2)$, $x_1+y_1 \in V_1$,
%$x_2+y_2 \in V_2$ и поэтому
%$\varphi(x+y)=x_1+y_1=\varphi x+\varphi y$.
%Свойство 1) выполнено.
%Далее, $\alpha x = \alpha x_1 + \alpha x_2$, поэтому
%$\varphi(\alpha x)= \alpha \varphi x$.
%Свойство 2) выполнено.

%\begin{exercize}
%Дать (геометрическую) интерпретацию преобразованию проектирования в
%пространствах $\VV_2$ и $\VV_3$.
%\end{exercize}

\pause

Let the transformation $\varphi:~\VV_2\to\VV_2$ maps each vector $x$
to a vector $\varphi x$, obtained from $x$ by rotating on the angle $\alpha$ about origin. 
This transformation is called {\em rotation transformation} ({\em on the angle $\alpha$}).
It is not hard to see that it is linear transformation. Also, rotation the space
$\VV_3$ about a line passing throw origin is the linear transformation.

\pause

If $\varphi: V \to V$ maps each vector $x$ to the vector $\varphi x = a+x$, where $a$ is fixed,
then $\varphi$ is called {\em translation}. If $a\ne 0$ the translation is not a linear transformation.

\newslide

Let $A=(a_{ij})\in F^{m\times n}$. 
Consider the transformation $\varphi: F^n \to F^m$, mapping a vector 
$x=(x_1,x_2,\dots,x_n)\transpose\in F^n$ to 
$\varphi x = (y_1,y_2,\dots,y_m)\transpose \in F^m$, such that
$$
    \begin{narrowarray}{ccccccccc}
        y_1 & = & a_{11}x_1 & + & a_{12}x_2 & + & \dots & + & a_{1n}x_n, \\
        y_2 & = & a_{21}x_1 & + & a_{22}x_2 & + & \dots & + & a_{2n}x_n, \\
        \multicolumn{9}{l}{\dotfill}\\
        y_m & = & a_{m1}x_1 & + & a_{m2}x_2 & + & \dots & + & a_{mn}x_n. \\
    \end{narrowarray}
$$
\pause
Using matrix notation this can be written shorter:
$$
    \varphi x  = Ax.                                  \tag{f_varphi_x__Ax}
$$
It is not hard to see that $\varphi$ is linear transformation.
Further we will see that the formula \Ref{f_varphi_x__Ax} defines the general form of
linear transformation from $F^n$ to $F^m$.

\newslide

The {\em differentiation transformation}, $D$, from $F[x]$ to $F[x]$ 
maps each polynomial $f(x)$ to its derivative:
$$
          D f(x) = f'(x).
$$
\pause
The differentiation transformation is often denoted by $\fracc{d}{dx}$.

\pause
The {\em integration transformation} $I$ from $F[x]$ to $F[x]$ 
maps each polynomial to its primitive:
$$
          I f(x) = \int_0^x f(t) dt.
$$
Both these transformations are linear.

\newslide

\section{The matrix of linear transformation}

\pause
%В этом разделе мы дадим обозрение множества $\Phi(V,W)$.

%\paragraph{1.}
Let $\ee=\set{e_1,e_2,\dots,e_n}$ be a basis of a vector space $V$.
\pause
Let 
$$
    x=\sum _{j=1}^n \alpha_j e_j \in V
$$ 
i.\,e. $[x]_{\ee} = (\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)\transpose$.
From \Ref{flinear} we have
$$
    \varphi x = \sum _{j=1} ^ n \alpha_j \varphi e_j. \tag{fcoord}
$$
\pause
We have proved the following
\begin{proposition}
A linear transformation is restored uniquely from the images of basis vectors.
\end{proposition}

\newslide
%\paragraph{2.}
Let $\ff=\set{f_1,f_2,\dots,f_m}$ be a basis of a vector space $W$. 
Since $\varphi e_j \in W$ $(j=1,2,\dots,n)$, then 
$\varphi e_j$ can be represented as
$$
    \varphi e_j = \sum_{i=1}^m \alpha_{ij} f_i,
$$
i.\,e. $[\varphi e_j]_{\ff} = (\alpha_{1j},\alpha_{2j},\dots,\alpha_{mj})\transpose$. 
\pause
The matrix in which the $j$-th column is the column vector $[\varphi e_j]_{\ff}$ $(j=1,2,\dots,n)$
is called the {\em matrix of transformation $\varphi$} relative to bases$\ee$ and $\ff$. % with respect to bases 
\pause
Notation: $[\varphi]_{\ff,\ee}$ or simply $[\varphi]$ (if there is no ambiguity).

\pause
From the definition we have
$$
    [\varphi]_{\ff,\ee} = (\alpha_{ij})\in F^{m\times n}.
$$

\newslide
%\paragraph{3.} 
\begin{proposition}
For any vector $x$ in $V$
$$
   [\varphi x]_{\ff} = [\varphi]_{\ff,\ee} [x]_{\ee}. \tag{fpreobr}
$$
\end{proposition}

\pause

\begin{proof}
Coming to coordinates in (\ref{fcoord}) we get
$$
[\varphi x]_{\ff} = \sum _{j=1} ^ n \alpha_j [\varphi e_j]_{\ff}.
$$
\pause
The last equation can be written in matrix notation as \Ref{fpreobr}.
\end{proof}

\newslide

%\paragraph{4.} 
Consider equation
$$
    [\varphi x]_{\ff} = A [x]_{\ee}, \tag{fA}
$$
we $A$ is a matrix in $F^{m\times n}$. This formula to each vector $x \in V$ 
puts in correspondence a vector $\varphi x \in W$ and hence define a mapping $\varphi: V \to W$. 

\newslide

\begin{proposition}\label{prop_FA}
The mapping $\varphi: V \to W$, defined by (\ref{fA}), is the linear transformation, with
$A$ being its matrix: $[\varphi]_{\ff,\ee} = A$.
\end{proposition}

\pause

\begin{proof}
For all $x,y\in V$ we have
$$[\varphi (x+y)]_{\ff} = A [x+y]_{\ee} = A ([x]_{\ee} + [y]_{\ee})
                 = A [x]_{\ee} + A [y]_{\ee} = [\varphi x]_{\ff} + [\varphi y]_{\ff},$$
hence $\varphi(x+y)=\varphi x + \varphi y$.
For any $x\in V$ and any $\alpha \in F$ we have
$$[\varphi (\alpha x)]_{\ff} = A [\alpha x]_{\ee} = A (\alpha [x]_{\ee})
                 = \alpha A [x]_{\ee} = \alpha [\varphi x]_{\ff},$$
hence, $\varphi(\alpha x)=\alpha \varphi x$. Thus, the mapping $\varphi$ is linear transformation.

\pause

Verify that $[\varphi]_{\ff,\ee} = A$. 
Substitute $e_j$ $(j=1,2,\dots,n)$ in
(\ref{fA}): $[\varphi e_j]_{\ff} = A [e_j]_{\ee}$. 
Since $j$-th entry of the column $[e_j]_{\ee}$ is $1$, and all other entries are $0$, then $A [e_j]_{\ee}$
is the $j$-th column of $A$, hence $A$ by definition is the matrix of transformation $\varphi$.
\end{proof}

\pause

Thus, formula  \Ref{fA} define the general form of linear transformation.

\newslide

\begin{note}
The matrix of linear transformation from $F^n$ to $F^m$
defined by \Ref{f_varphi_x__Ax} in standard bases of these spaces is $A$.
Hence formula \Ref{f_varphi_x__Ax} defines the general case of linear transformation from $F^n$ to $F^m$.
This allows us to identify linear transformations with matrices and transfer the terminology from
transformations to matrices.
\end{note}


%%\paragraph{5.}
%Переформулировка результатов этого раздела приводит нас к следующему.
%\begin{corollary}\label{cor_preobraz_bijection}
%Отображение, ставящее в соответствие всякому линейному отображению его
%матрицу, является биекцией из $\Phi(V,W)$ в $F^{m\times n}$.
%\end{corollary}

%\section{Операции с линейными отображениями}
%
%Определим некоторые операции над линейными отображениями.
%
%{\em Суммой двух отображений $\varphi, \psi \in \Phi(V, W)$}\index{Сумма отображений} 
%называется отображение $\chi$, такой, что $\chi x = \varphi x + \psi x$ для
%произвольного $x \in V$. Обозначение для суммы: $\chi = \varphi + \psi$.
%
%{\em Произведением отображений  $\varphi\in\Phi(V, W)$ на число}\index{Отображения
%произведение на число} $\alpha\in F$ называется отображение $\chi$, такой, что
%$\chi x = \alpha (\varphi x)$ для произвольного $x \in V$. Обозначение для
%произведения отображения на число: $\chi=\alpha\varphi$.
%
%Рассмотрим три пространства $U, V, W$, заданных над одним и тем же полем
%$F$. Пусть $\psi,\varphi$ --- линейные отображения, действующие из $U$ в $V$ и из $V$
%в $W$ соответственно:
%$U \stackrel{\psi}{\longrightarrow} V \stackrel{\varphi}{\longrightarrow} W$.
%{\em Произведением}, или {\em композицией}, {\em отображений} $\varphi$ и $\psi$ называется отображение $\theta$,
%такое, что $\chi x = \varphi (\psi x)$. Обозначение для произведения отображений:
%$\chi=\varphi\psi$.
%
%
%Итак, для произвольного $x\in V$
%$$
%(\varphi + \psi) x = \varphi x + \psi x, \qquad
%(\alpha\varphi) x = \alpha (\varphi x),  \qquad
%(\varphi \psi) x = \varphi ( \psi x).
%$$
%
%
%Линейные операции над отображениями --- это сложение отображений и умножение их на числа.
%
%\begin{proposition}[Линейность результата операций]\ 
%
%1) Пусть $\varphi, \psi \in \Phi(V, W)$, $\alpha\in F$, тогда
%отображения $\varphi + \psi$, $\alpha\varphi$ --- линейные, причем
%$[\varphi + \psi] = [\varphi] + [\psi]$, $[\alpha\varphi] = \alpha[\varphi]$.
%
%2) Пусть $\varphi \in \Phi(V,W)$, $\psi \in \Phi(U,V)$, тогда отображение
%$\varphi \psi$ --- линейный, причем $[\varphi \psi]=[\varphi][\psi]$.
%\end{proposition}
%
%\begin{proof}
%Все свойства доказываются аналогично. Приведем для примера два способа
%доказательства п.\,2.
%
%\titlesc{1~способ.} Пусть
%$$
%\begin{narrowarray}{cclcl}
%    \gg & = & \set{g_1, g_2, \dots , g_l} & \mbox{--- базис пространства $U$},  \\
%    \ee & = & \set{e_1, e_2, \dots , e_n} & \mbox{--- базис пространства $V$},  \\
%    \ff & = & \set{f_1, f_2, \dots , f_m} & \mbox{--- базис пространства $W$};  \\
%\end{narrowarray} \tag{fbasises}
%$$
%$$
%[\varphi]_{\ff,\ee} = (\alpha_{ij}) \in F^{m\times n}, \qquad
%[\psi]_{\ee,\gg} = ( \beta_{jk}) \in F^{n\times l}.
%                                                                 \tag{fmatrices}
%$$
%Теперь получаем
%$$
%[(\varphi\psi)x]_{\ff} = [\varphi (\psi x)]_{\ff} = [\varphi]_{f,e} [\psi x]_{\ee} = [\varphi]_{f,e} [\psi]_{e,g} [x]_g.
%$$
%Обозначим $A=[\varphi]_{\ff,\ee} [\psi]_{\ee,\gg}$, тогда 
%$$
%[(\varphi\psi)x]_{\ff} = A [x]_{\gg}.
%$$
%По лемме \ref{prop_FA} отображение $\varphi\psi$ ---
%линейное и $[\varphi\psi]_{\ff,\gg} = [\varphi]_{\ff,\ee} [\psi]_{\ee,\gg}$.
%
%\titlesc{2~способ.}
%Докажем вначале линейность.
%Для произвольных $x,y\in U$ имеем
%$$(\varphi\psi) (x+y) = \varphi (\psi(x+y)) = \varphi (\psi x + \psi y)
%             = \varphi (\psi x) + \varphi (\psi y) = (\varphi\psi) x + (\varphi\psi) y.$$
%Для произвольных $x\in U$, $\alpha\in F$ имеем
%$$(\varphi\psi) (\alpha x) = \varphi (\psi(\alpha x)) = \varphi (\alpha \psi x)
%             = \alpha \varphi (\psi x) = \alpha (\varphi\psi) x.$$
%Итак, отображение $\varphi\psi$ --- линейное.
%
%Теперь вычислим $[\varphi\psi]_{\ff,\gg} = (\gamma _{ik})$. В системе обозначений
%(\ref{fbasises}, \ref{fmatrices}) для $k=1,2,\dots,l$ получаем
%$$(\varphi\psi)g_k = \varphi (\psi g_k) = \varphi \sum _{j=1} ^n \beta_{jk} e_j
%               = \sum _{j=1} ^n \beta_{jk} \varphi e_j
%           = \sum _{j=1} ^n \beta_{jk} \sum _{i=1} ^m \alpha _{ij} f_i
%           = \sum _{i=1} ^n f_i \sum _{j=1} ^n \alpha _{ij} \beta_{jk} .$$
%По определению матрицы линейного отображения получаем, что
%$\gamma _{ik} = \Sum _{j=1} ^n \alpha _{ij} \beta_{jk}$, или
%$[\varphi\psi]_{\ff,\gg} = [\varphi]_{\ff,\ee} [\psi]_{\ee,\gg}$.
%\end{proof}
%
%\begin{note}
%Сумма, произведение и произведение на число линейных
%отображений являются линейными отображениями в том числе и для бесконечномерного
%пространства. 2-й способ доказательства проходит и для этого случая.
%\end{note}
%
%\begin{proposition} Для любых $\varphi, \psi, \chi \in
%\Phi(V,W)$, $\alpha,\beta\in F$ справедливы равенства:  \begin{enumerate} \item
%$\varphi + \psi = \psi = \varphi$, \item $\varphi + (\psi + \chi) = (\varphi +
%\psi) + \chi $, \item $\varphi + 0 = \varphi$, где $0$ --- нулевое отображение,
%\item $\varphi + (-1)\varphi = 0$ (таким образом, $(-1)\varphi$ --- отображение {\em
%      противоположное} отображению $\varphi$),
%\item $1\varphi = \varphi$,
%\item $\alpha(\beta\varphi) = (\alpha\beta) \varphi$,
%\item $(\alpha + \beta)\varphi = \alpha\varphi + \beta\varphi$,
%\item $\alpha(\varphi + \psi) = \alpha\varphi + \alpha\psi$.
%\end{enumerate}
%\end{proposition}
%
%\begin{proof}
%  Доказательство приведенных выше свойств не должно вызывать затруднений.
%  Докажем для примера двумя способами последнее свойство.
%
%  \titlesc{1~способ (по определению).}
%  Для произвольного $x\in V$ имеем
%  $$[\alpha(\varphi + \psi) x]_{\ff}
%             = [\alpha(\varphi + \psi)]_{f,e} [x]_{\ee}
%             = [\alpha\varphi]_{f,e} [x]_{\ee} + [\alpha\psi]_{f,e} [x]_{\ee}
%         = [\alpha\varphi x]_{\ff} + [\alpha\psi x]_{\ff},$$
%  откуда вытекает доказываемое.
%
%
%  \titlesc{2~способ (через свойства матриц).}
%Для произвольного $x\in V$ имеем
%  $$\bigl(\alpha(\varphi + \psi)\bigr) x
%                    = \alpha \bigl( (\varphi + \psi) x\bigr)
%            = \alpha (\varphi x + \psi x )
%            = \alpha (\varphi x) + \alpha (\psi x)
%            = (\alpha \varphi) x + (\alpha \psi) x,$$
%  т.\,е. $\alpha(\varphi + \psi) = \alpha \varphi + \alpha \psi$.
%\end{proof}
%
%\begin{note}
%2-й способ доказательства проходит также и для случая
%бесконечномерного линейного пространства.
%\end{note}
%
%
%\begin{corollary}
%Множество $\Phi(V,W)$ относительно ранее введенных операций сложения
%отображений и умножения их на числа является линейным пространством.
%Отображение, ставящее в соответствие всякому преобразованию его матрицу,
%является изоморфизмом $\Phi(V,W)$ в $F^{m\times n}$.
%\end{corollary}
%
%\begin{proof}
%Замкнутость операций сложения отображений и умножения их на числа вытекает из
%утверждения о линейности результата операций. Аксиомы линейного пространства
%доказаны в предыдущем утверждении. Биективность указанного в
%формулировке следствия вытекает из следствия \label{cor_preobraz_bijection} предыдущего раздела.
%Сохранение операций следует из утверждения о линейности результата операций.
%\end{proof}
%
%\begin{proposition}
%Пусть $U, V, W, Q$ --- линейные пространства,
%заданные над одним полем $F$. Тогда для любых линейных отображений
%$\varphi,\varphi_1 \in \Phi(V,W)$,
%$\psi,\psi_1 \in \Phi(U,V)$,
%$\chi \in \Phi(Q,U)$, и произвольных
%$\alpha,\beta\in F$ справедливы равенства:
%\begin{enumerate}
%\item $\varphi(\psi\chi) = (\varphi\psi)\chi$,
%\item $\alpha(\varphi\psi) = (\alpha\varphi)\psi) = \varphi(\alpha\psi)$,
%\item $(\varphi + \varphi_1)\psi = \varphi\psi + \varphi_1\psi$,
%\item $\varphi(\psi + \psi_1)= \varphi\psi + \varphi\psi_1$.
%\end{enumerate}
%\end{proposition}
%
%\begin{proof}
%  Как и свойства линейных операций сформулированные свойства легко могут быть
%  выведены из определения, либо из соответствующих свойств матриц.
%\end{proof}
%

\newslide

\section{Changing the matrix of linear transformation if bases are changed}

Let $\varphi\in\Phi(V,W)$,
$$
\begin{narrowarray}{lclccll}
   \ee & = & \set{e_1,e_2,\dots,e_n}, & \ee' & = &\set{e'_1, e'_2,\dots, e'_n} & \mbox{are two bases of $V$},\\
   \ff & = & \set{f_1,f_2,\dots,f_n}, & \ff' & = &\set{f'_1, f'_2,\dots, f'_n} & \mbox{are two bases of $W$}.\\
\end{narrowarray} 
$$
\pause

Consider what happens with matrix of transformation $\varphi$ if bases
$\ee$ and $\ff$ will be changed on
$\ee'$ and $\ff'$ correspondingly.
\newslide

\begin{proposition}
$$
[\varphi]_{f',e'} = [\ff']_{\ff}^{-1} [\varphi]_{f,e} [\ee']_{\ee}. \tag{f_equiv_matrices0}
$$
\end{proposition}
\pause
\begin{proof}
From
$$
  [x]_{\ee} = [\ee']_{\ee} [x]_{e'}, \qquad
  [\varphi x]_{\ff} = [\ff']_{\ff} [\varphi x]_{f'}, \qquad
  [\varphi x]_{\ff} = [\varphi]_{f,e} [x]_{e}
$$
we can easily obtain the following
$$
[\varphi x]_{\ff'} = [\ff']_{\ff}^{-1} [\varphi]_{\ff,\ee} [\ee']_{\ee} [x]_{\ee'},
$$
for all $x\in V$. 
\pause
Denote
$A=[\ff']_{\ff}^{-1} [\varphi]_{\ff,\ee} [\ee']_{\ee}$, by Proposition \ref{prop_FA} we obtain 
what is required.
\end{proof}
%
%
%Пусть $A$, $B$ --- две матрицы из $F^{m\times n}$.
%Говорят, что матрица $B$ {\em эквивалентна} матрице $A$, если для некоторых невырожденных 
%матриц $R\in F^{m\times m}$, $S\in F^{n\times n}$ выполнено
%$$
%B=RAS. \tag{f_equiv_matrices}
%$$
%Легко проверить, что отношение эквивалентности обладает свойствами рефлексивности,
%симметричности и транзитивности.
%
%\begin{corollary}
%Матрицы одного и того же линейного отображения в разных базисах эквивалентны.
%Любая матрица, эквивалентная заданной матрице линейного отображения
%является матрицей того же отображения, записанной в некоторой паре базисов.
%\end{corollary}
%\begin{proof}
%Если обозначить $A=[\varphi]_{\ff,\ee}$, $B=[\varphi]_{\ff',\ee'}$, $R=[\ff']_{\ff}^{-1}$,
%$S=[\ee']_{\ee}$, то \Ref{f_equiv_matrices0} примет вид \Ref{f_equiv_matrices}.
%\end{proof}

\newslide

\section{The image and the kernel of a linear transformation}

The {\em image} of a transformation
$\varphi \in \Phi(V,W)$ is the set
$$
\Im \varphi = \varphi V = \set{y\in W:~ \exists\, x \in V, \varphi x = y}.
$$
\pause
The {\em kernel} of $\varphi \in \Phi(V,W)$ is
$$
\Ker \varphi = \set{x\in V: \varphi x = o}.
$$

\pause
\begin{exercize}
Let $\varphi\in\Phi(V,W)$.
Prove that $\Ker \varphi$ and $\Im \varphi$ are subspaces in $W$ and $V$ correspondingly.
\end{exercize}
%\begin{proof}
%Докажем, что $\Im\varphi$ --- подпространство.
%Очевидно, что $\Im\varphi \ne \emptyset$.
%Для $y_1, y_2 \in \Im\varphi$ найдутся
%такие $x_1, x_2 \in V$, что $\varphi x_1 = y_1$, $\varphi x_2 = y_2$. Так как
%$y_1 + y_2 = \varphi (x_1 + x_2)$ и $x_1 + x_2 \in V$, то $y_1 + y_2 \in \Im\varphi$.
%Пусть $y = \varphi x \in V$, $\alpha \in F$, тогда $\alpha y = \alpha \varphi x =
%\varphi (\alpha x) \in \varphi V$.
%
%Докажем, что $\Ker\varphi$ --- подпространство.
%Так как $\varphi o = o$, то $o \in \Ker\varphi$, поэтому
%$\Ker\varphi \ne \emptyset$. Пусть $x_1 \in \Ker\varphi$, $x_2\in\Ker\varphi$, тогда
%$\varphi (x_1 + x_2) = \varphi x_1 + \varphi x_2 = o$, следовательно, $x_1 + x_2 \in
%\Ker\varphi$. Пусть $x \in \Ker\varphi$, $\alpha\in F$, тогда
%$\varphi (\alpha x) = \alpha\varphi x = o$, следовательно, $\alpha x \in \Ker\varphi$.
%\end{proof}

\pause
The dimension of the image of a linear transformation is called its {\em rank} and denotes by $\rank \varphi$.

\pause
The dimension of the kernel of a linear transformation is called its {\em defect} or {\em nullity}
and denoted by $\defect \varphi$.

\newslide

\begin{theorem}\ 
\begin{enumerate}
 \item Let $\ee=\set{e_1,e_2,\dots,e_n}$ and $\ff=\set{f_1,f_2,\dots,f_m}$ be bases of spaces $V$, $W$ correspondingly. Then $\rank \varphi = \rank [\varphi]_{\ff,\ee}$.
 \item The following equality holds: $\defect \varphi + \rank \varphi = \dim V$.
\end{enumerate}
\end{theorem}

\pause

\begin{proof}
1) Consider the set $[\varphi V]$ of coordinate columns of all vectors in $\varphi V = \set{y=\varphi x:\, x \in V}$.
We have
$[\varphi V] = \set{y=[\varphi]_{\ff,\ee}x:\, x\in F^n}$, hence
$[\varphi V]$ is a linear hull of all columns of the matrix $[\varphi]_{\ff,\ee}$
and $[\varphi V]$ has the dimension $\rank [\varphi]_{\ff,\ee}$. 
Obviously,
$\dim V = \dim [\varphi V]$.

\pause
2) Consider the set $[\Ker V]$ of all coordinate columns of all vectors in $\Ker \varphi$. 
We have
$[\Ker \varphi] = \set{x\in F^n:\, [\varphi]_{\ff,\ee} x = 0}$, hence
$[\Ker\varphi]$ is a set of all solutions to the homogeneous system of linear equations, hence
$\dim [\Ker\varphi] = n - \rank [\varphi]_{\ff,\ee}$, or
$\defect\varphi = n - \rank \varphi$.
\end{proof}

%Пусть $A\in F^{m\times n}$. Множество решений однородной системы $Ax=0$ называется
%{\em ядром}, или {\em нуль-пространством}, матрицы $A$.
%
%Отношение эквивалентности разбивает множество матриц заданных размеров на классы эквивалентности.
%Рассмотим вопрос о <<наиболее простом>> представителе из каждого такого класса.
%
%\begin{theorem} \label{th_canonical_equiv}
%Пусть $A\in F^{m\times n}$ и $\rank A = r$.
%Тогда $A$ экивалентна матрице
%$$
%I_r = 
%\left(
%\begin{array}{cccccccc}
% 1 &   &        &   &   &   &        &   \\
%   & 1 &        &   &   &   &        &   \\
%   &   & \ddots &   &   &   &        &   \\
%   &   &        & 1 &   &   &        &   \\
%   &   &        &   & 0 &   &        &   \\
%   &   &        &   &   & 0 &        &   \\
%   &   &        &   &   &   & \ddots &   \\
%   &   &        &   &   &   &        & 0 \\
%\end{array}
%\right),                                           \tag{f_canonical_equiv}
%$$
%в которой на диагонали стоят $r$ единиц, а все непомеченные элементы равны $0$.
%\end{theorem}
%
%\begin{proof}
%Понятно, что с помощью элементарных преобразований строк и столбцов матрицы $A$ ее можно привести к виду
%\Ref{f_canonical_equiv}: например, вначале применяем алгоритм Жордана--Гаусса к $A$, а затем его же к $A\transpose$.
%Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы, поэтому количество единиц в \Ref{f_canonical_equiv}
%равно $r$.
%Преобразования со строчками равносильны домножению на некоторую невырожденную матрицу $R$ слева,
%а преобразования со столбцами --- домножению на некоторую невырожденную матрицу $S$ справа, т.\,е. $I_r = RAS$
%и, следовательно, $I_r \sim A$. 
%\end{proof}
%
%\begin{corollary}
%Для любого $\varphi \in \Phi(V,W)$ найдется такая пара базисов 
%$e_1, e_2, \dots, e_n$ и $f_1, f_2, \dots, f_m$ пространств $V$ и $W$ соответственно,
%что 
%$$
%  \varphi e_j = f_j \quad (j=1,2,\dots,r), \qquad \varphi e_j = o \quad (j=r+1,r+2,\dots,n),
%$$
%где $r = \rank \varphi$.
%\end{corollary}
%\begin{proof}
%Пусть $e_1, e_2, \dots, e_n$ и $f_1, f_2, \dots, f_m$ --- базисы, в которых
%матрица преобразования имеет вид \Ref{f_canonical_equiv}.
%Теперь доказываемое следует из определения матрицы линейного отображения.
%\end{proof}
%
%\begin{theorem}\label{th_canonical_equiv2}
%Пусть $A\in F^{m\times n}$, $B\in F^{m\times n}$.
%Для того, чтобы матрицы $A$ и $B$ были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы $\rank A = \rank B$.
%\end{theorem}
%\begin{proof}
%\titlesc{Необходимость.}
%Так как $A\sim B$, то существуют такие невырожденные $R$ и $S$, что $B=RAS$, откуда $\rank B = \rank A$.
%\titlesc{Достаточность.}
%Пусть $\rank A = \rank B = r$. По теореме \ref{th_canonical_equiv} имеем $I_r \sim A$, $I_r \sim B$,
%следовательно, $A\sim B$.
%\end{proof}
%
%Теоремы \ref{th_canonical_equiv}, \ref{th_canonical_equiv2} отвечают на вопрос, как выглядит наиболее простая матрица 
%из заданного класса эквивалентных матриц. Также мы ответили на вопрос, как выглядят базисы, в которых
%матрица линейного отображения имеет наиболее простой вид.


\newslide
\section{Linear transformations mapping the space to itself}

\pause

Let's consider linear transformations mapping the vector space $V$ to itself.
We denote the set of all such transformations by $\Phi(V)$.

\pause

The {\em matrix of linear transformation} $\varphi$ relative to (one!) basis
$\ee = \langle e_1, e_2,\dots , e_n \rangle$ is the matrix composed from coordinate columns
$[\varphi e_j]_{\ee}$ $(j=1,2,\dots,n)$. 
\pause
Notation: $[\varphi]_{\ee}$. 

\newslide

\section{Eigenvalues and eigenvectors of a linear transformation}

\pause

Let $\varphi \in \Phi(V)$.
\pause

Non-zero vector $x \in V$ is called the {\em eigenvector} of $\varphi$ if
there exists $\lambda \in F$ such that
$$
\varphi x = \lambda x.
\tag{fsobst}
$$
\pause
The scalar $\lambda$ is called the {\em eigenvalue} of $\varphi$.

\pause

Consider the set of all eigenvectors corresponding to the fixed eigenvalue $\lambda$.
Amplify this set by the zero vector and denote the resulting set by $V_{\lambda}$.
We have
$$
V_{\lambda} = \set{x\in V: \varphi x = \lambda x}.
$$
\pause
The equality $\varphi x = \lambda x$ can be equivalently written as $(\varphi - \lambda\varepsilon) x = o$,
hence
$$
V_{\lambda} = \Ker (\varphi - \lambda\varepsilon).
$$

\pause

\begin{corollary}
The set $V_{\lambda}$ is a subspace in $V$.
\end{corollary}

%\begin{proof}
%Очевидно $V_{\lambda} \ne \emptyset$. Далее, если $x,y \in V_{\lambda}$,
%$\alpha \in F$, то
%$$
%\begin{array}{l}
%\varphi (x+y) = \varphi x + \varphi y = \lambda x + \lambda y = \lambda (x+y),\\
%\varphi (\alpha x) = \alpha (\varphi x) = \alpha(\lambda x) = \lambda(\alpha x).
%\end{array}
%$$
%поэтому $x+y \in V_{\lambda}$, $\alpha x \in V_{\lambda}$.
%\end{proof}

%Подпространство $V_{\lambda}$ называется {\em собственным
%подпространством}\index{Пространство собственное}
%преобразования $\varphi$, относящимся к собственному числу $\lambda$.

%\begin{exercize}
%Доказать что $V_{\lambda}$ инвариантно относительно $\varphi$.
%\end{exercize}

\newslide

\begin{proposition}
If $x$ is an eigenvector then for any non-zero scalar
$\alpha \in F$ the vector $\alpha x$ is also an eigenvector corresponding to the same eigenvalue.
\end{proposition}
\pause

\begin{proof}
$$
\varphi(\alpha x)= \alpha (\varphi x) = \alpha (\lambda x) = \lambda (\alpha x),
$$
i.\,e. $\alpha x$ is an eigenvalue corresponding to the eigenvalue $\lambda$.
\end{proof}

%\begin{proposition}
%Вектор является собственным тогда и только тогда, когда он является базисным вектором 
%одномерного инвариантного подпространства.
%\end{proposition}
%
%\begin{proof}
%Пусть $x$ --- собственный вектор. По предыдущему утверждению $\alpha x$ для
%любого $\alpha \ne 0$ --- тоже собственный, относящийся к тому же собственному
%числу, поэтому подпространство $\Lin(x)$ инвариантно.
%
%Пусть $\Lin(x)$, где $x$ --- некоторый ненулевой вектор, инвариантно, т.\,е.
%$\varphi x \in \Lin(x)$, или $\varphi x=\lambda x$ для некоторого $\lambda \in
%F$, следовательно, вектор $x$ --- собственный.
%\end{proof}
%
%Таким образом, собственный вектор определяет прямую (одномерное подпространство), относительно которой происходит
%гомотетия с коэффициентом $\lambda$.

\newslide

Consider the problem of finding all eigenvalues of the transformation $\varphi$.
\pause
Let $\ee=\set{e_1,\dots ,e_n}$ be a basis of $V$.
\pause
A vector $x$ is an eigenvector if and only if
$x\ne o$ and $(\varphi - \lambda\varepsilon)x = o$ for some $\lambda\in F$.
\pause
This is euivalent to
%$$
%\left\{
%\begin{array}{l}
%(\varphi - \lambda\varepsilon)x=0, \\
%x \ne 0;
%\end{array}
%\right.
%\quad\Leftrightarrow\quad
%\left\{
%\begin{array}{l}
%[\varphi-\lambda\varepsilon]_{\ee} [x]_{\ee} = 0, \\
%x \ne 0;
%\end{array}
%\right.
%$$
%или
%$$
%\left\{
%\begin{array}{l}
%\left( [\varphi]_{\ee} - \lambda E \right) [x]_{\ee} = 0,\\
%x\ne 0.
%\end{array}
%\right.
%
%$$
$$
\left( [\varphi]_{\ee} - \lambda E  \strut\right) [x]_{\ee} = o.\tag{fraskldjhf}
$$
\pause
Thus $x$ is an eigenvector if and only if its coordinate column
$[x]_{\ee}$ is a non-zero solution to the square system of homogenius linear equations (\ref{fraskldjhf}). 
\pause
This vector exists if and only if
$$
\det \left( [\varphi]_{\ee} - \lambda E \right) = 0.
\tag{fwqwepioupioqwe}
$$
\newslide

By analogy with (\ref{fwqwepioupioqwe})
we can consider the equation
(respective to the unknown $\lambda$):
$$
\det (A -\lambda E) = 0,
$$
where $A \in F^{n\times n}$ 
\pause
This equation is called {\em characteristic equation of the matrix $A$}.
\pause
The polynomial
$$
\chi_A(\lambda) = \det (\lambda E - A)
$$
is also called the {\em characteristic polynomial} of $A$.

%\begin{lemma}
%Характеристические многочлены подобных матриц совпадают.
%\end{lemma}
%
%\begin{proof}
%Пусть $B=Q^{-1}AQ$ для некоторой невырожденной $Q$. Тогда
%$$
%\det (\lambda E - B) = \det \left(\lambda Q^{-1}EQ - Q^{-1}AQ\strut\right) = 
%$$
%$$
%=\det(Q^{-1}(A-\lambda E)Q) 
%= (\det Q)^{-1} \det(A-\lambda E)\det Q = \det(A-\lambda E),
%$$
%%$$
%%\begin{array}{l}
%%  \det (\lambda E - B)                                               \\
%%    \quad = \det \left(   Q^{-1} \lambda E Q - Q^{-1}AQ \right)      \\
%%    \quad = \det \left(   Q^{-1}(\lambda E - A) Q       \right)      \\
%%    \quad = \underbrace{\det \left(   Q^{-1} \right)}_{1/\det Q}
%%                                         \det (\lambda E - A) \det Q \\
%%    \quad = \det (\lambda E - A).
%%\end{array}
%%$$
%т.\,е. $\det(\lambda E - B) = \det(\lambda E - A)$.
%\end{proof}

%Из леммы следует, что уравнение (\ref{fwqwepioupioqwe}), записанное для одного и
%того же преобразования $\varphi$ в разных базисах, имеет один и тот же вид и
%поэтому корректны следующие определения. Уравнение (\ref{fwqwepioupioqwe})
%называется {\em характеристическим уравнением преобразования
%$\varphi$}\index{Линейное преобразование, характеристическое уравнение}.
%Левая часть этого уравнения
%$$
%\chi(\lambda) = \det (\lambda E - [\varphi]_{\ee})
%$$
%называется {\em характеристическим многочленом преобразования
%$\varphi$}\index{Линейное преобразование, характеристический многочлен}.

We have proved the following

\begin{theorem}
A scalar $\lambda \in F$ is an eigenvalue of a linear transformation
$\varphi\in\Phi(V)$ if and only if $\lambda$ is a root of
characteristic polynomial of $\varphi$.
\end{theorem}

\newslide

Let $\varphi\in\Phi(V)$
and vectors $e_1,\dots ,e_n$ are eigenvectors and $e_1,\dots ,e_n$ form the basis of $V$.
\pause

$$
\varphi e_j = \lambda_j e_j \qquad (j=1,\dots ,n),
$$

Then
$$
[\varphi]_{\ee} = 
\left(
\begin{array}{cccc}
	\lambda_1 &     0     & \dots &     0     \\
	    0     & \lambda_2 & \dots &     0     \\
	    \multicolumn{4}{c}{\dotfill}          \\
	    0     &     0     & \dots & \lambda_n \\
\end{array}
\right).
$$
%
%Пусть характеристический многочлен преобразования $\varphi$ линейного
%пространства $V$, заданного над полем $F$, имеет вид
%$$
%\begin{array}{l}
%\chi(\lambda)
% =(\lambda-\lambda_1)^{k_1}\cdot\dots\cdot(\lambda-\lambda_s)^{k_s}p(\lambda),\\
%     \qquad \mbox{где }\lambda_i \in F,
%                     \lambda_i \ne \lambda_j\mbox{ при }i\ne j,\\
%     \qquad \mbox{$f(\lambda)$ корней в $F$ не имеет.}
%\end{array}
%$$
%Назовем {\em алгебраической кратностью}\index{Кратность собственного значения,
%алгебраическая} собственного значения $\lambda_i$
%величину $k_i$ (т.\,е. его кратность, как корня характеристического многочлена).
%
%Назовем {\em геометрической кратностью}\index{Кратность собственного значения,
%геометрическая}
%собственного значения $\lambda_i$ размерность собственного
%подпространства, принадлежащего собственному значению $\lambda_i$:
%$$
%d_i = \dim V_{\lambda_i},
%$$
%иными словами, величину $\defect (\varphi - \lambda_i\varepsilon)$, или, что то
%же, максимальное число линейно независимых решений системы
%$$
%([\varphi]_{\ee} - \lambda_i E) x = 0.
%$$
%
%
%\begin{lemma}
%Геометрическая кратность собственного числа не превосходит
%алгебраической.
%\end{lemma}
%
%\begin{proof}
%Пусть геометрическая кратность собственного значения $\lambda_0$ равна $d_0$.
%Следовательно, найдeтся система линейно независимых собственных векторов
%$e_1,\dots ,e_{d_0}$, относящихся к собственному значению $\lambda_0$.
%Дополним ее до базиса и в нем построим матрицу преобразования:
%$$
%[\varphi]_{\ee} =
%\left(
%\begin{array}{c|c}
%\begin{array}{ccc}
%\lambda_0 &       &           \\
%          &\ddots &           \\
%          &       & \lambda_0
%\end{array} &                                   B  \\
%                \hline
%   0        &                                   C
%\end{array}
%\right).
%$$
%Очевидно, что
%$$
%\chi_{\varphi} = \det(\lambda E - [\varphi]_{\ee})
%      =(\lambda - \lambda_0)^{d_0}p(\lambda),
%                \tag{rqefasdghk}
%$$
%где $p(\lambda) \in F[\lambda]$. Из (\ref{rqefasdghk}) получаем, что
%алгебраическая кратность собственного значения $\lambda_0$ не меньше $d_0$.
%\end{proof}
%
%
%\begin{lemma}
%Собственные векторы, относящиеся к разным собственным числам,
%линейно независимы.
%\end{lemma}
%
%\begin{proof}
%Пусть $\lambda_1,\dots ,\lambda_s$ --- некоторые попарно различные собственные
%числа преобразования $\varphi$.
%В $i$-ой строке следующей таблицы выписана произвольная линейно
%независимая система собственных векторов, относящихся к собственному
%значению $\lambda_i$:
%$$
%\begin{array}{lcl}
%e_{11}, e_{12}, \dots , e_{1d_1} & \to & \lambda_1; \\
%e_{21}, e_{22}, \dots , e_{2d_2} & \to & \lambda_2; \\
%\dots                                               \\
%e_{s1}, e_{s2}, \dots , e_{sd_s} & \to & \lambda_s.
%\end{array}
%                                        \tag{qwerupbnoqw}
%$$
%Покажем, что объединенная система собственных векторов (\ref{qwerupbnoqw})
%линейно независима.
%
%Доказательство проведем индукцией по $s$.  При $s=1$ система линейно независима
%по предположению. Предположим теперь, что векторы, стоящие в первых $s-1$
%строках таблицы (\ref{qwerupbnoqw}), линейно независимы и покажем, что
%все векторы в (\ref{qwerupbnoqw}) линейно независимы.
%Рассмотрим произвольную равную нулю линейную комбинацию этих векторов:
%$$
%\sum_{i=1}^s \sum_{j=1}^{d_i} \alpha_{ij} e_{ij} = 0.
%                        \tag{frpqouerocq}
%$$
%Применим к обеим частям (\ref{frpqouerocq}) преобразование $\varphi$:
%$$
%\sum_{i=1}^s \sum_{j=1}^{d_i} \alpha_{ij}
%    \underbrace{\varphi e_{ij}}_{\lambda_i e_{ij}} = 0,
%                        \tag{frpqouerocq1}
%$$
%откуда
%$$
%\sum_{i=1}^s \sum_{j=1}^{d_i} \alpha_{ij} \lambda_i e_{ij} = 0.
%                        \tag{frpqouerocq2}
%$$
%Теперь домножим обе части (\ref{frpqouerocq}) на $\lambda_s$:
%$$
%\sum_{i=1}^s \sum_{j=1}^{d_i} \alpha_{ij} \lambda_s e_{ij} = 0.
%                        \tag{frpqouerocq3}
%$$
%Вычитая (\ref{frpqouerocq3}) из (\ref{frpqouerocq2}), получаем
%$$
%\sum_{i=1}^{{\not s}^{\displaystyle s-1}}
%                \sum_{j=1}^{d_i} \alpha_{ij}
%                                (\lambda_i - \lambda_s) e_{ij} = 0.
%$$
%В последнем равенстве имеем нулевую линейную комбинацию векторов, по
%предположению индукции линейно независимых. Поэтому все коэффициенты этой
%линейной комбинации равны нулю:
%$$
%\alpha_{ij} \underbrace{(\lambda_i - \lambda_s)}_{\ne 0} = 0
%  \quad (i=1,\dots ,s-1),
%$$
%Откуда
%$$
%\alpha_{ij} = 0 \quad (i=1,\dots ,s-1;\  j=1,\dots ,k_i).
%$$
%Теперь в правой части (\ref{frpqouerocq}) остается лишь одна сумма:
%$$
%\sum_{j=1}^{d_s} \alpha_{sj} e_{sj} = 0.
%$$
%Так как векторы $e_{s1},\dots ,e_{s1}$ линейно независимые, то и
%$$
%\alpha_{sj} = 0 \quad (j=1,\dots ,k_s).
%$$
%Итак, все коэффициенты в произвольной линейной комбинации (\ref{frpqouerocq})
%равны нулю, поэтому система (\ref{qwerupbnoqw}) линейно независима.
%\end{proof}
%
%Из двух предыдущих лемм и утверждения получаем следующий результат.
%
%\begin{theorem}[Критерий диагонализируемости]
%Преобразование диагонализируемо тогда и только тогда, когда сумма
%геометрических кратностей всех собственных чисел совпадает с
%размерностью пространства.
%\end{theorem}

\newslide

\begin{example}
Over the field $\RR$
find eigenvalues and eigenvectors of the matrix 
$$
\left(
\begin{array}{rr}
	  -3 & 12 \\
    -2 &  7 \\  
\end{array}
\right)
$$
Find a nonsingular matrix $Q$ such that $Q^{-1}AQ$ is a diagonal matrix.

\pause

$$
A - \lambda I = 
\left|
\begin{array}{cc}
  -3 -\lambda & 12 \\
  -2 & 7 -\lambda
\end{array}
\right|
= (-3 -\lambda)(7 -\lambda) - 12\cdot(-2)=\lambda^2 - 4\lambda+3 = (\lambda - 1)(\lambda - 3)
$$
\pause
The matrix has two eigenvalues: $\lambda_1 = 1$, $\lambda_2 = 3$.
\pause
Let's find corresponding eigenvectors.
$$
(A - \lambda_1 I) x = 
\left(
\begin{array}{cc}
  -4 & 12 \\
  -2 & 6
\end{array}
\right)
\cdot
\left(
\begin{array}{c}
	x_1 \\ x_2
\end{array}
\right)
= \left(
\begin{array}{c}
	0 \\ 0
\end{array}
\right).
$$
\pause
The solution is $(x_1, x_2)\transpose = t\cdot (3,1)\transpose$, $t\in\RR$
\newslide
$$
(A - \lambda_1 I) x = 
\left(
\begin{array}{cc}
  -6 & 9 \\
  -2 & 4
\end{array}
\right)
\cdot
\left(
\begin{array}{c}
	x_1 \\ x_2
\end{array}
\right)
= \left(
\begin{array}{c}
	0 \\ 0
\end{array}
\right).
$$
\pause
The solution is $(x_1, x_2)\transpose = t\cdot (2,3)\transpose$, $t\in\RR$
\pause
Vectors $(3,1)\transpose$, $(2,3)\transpose$ form the basis.
\pause
Thus, if
$$
D = 
\left(
\begin{array}{cc}
   1 & 0 \\
   0 & 3
\end{array}
\right),
\qquad
Q = 
\left(
\begin{array}{cc}
   3 & 2 \\
   1 & 3
\end{array}
\right),
$$
then $D = Q^{-1}AQ$.
\end{example}

\newslide

\begin{example}
Over the field $\RR$
find eigenvalues and eigenvectors of the matrix 
$$
\left(
\begin{array}{cc}
	  0 & 1 \\
	 -1 & 2
\end{array}
\right)
$$
Does exist a nonsingular matrix $Q$ such that $Q^{-1}AQ$ is diagonal matrix?
\pause

$$
A - \lambda I = 
\left|
\begin{array}{cc}
    -\lambda & 1         \\
       -1    & 2 -\lambda
\end{array}
\right|
= (-\lambda)(2 -\lambda) - 1\cdot(-1)=\lambda^2 - 2\lambda+1 = (\lambda - 1)^2.
$$
\pause
The matrix has one eigenvalue $\lambda_1 = 1$.
\pause
Let's find corresponding eigenvectors.
$$
(A - \lambda_1 I) x = 
\left(
\begin{array}{cc}
  -1 & 1 \\
  -1 & 1
\end{array}
\right)
\cdot
\left(
\begin{array}{c}
	x_1 \\ x_2
\end{array}
\right)
= \left(
\begin{array}{c}
	0 \\ 0
\end{array}
\right).
$$
\pause
The solution is $(x_1, x_2)\transpose = t\cdot (1,1)\transpose$, $t\in\RR$.
\pause
There is no basis consisting of eigenvalues, so there is no matrix $Q$ such that
$Q^{-1}AQ$ is a diagonal matrix.
\end{example}


\end{document}




\newslide
\chapter{Groups, Rings, Fields}
\thispagestyle{empty}

\newslide
\section{Algebraic operations}

Let $A$ be any non-empty set and $\circ$ be a mapping
$$
   \circ:~ A\times A \to A,
$$
i.e. {\em for any pair of elements $a$, $b$ in $A$ 
the mapping $\circ$  
puts into correspondence some element $c$ in $A$.}

\pause
We denote $c=a\circ b$ where $a$ is the first {\em operand}
and $b$ is the second one.

\pause
\begin{example}
Let
$A=\ZZ$, $\circ = +$

If $a, b \in \ZZ$ then the operation ``$+$''
puts into correspondence to pair $a$, $b$ their sum $a+b$. 
\end{example}

\newslide
Then $\circ$ is called a {\em binary algebraic operation} 
and we say that $A$ is {\em closed} under the operation $\circ$\footnote{The
operation is called {\em bi}nary because it has $2$ operands.
The term {\em algebraic} indicates that the set is closed under the operation.}.

\pause

\begin{exercize}
Is square rooting $\sqrt{\alpha}$ algebraic operation for the set of all
non-negative real numbers $\RR_{\ge 0}$:
$$
\RR_{\ge 0} = \set{\alpha \in \RR:~ \alpha \ge 0}?
$$
\end{exercize}

\newslide

\begin{example} \ 

$\NN$ is closed under binary operations $+$ and $\times$:
$$
a\in\NN,~b\in\NN \Rightarrow a+b \in \NN
$$
$$
a\in\NN,~b\in\NN \Rightarrow a\times b \in \NN, 
$$ 
but it is not closed under $-$ and $/$: 

$$
1-2 \notin \NN,
$$ 
$$
1/2 \notin \NN.
$$

% (it is suffices to give the only counterexamle to disprove that
% $\NN$ is closed under $-$)

\pause

$\ZZ$, $\QQ$, $\RR$ all are closed under $+$, $-$, $\times$, 
but they are not closed under $/$:

we can not divide by $0$

\pause

$\QQ\setminus\set{0}$ and $\RR\setminus\set{0}$ 
both are closed under $\times$, $/$.
\end{example}

\newslide

\begin{example} \label{example_PhiM}
Let $M$ be some set. 
A mapping $\varphi:~M \to M$ is called a {\em transformation} of $A$.
Let $\Phi(A)$ be the set of all transformations of $A$.
Consider $\varphi \in \Phi(A)$, $\psi \in \Phi(A)$.
The {\em product} (or {\em composition}) $\cdot$ of $\varphi$ and $\psi$
is a transformation $\varphi\psi \in \Phi(A)$ defined by the rule\footnote{The
sign of operation $\cdot$ will be often omitted as the sign $\cdot$ or $\times$
for multiplication of numbers.}:
$$
	(\varphi\psi) x = \varphi (\psi x).
$$
The set $\Phi$ is closed under operation $\cdot$, so the operation $\cdot$ is algebraic.

Let $M=\set{1,2}$. For our purposes instead of $1$, $2$ we can take any other elements, 
for example, $a$, $b$.
Enumerate all transformations of $M$:
$$
\varepsilon = 
\left(
  \begin{array}{cc}
      1 & 2 \\
      1 & 2 	
  \end{array}
\right),
\quad 
\nu = 
\left(
  \begin{array}{cc}
      1 & 2 \\
      2 & 1 	
  \end{array}
\right), 
\quad 
\alpha = 
\left(
  \begin{array}{cc}
      1 & 2 \\
      1 & 1 	
  \end{array}
\right),
\quad 
\beta = 
\left(
  \begin{array}{cc}
      1 & 2 \\
      2 & 2 	
  \end{array}
\right). 
$$

In the first row of each table all elements of $M$ are enumerated.
The second row indicates the image of all elements in $M$.
For instance, the transformation
$$
\nu = 
\left(
  \begin{array}{cc}
      1 & 2 \\
      2 & 1 	
  \end{array}
\right)
\qquad 
\begin{array}{ccc}
  1  & & 2 \\
\downarrow & & \downarrow \\
  2  & & 1
\end{array}
$$
maps $1$ into $2$ and $2$ into $1$. It is a so called {\em inversion}.
The transformation $\varepsilon$ maps each element of $M$ into the same one.
It is an {\em identity} transformation.
The transformation $\alpha$ maps each element of $M$ into $a$.
The transformation $\beta$ maps each element of $M$ into $b$.

Let's find the products for all pairs of transformations:
$$
\begin{array}{c|cccc}
             & \varepsilon & \nu         & \alpha & \beta  \\
\hline                                                     
\varepsilon  & \varepsilon & \nu         & \alpha & \beta  \\
\nu          & \nu         & \varepsilon & \alpha & \beta  \\
\alpha       & \alpha      & \alpha      & \alpha & \alpha \\
\beta        & \beta       & \beta       & \beta  & \beta  \\
\end{array}
$$
Check, for example, that $\alpha\beta = \alpha$:
$$
\begin{array}{cccc}
       &   1        & & 2          \\
\beta  & \downarrow & & \downarrow \\
       &   2        & & 2          \\
\alpha & \downarrow & & \downarrow \\
       &   1        & & 1
\end{array},
$$
i.e.
$(\alpha\beta)1 = \alpha (\beta 1) = \alpha 2 = 1$,
$(\alpha\beta)2 = \alpha (\beta 2) = \alpha 2 = 1$.
You can see that $\alpha\beta = \alpha$.
\end{example}

\newslide

\section{Semigroups and groups}

A {\em semigroup} $\oset{G, \circ}$ is a nonempty set $G$, 
closed under a binary operation $\circ$ satisfying the 
axiom:
\begin{enumerate}
  \item[\Ax{1}:] $a \circ (b \circ c) = (a \circ h) \circ c$ for all $a, b, c$ in $A$
			({\em associativity})\footnote{Parenthesis in formulae 
			indicate the order of 
			performing operations: for instance, in left-hand side 
			$a \circ (b \circ c)$ first we perform the operation $\circ$ 
			under $b$ and $c$ obtaining the result, say, $f$;
			and then perform the operation $\circ$ under $a$ and $f$.}.
\end{enumerate}

If the operation $\circ$ is {\em commutative}, i.e.
\begin{enumerate}
  \item[\Ax{2}:] $a \circ b = b \circ a$ for all $a,b$ in $A$
			({\em commutativity}),
\end{enumerate}
then the semigroup $A$ is called {\em commutative semigroup}.

\newslide

\begin{example}
$\oset{\NN, +}$, $\oset{\NN, \times}$,
$\oset{\ZZ, +}$, $\oset{\ZZ, \times}$,
$\oset{\QQ, +}$, $\oset{\QQ, \times}$,
$\oset{\RR, +}$, $\oset{\RR, \times}$,
are commutative semigroups.
\end{example}

\begin{exercize}
Why 
$\oset{\ZZ, -}$,
$\oset{\QQ, -}$,
$\oset{\RR, -}$
are not semigroups?
\end{exercize}


\begin{example}
It is easy to verify that operation $\cdot$ for $\Phi(M)$ 
is associative: since by definition of a product of transformations
$$
\bigl(\varphi (\psi \vartheta)\bigr) x = \varphi \bigl(\psi (\vartheta x)\bigr) 
	= \varphi \bigl((\psi \vartheta) x\bigr) = \bigl(\varphi (\psi \vartheta)\bigr) x  
$$
for all $x$ in $M$ then $\varphi(\psi\vartheta) = (\varphi\psi)\vartheta$.

So, $\Phi(M)$ is the semigroup for any $M$.
But if $|M| \ge 2$ then $\Phi(M)$ is not commutative:
in example \ref{example_PhiM} we've seen that $\alpha\beta\ne\beta\alpha$.
\end{example}

\newslide


A semigroup is a {\em group} if it satisfies the additional axioms:

\begin{enumerate}
  \item[\Ax{3}:] there is an element $e$ such that $e\circ a = a \circ e = a$
                      for all $a$ in $G$;
  \item[\Ax{4}:] for all $a$ in $G$, there is an element $a^{-1}$ such that 
			$a\circ a^{-1} = a^{-1} \circ a = e$.
\end{enumerate}

The element $e$ is called an {\em identity} element.

The element $a^{-1}$ is called an {\em inverse} of $a$.

\newslide

\begin{proposition}
The identity element $e$ in a group $G$ is unique.
\end{proposition}
\begin{proof}
Let $e'$ and $e''$ both be two identity elemets in $G$ then
$$
	e' = e' e'' = e''.
$$
\end{proof}  

\begin{proposition}
For any $a$ in a group $G$ the inverse element of $a$ is unique.
\end{proposition}
\begin{proof}
Let $a'$ and $a''$ be two inverses of $a$ then
$$
	a' = a' e = a' (a a'') = (a' a) a'' = e a'' = a''.
$$
\end{proof} 

\newslide 

If the operation is commutative then a group 
is called an {\em abelian} group (or, {\em commutative} group).

\newslide

\begin{example}
$\oset{\NN, +}$ is not a group because it does not contain an identity element.

$\oset{\NN \cup \set{0}, +}$ contains an identity element ($0$), but it is not a group because
some elements does not have inverses (in fact only $0$ has an inverse: 
the inverse of $0$ w.r.t. addition is $0$).

$\oset{\NN, \times}$ and $\oset{\NN\cup \set{0}, \times}$
are not groups.

$\oset{\ZZ, +}$ is an abelian group. The element $0$ is identity element because $a+0=0+a$
for all $a$ in $\ZZ$. The element $-a$ is inverse to $a$ because $a+(-a) = (-a)+a = 0$.

$\oset{\ZZ, \times}$ contains an identity element ($1$),
but it is not a group because
some elements does not have inverses (in fact only $1$ has an inverse: 
the inverse of $1$ w.r.t. multiplication is $1$).

$\oset{\QQ, +}$ and 
$\oset{\RR, +}$ are abelian groups; $0$ is identity element, $-a$ is inverse of $a$.

$\oset{\QQ, \times}$ and  
$\oset{\RR, \times}$ are not groups because $0$ doesn't contain inverse (w.r.t. multiplication),
but 
$\oset{\QQ\setminus\oset{0}, \times}$ and  
$\oset{\RR\setminus\oset{0}, \times}$ are abelian groups: $1$ is an identity element 
and $a^{-1}=\fracc{1}{a}$ is inverse of $a$ (w.r.t. multiplication).
\end{example}

\newslide

If the operation in a group is denoted by $+$ (and called addition)
then an identity element is normally denoted by $0$ and inverse of $a$
is denoted by $-a$.


If the operation in a group is denoted by $\times$ (and called multiplication)
then an identity element is normally denoted by $1$ and inverse of $a$
is denoted by $a^{-1}$.

\newslide

\begin{example}
The semigroup $\oset{\Phi(M), \cdot}$ has an identity element.

This is an {\em identity transformation} $\varepsilon$ 
which puts into correspondens to any element $a$ in $M$
the same element $a$.

But if $|M|>1$ then $\oset{\Phi(M), \cdot}$ is not a group because
some elements in $\Phi(M)$ doesn't have an inverse. In example \ref{example_PhiM}
$\alpha$ and $\beta$ doesn't have inverses.
\end{example}

\newslide

\begin{example}
Consider the set $S(M)$ of all bijections of $M$ into $M$.

It is not hard to see that $\oset{S(M), \cdot}$ is a group.
It is called a {\em symmetric group}.

In particular, $\varepsilon$ is identity element and $\varphi^{-1}$
is an bijection inverse to $\varphi$.

For example, let $M=\set{1,2}$. The bijections of $M$ into $M$ are
$$
\varepsilon = 
\left(
  \begin{array}{cc}
      1 & 2 \\
      1 & 2 	
  \end{array}
\right),
\qquad 
\nu = 
\left(
  \begin{array}{cc}
      1 & 2 \\
      2 & 1 	
  \end{array}
\right), 
$$
so $S(M)=\set{\varepsilon, \nu}$.

We have $\varepsilon^{-1} = \varepsilon$ and $\nu^{-1} = \nu$.

If $|M|\le 2$ then $\oset{S(M), \cdot}$ is an abelian group.

If $|M|> 2$ then the group $\oset{S(M), \cdot}$ is not abelian.
\end{example}



\newslide

\section{Rings and fields}

A {\em ring} $\oset{K, +, \times}$ is a nonempty set $R$ closed under two binary operations 
$+$ and $\times$ such that 

$\oset{K, +}$ is an abelian group (i.e. axioms \Ax{1}--\Ax{4} hold w.r.t. $+$),

$\oset{K, \times}$ is a semigroup (i.e. axiom \Ax{1} holds w.r.t. $\times$),

and which satisfies the additional axiom

\begin{enumerate}
  \item[\Ax{5}:] $(a+b)c=ac + bc$ and $a(b+c)=ab+ac$ for all $a$ in $K$.
\end{enumerate}

A {\em commutative ring} is a ring in which $\times$ is commutative 
(i.e. axiom \Ax{4} holds with respect to $\times$). 

\begin{example}
   $\oset{\ZZ, +, \times}$, $\oset{\QQ, +, \times}$, $\oset{\RR, +, \times}$ are commutative rings.

   $\oset{\NN, +, \times}$ is not a ring because $\oset{\NN, +}$ is not a group.
\end{example}

A ring $\oset{F, +, \times}$ is called a {\em field} if
$\oset{F\setminus\set{0}, \times}$ is an abelian group
(i.e. axioms \Ax{1}--\Ax{4} hold w.r.t. operation $\times$).
In other words, a field is a commutafive ring in which every nonzero 
element has a multiplicative inverse. 

\begin{example}
   $\oset{\QQ, +, \times}$, $\oset{\RR, +, \times}$ are fields.

   $\oset{\ZZ, +, \times}$ is not a field because $\oset{\ZZ\setminus\set{0}, \times}$
   is not a group.
\end{example}


\newslide


% \Closesolutionfile{ans}
% \section{Ответы и решения}
% {\footnotesize
% \input{ans1}
% }



\end{document}
